Momento angolare di un corpo rigido
Il momento angolare di un corpo rigido può essere calcolato rispetto ad un qualunque punto (polo) sia interno che esterno al corpo stesso? Oppure va calcolato solo rispetto ad un punto appartenente all'asse di rotazione del corpo?
E se si può calcolare rispetto ad un qualunque punto, il momento angolare del corpo rigido varia in base al polo oppure si trova sempre lo stesso valore indipendentemente dal polo?
E se si può calcolare rispetto ad un qualunque punto, il momento angolare del corpo rigido varia in base al polo oppure si trova sempre lo stesso valore indipendentemente dal polo?
Risposte
Consideriamo un polo $O$ e sia $\vec{OP}$ il segmento orientato da $O$ a $P$, applicato al vettore momento $\vec{p}=m\vec{v}$.
Il momento del vettore $\vec{p}$ rispetto a tale polo è: $\vec{OP}\times\vec{p}$.
Consideriamo adesso un punto $O'$ distinto da $O$ e il vettore $\vec{OO'}$ congiungente i due poli; si ha:
$\vec{OO'}+\vec{O'P} = \vec{OP}$
Il momento del vettore $\vec{p}$ rispetto ad $O$ può quindi scriversi:
$(\vec{OO'}+\vec{O'P})\times\vec{p}$.
Il momento del vettore $\vec{p}$ rispetto a tale polo è: $\vec{OP}\times\vec{p}$.
Consideriamo adesso un punto $O'$ distinto da $O$ e il vettore $\vec{OO'}$ congiungente i due poli; si ha:
$\vec{OO'}+\vec{O'P} = \vec{OP}$
Il momento del vettore $\vec{p}$ rispetto ad $O$ può quindi scriversi:
$(\vec{OO'}+\vec{O'P})\times\vec{p}$.
Innanzitutto ti ringrazio, però non hai risposto alla mia domanda
"Giuseppino":
Innanzitutto ti ringrazio, però non hai risposto alla mia domanda
E perché no?
Come vedi, scelto un altro polo arbitrario abbiamo una ben semplice relazione tra i momenti calcolati.
Puoi calcolarlo rispetto a qualunque polo, dunque, visto che c'è una ben precisa relazione che ti ho scritto. È ovvio che la scelta del polo è opportuna per semplificare i calcoli.
In base alla relazione sopra scritta, pensi che il momento del vettore $\vec{p}$ possa dipendere dal polo?
Forse la domanda era più orientata al corpo complesso, non puntiforme.
In tal caso si può definire un punto comodo per il calcolo del momento angolare, che è il centro di massa del corpo:
$$\eqalign{
& {{\bf{L}}_{CM}} = \sum {{{\bf{r}}_p}} \times {m_P}{{{\bf{\dot r}}}_P} \cr
& {{\bf{L}}_{CM}} = \int {{{\bf{r}}_{CM - P}} \times {{{\bf{\dot r}}}_{CM - P}}dm} \cr} $$
valide nel discontinuo e nel continuo rispettivamente.
Scelto invece un polo diverso si ha:
$$\eqalign{
& {{\bf{L}}_O} = \int {\left( {{{\bf{r}}_{O - CM}} + {{\bf{r}}_{CM - P}}} \right) \times \left( {{{{\bf{\dot r}}}_{O - CM}} + {{{\bf{\dot r}}}_{CM - P}}} \right)dm} \cr
& {{\bf{L}}_O} = {{\bf{r}}_{O - CM}} \times \int {\left( {{{{\bf{\dot r}}}_{O - CM}} + {{{\bf{\dot r}}}_{CM - P}}} \right)dm} + \left( {\int {{{\bf{r}}_{CM - P}}dm} } \right) \times {{{\bf{\dot r}}}_{O - CM}} + \int {{{\bf{r}}_{CM - P}} \times {{{\bf{\dot r}}}_{CM - P}}dm} \cr
& \int {{{\bf{r}}_{CM - P}}dm} = 0 \cr
& {{\bf{r}}_{O - CM}} = \frac{{\int {\left( {{{\bf{r}}_{O - CM}} + {{\bf{r}}_{CM - P}}} \right)dm} }}
{M} \cr
& {{{\bf{\dot r}}}_{O - CM}} = \frac{{\int {\left( {{{{\bf{\dot r}}}_{O - CM}} + {{{\bf{\dot r}}}_{CM - P}}} \right)dm} }}
{M} \cr
& {{\bf{L}}_O} = {{\bf{r}}_{O - CM}} \times M{{{\bf{\dot r}}}_{O - CM}} + {{\bf{L}}_{CM}} \cr} $$
Il momento angolare calcolato in un punto diverso dal CM è la somma del momento angolare rispetto al CM più il momento angolare di un corpo puntiforme coincidente col CM del corpo complesso, e avente la sua stessa massa.
