Momento angolare dei campi
due gusci concentrici di raggio a (con carica +Q) e raggio b>a (con carica -Q) sono immersi in un campo magnetico uniforme $ B=B_0hat(z $ . trovare il momento angolare dei campi rispetto al centro.
nel calcolo del momento angolare non capisco perchè, nel prodotto vettoriale tra r e la densità della quantità di moto g: $ vec(r)xxvec(g)=vec(r)xx(epsilon_0Q/(4piepsilon_0 r^2)B_0)(hat(r)xxhat(z)) $ il testo dica che:
" $ hat(r)xx(hat(r)xxhat(z))=hat(r)costheta=hat(z)=-sin^2theta $ poichè il momento angolare deve essere in direzione z"
vi prego aiuto
nel calcolo del momento angolare non capisco perchè, nel prodotto vettoriale tra r e la densità della quantità di moto g: $ vec(r)xxvec(g)=vec(r)xx(epsilon_0Q/(4piepsilon_0 r^2)B_0)(hat(r)xxhat(z)) $ il testo dica che:
" $ hat(r)xx(hat(r)xxhat(z))=hat(r)costheta=hat(z)=-sin^2theta $ poichè il momento angolare deve essere in direzione z"
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Risposte
"itisscience":
nel calcolo del momento angolare non capisco perchè, nel prodotto vettoriale tra r e la densità della quantità di moto g: $ vec(r)xxvec(g)=vec(r)xx(epsilon_0Q/(4piepsilon_0 r^2)B_0)(hat(r)xxhat(z)) $ il testo dica che:
" $ hat(r)xx(hat(r)xxhat(z))=hat(r)costheta=hat(z)=-sin^2theta $ poichè il momento angolare deve essere in direzione z"
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Quando hai un doppio prodotto vettoriale $ vecatimes(vecbtimesvecc) $ , vale la regola detta “bac - cab" , e cioè quel doppio prodotto vettoriale vale $ vecb(veca*vecc) - vecc(veca*vecb) $
Leggiti questo, anzi tutta la discussione :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 10#p876830
e applica la regola al tuo caso.
applicandola al mio caso viene fuori $ hat(r)(hat(r)dot $ $ hat(z))-hat(z)(hat(r)dot $ $ hat(r)) $ .
forse ora è il punto in cui sbaglio: io dico che $ hat(r)*hat(r) =1$ e $ hat(r)*hat(z) =0$ perchè nella terna cilindrica r e z sono ortogonali
forse ora è il punto in cui sbaglio: io dico che $ hat(r)*hat(r) =1$ e $ hat(r)*hat(z) =0$ perchè nella terna cilindrica r e z sono ortogonali
Scusa ma stai parlando di due gusci sferici, perché assumi una terna cilindrica? Da dove verrebbe fuori l’angolo $theta$ ? O forse non ho capito io . Non hai una figura?
hai ragione. no, nessuna figura.
dunque $ =hat(r)(costheta)-hat(z) $ . ma potresti spiegarmi perchè il momento angolare è lungo z e quindi arrivare a $ =-sin^2theta $ ?
dunque $ =hat(r)(costheta)-hat(z) $ . ma potresti spiegarmi perchè il momento angolare è lungo z e quindi arrivare a $ =-sin^2theta $ ?
Francamente non ho capito la situazione e quindi la richiesta. Leggendo questo :
mi chiedo che cosa significhi la domanda. C’è forse qualche particella dotata di massa e carica elettrica, in moto con una certa velocità rispetto a un riferimento con origine nel centro?
Speriamo che intervenga qualcuno più esperto di me, che abbia capito di che si tratta.
due gusci concentrici di raggio a (con carica +Q) e raggio b>a (con carica -Q) sono immersi in un campo magnetico uniforme B=B0zˆ . trovare il momento angolare dei campi rispetto al centro.
mi chiedo che cosa significhi la domanda. C’è forse qualche particella dotata di massa e carica elettrica, in moto con una certa velocità rispetto a un riferimento con origine nel centro?
