Momento angolare

[TS778LB]

Consideriamo un anello con due masse $ m_1 $ ed $ m_2 $, puntiformi ed uguali, ad esso agganciate in modo da essere diametralmente opposte. Se il sistema è vincolato a ruotare attorno ad un asse perpendicolare al piano individuato dal sistema stesso e passante per il suo centro di massa, il momento angolare totale del sistema è parallelo all'asse di rotazione.

1) Se $ m_1 $ ed $ m_2 $ non fossero uguali come cambierebbe la situazione ? Di certo l'asse considerato non sarebbe più baricentrale però i vettori posizione (rispetto al centro geometrico dell'anello) e velocità delle due masse sarebbero sempre perpendicolari all'asse. Si avrebbe di nuovo un momento angolare totale parallelo all'asse in contraddizione con la natura dell'asse non baricentrale. Dove sbaglio?

2) Se $ m_1 $ ed $ m_2 $ non sono diametralmente opposte ma disposte a caso lungo l'anello ? Anche in questo caso riscontro perpendicolarità tra vettori posizione rispetto al centro, velocità e asse. Quindi anche in questo caso mi verrebbe un momento angolare totale parallelo all'asse.

[Shackle]

Non sbagli da nessuna parte. L’asse di rotazione non è baricentrale, ma è comunque principale di inerzia per il punto in cui interseca il piano dell’anelo. È una proprietà dei sistemi piani. L’asse di rotazione è sollecitato da forza centrifuga , apparente nel sistema rotante di coordinate.

[TS778LB]

Grazie per la spiegazione! Quindi in nessuno dei tre casi è richiesto alcun momento delle forze esterne ma negli ultimi due è invece necessaria una forza esterna di natura centripeta?

[Shackle]

Fai attenzione: l’ asse di rotazione, nei due casi non simmetrici detti, non è certamente un “asse libero “: un asse libero è centrale di inerzia.Non occorre alcun momento per tenere in rotazione un corpo, a velocità angolare costante, rispetto a un asse libero: una volta avviato, continua per inerzia.
L’asse , nei due casi non simmetrici, deve essere quindi un asse materiale, lo devi vincolare ai due estremi, con dei cuscinetti volventi, che sviluppano una reazione complessiva in grado di equilibrare la forza centrifuga; (se fosse perfettamente rigido, basterebbe un solo cuscinetto a un estremo) ; naturalmente sto prescindendo dalla gravità, chiaro? Se l’asse è orizzontale, i due cuscinetti hanno anche una funzione portante; se l’asse è verticale, ci vuole anche un cuscinetto di spinta per sostegno. Ma prescindiamo da questo ora.
Le due reazioni e la forza centrifuga sono nello stesso piano, rotante con la velocità angolare del sistema . Ma le reazioni non hanno momento, rispetto a un polo sull’asse, in grado di modificare $vecL$ , nè in modulo nè in direzione. Fatti un disegno della situazione, io ho solo il telefonino e non posso.

[donald_zeka]

non hai ancora capito la differenza tra asse baricentrale e asse principale d'inerzia...

[Shackle]

Aggiungo qualche precisazione. Un asse libero può anche non essere un asse materiale. Invece nel caso di asse di rotazione non baricentrico, sia pure principale di inerzia, lo devi materializzare, e allora il CM descrive una circonferenza di un certo raggio . Ma se $vecL$ rimane costante, come detto, anche questa rotazione avviene senza momento di forze esterne: e allora, qual è la differenza rispetto alla rotazione attorno a un asse libero?
Prova a formulare una risposta.
E se l’asse di rotazione non lo materializziamo? Che succede? Pensaci.