Nota che non ho nemmeno fatto riferimento alla rigidità del corpo, ma solo alla sua complessità.
Il corpo rigido è un sottoinsieme dei corpi complessi, dunque quanto detto vale anche per lui.
La rigidità entra in gioco quando si può semplificare il calcolo del momento angolare introducendo i concetti di velocità angolare e momento di inerzia.
In tal caso si può definire un punto comodo per il calcolo del momento angolare, che è il centro di massa del corpo:
$$\eqalign{
& {{\bf{L}}_{CM}} = \sum {{{\bf{r}}_p}} \times {m_P}{{{\bf{\dot r}}}_P} \cr
& {{\bf{L}}_{CM}} = \int {{{\bf{r}}_{CM - P}} \times {{{\bf{\dot r}}}_{CM - P}}dm} \cr} $$
valide nel discontinuo e nel continuo rispettivamente.
Scelto invece un polo diverso si ha:
$$\eqalign{
& {{\bf{L}}_O} = \int {\left( {{{\bf{r}}_{O - CM}} + {{\bf{r}}_{CM - P}}} \right) \times \left( {{{{\bf{\dot r}}}_{O - CM}} + {{{\bf{\dot r}}}_{CM - P}}} \right)dm} \cr
& {{\bf{L}}_O} = {{\bf{r}}_{O - CM}} \times \int {\left( {{{{\bf{\dot r}}}_{O - CM}} + {{{\bf{\dot r}}}_{CM - P}}} \right)dm} + \left( {\int {{{\bf{r}}_{CM - P}}dm} } \right) \times {{{\bf{\dot r}}}_{O - CM}} + \int {{{\bf{r}}_{CM - P}} \times {{{\bf{\dot r}}}_{CM - P}}dm} \cr
& \int {{{\bf{r}}_{CM - P}}dm} = 0 \cr
& {{\bf{r}}_{O - CM}} = \frac{{\int {\left( {{{\bf{r}}_{O - CM}} + {{\bf{r}}_{CM - P}}} \right)dm} }}
{M} \cr
& {{{\bf{\dot r}}}_{O - CM}} = \frac{{\int {\left( {{{{\bf{\dot r}}}_{O - CM}} + {{{\bf{\dot r}}}_{CM - P}}} \right)dm} }}
{M} \cr
& {{\bf{L}}_O} = {{\bf{r}}_{O - CM}} \times M{{{\bf{\dot r}}}_{O - CM}} + {{\bf{L}}_{CM}} \cr} $$
Il momento angolare calcolato in un punto diverso dal CM è la somma del momento angolare rispetto al CM più il momento angolare di un corpo puntiforme coincidente col CM del corpo complesso, e avente la sua stessa massa.
Nota che non ho nemmeno fatto riferimento alla rigidità del corpo, ma solo alla sua complessità.
Il corpo rigido è un sottoinsieme dei corpi complessi, dunque quanto detto vale anche per lui.
La rigidità entra in gioco quando si può semplificare il calcolo del momento angolare introducendo i concetti di velocità angolare e momento di inerzia.
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