Speriamo che intervenga qualcuno più esperto di me, che abbia capito di che si tratta.
Sì tratta del momento angolare del campo EM ossia (se il mezzo è il vuoto)
\[
\vec{L}_{EM} = \int d^3x\,\vec{x} \times \left(\frac{1}{\mu_0 c^2}\vec{E} \times \vec{B}\right)
\]
Per quanto riguarda il fatto che il momento angolare sia diretto lungo z, questo segue da osservazioni di simmetria. Immagina di volere calcolare l'integranda in un punto qualsiasi lungo z e, per semplicità, considera inizialmente i soli contributi di un guscio sferico infinitesimo. La somma dei contributi dati da punti simmetrici rispetto all'asse z che giacciono sul guscio è diretta appunto lungo z) (il contributo lungo la direzione ortogonale si elide nella somma).
A questo punto, immagino che il tuo dubbio nasca dal fatto che quello che consideri è la densità di momento angolare EM e non il suo integrale. In questa situazione la densità del momento angolare EM non è diretta lungo z) (intendendo un campo vettoriale uniforme). Bensì, è il suo integrale - cioè il momento angolare EM, un vettore - ad essere diretto lungo z).
\[
\vec{L}_{EM} = \int d^3x\,\vec{x} \times \left(\frac{1}{\mu_0 c^2}\vec{E} \times \vec{B}\right)
\]
Per quanto riguarda il fatto che il momento angolare sia diretto lungo z, questo segue da osservazioni di simmetria. Immagina di volere calcolare l'integranda in un punto qualsiasi lungo z e, per semplicità, considera inizialmente i soli contributi di un guscio sferico infinitesimo. La somma dei contributi dati da punti simmetrici rispetto all'asse z che giacciono sul guscio è diretta appunto lungo z) (il contributo lungo la direzione ortogonale si elide nella somma).
A questo punto, immagino che il tuo dubbio nasca dal fatto che quello che consideri è la densità di momento angolare EM e non il suo integrale. In questa situazione la densità del momento angolare EM non è diretta lungo z) (intendendo un campo vettoriale uniforme). Bensì, è il suo integrale - cioè il momento angolare EM, un vettore - ad essere diretto lungo z).
ci sono quasi, resta da capire il risultato del triplo prodotto vettoriale
Senza addentrarmi in calcoli e semplificazioni vettoriali, che lascio agli esperti del settore, io me lo spiego così: il prodotto vettoriale $\hat(r)\times \hat(z)$ porta ad un vettore $\vec u$ che giace nel piano $xy$, di modulo $\sin\theta$, vettore ovviamente normale a $\hat r$, ne segue che il successivo prodotto vettoriale $\hat(r)\times \vec(u) $ porterà ad un vettore che rispetto all'asse $z$ presenta un angolo $\theta+\pi/2$, ne segue che proiettandolo sul suddetto asse introdurremo il fattore moltiplicativo
$\cos(\theta+\pi/2)=-sin\theta$
mentre, come già detto, le componenti di $\vec u$ parallele al piano xy si elidono grazie alla simmetria assiale del problema.
$\cos(\theta+\pi/2)=-sin\theta$
mentre, come già detto, le componenti di $\vec u$ parallele al piano xy si elidono grazie alla simmetria assiale del problema.
applicandola al mio caso viene fuori \(\hat{r} \left(\hat{r}\cdot\hat{z}\right) - \hat{z}\left(\hat{r} \cdot \hat{r}\right) \)
una volta trovato questo, se proietti l'espressione rimaneggiata dell'integranda che ottieni con questa relazione (lascio a te considerare tutti i fattorelli, io considero solo il triplo prodotto vettoriale) puoi proiettare lungo z) e ottieni:
\[
... = \left(\hat{r}\cdot\hat{z}\right)^2 - \left(\hat{z}\cdot \hat{z}\right)\left(\hat{r} \cdot \hat{r}\right)
\]
ora, il secondo addendo è valutabile immediatamente, mentre invece il primo anche una volta che lo esprimi in coordinate sferiche.
Si giunge al risultato:
\[
... = \cos^2\theta - 1 = -\sin^2\theta
\]
Se ho fatto per bene i conti (cioé, se non mi sono perso nessun fattore in giro, ma ammetto che possa essere estremamente probabile) il risultato dovrebbe essere:
\[
\vec{L}_{em} = -\frac{2}{3} B_0 Q (b-a) \hat{z}
\]
scusami potresti spiegarmi come esprimere correttamente $ hat(r)*hat(z) $ in coordinate sferiche come hai detto tu? forse intendevi cilindriche?
Lo schizzo allegato é relativo al procedimento suggerito da Renzo DF, anch’esso valido.
il vettore $vecu = hatr\times\hatz$ è perpendicolare ad entrambi, ha modulo = $sen\theta$ , e giace nel piano $xy$ . Considerando ancora $hatr\times vecu$ , questo vettore deve essere perpendicolare sia ad $vecu$ che ad $hatr$ . Perciò forma l’angolo $\pi/2 + theta$ con il versore $hatz$.
Ma per chiarire il tuo ultimo dubbio, considera questo.
Sia $hatz$ che $hatr$ sono due versori ( quindi hanno modulo unitario) che hanno la stessa origine: il primo è il versore dell’asse $z$ , il secondo è il versore di una retta qualsiasi passante per l’origine.
Si ha : $hatz *hatr = cos theta$ . Il secondo estremo di $hatr$ giace sulla superficie sferica di raggio $r=1$.
devi considerare coordinate sferiche, non cilindriche, te l’ho detto nella mia seconda risposta, altrimenti non avresti l’angolo $theta$, che varia in $ [0, \pi] $
il vettore $vecu = hatr\times\hatz$ è perpendicolare ad entrambi, ha modulo = $sen\theta$ , e giace nel piano $xy$ . Considerando ancora $hatr\times vecu$ , questo vettore deve essere perpendicolare sia ad $vecu$ che ad $hatr$ . Perciò forma l’angolo $\pi/2 + theta$ con il versore $hatz$.
Ma per chiarire il tuo ultimo dubbio, considera questo.
Sia $hatz$ che $hatr$ sono due versori ( quindi hanno modulo unitario) che hanno la stessa origine: il primo è il versore dell’asse $z$ , il secondo è il versore di una retta qualsiasi passante per l’origine.
Si ha : $hatz *hatr = cos theta$ . Il secondo estremo di $hatr$ giace sulla superficie sferica di raggio $r=1$.
devi considerare coordinate sferiche, non cilindriche, te l’ho detto nella mia seconda risposta, altrimenti non avresti l’angolo $theta$, che varia in $ [0, \pi] $
Sintetizzando, la mia descrizione testuale corrisponde alla sequente sequenza
$\hat r=(\sin\theta \cos\varphi,\sin\theta \sin\varphi,\cos\theta)$
$\hat z=(0,0,1)$
$\vec u=\hat r \times \hat z=(\sin\theta \sin\varphi,-\sin\theta \cos\varphi,0)$
ed infine, andando ad indicare solo la componente lungo z
$\hat r\times \vec u=(...,..., -\sin^2 \theta \cos^2\varphi-\sin^2 \theta \sin^2\varphi)=(...,...,-\sin^2\theta)$
$\hat r=(\sin\theta \cos\varphi,\sin\theta \sin\varphi,\cos\theta)$
$\hat z=(0,0,1)$
$\vec u=\hat r \times \hat z=(\sin\theta \sin\varphi,-\sin\theta \cos\varphi,0)$
ed infine, andando ad indicare solo la componente lungo z
$\hat r\times \vec u=(...,..., -\sin^2 \theta \cos^2\varphi-\sin^2 \theta \sin^2\varphi)=(...,...,-\sin^2\theta)$
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