Momenti e sistema di Riferimento
Buongiorno a tutti,
io avrei una domanda che penso sia al limite del banale, ma la pongo lo stesso giusto per avere una pacca sulla spalla che mi rassicuri. La espongo sotto forma di discorso e vorrei solo la conferma che tutto ciò sia corretto.
La quantità di moto dipende dal sistema inerziale che scelgo? Cioè se ho che la quantità di moto totale di un sistema vale $P_1$ rispetto a un certo sistema inerziale $Q_1$, allora se prendo un'altro sistema inerziale $Q_2$ in generale la quantità di moto $P_2$ rispetto al sistema $Q_2$ sarà diversa da $P_1$, salvo nel caso in cui il sistema $Q_2$ sia muova a velocità nulla rispetto a $Q_1$ e possiedano il medesimo orientamento?
Se prendo un sistema $Q_2$ che si muove con una certa velocità non nulla rispetto a $Q_1$ avrò che la quantità di moto sarà cambiata in modulo, mentre se prendo un sistema inerzia che si muove a velocità nulla rispetto a $Q_1$ ma con un orientamento differente, la quantità di moto resta uguale in modulo ma le componenti del vettore cambiano. Se invece $Q_2$ ha lo stesso orientamento di $Q_1$ e velocità relativa nulla, allora il vettore quantità di moto mi aspetto abbia esattamente le stesso componenti, giusto?
Lo stesso quesito me lo pongo riguardo al momento angolare rispetto ad un certo polo $O$. Se ho un certo punto mobile $O$ , definisco il momento angolare di un punto materiale rispetto al polo $O$ come il prodotto vettore fra il vettore che congiunge il polo al punto materiale, chiamiamolo $x$, e la quantità di moto calcolata però non rispetto al polo ma rispetto a un generico sistema di riferimento inerziale $Q_1$.
Ora cambiamo sistema di riferimento e passiamo a $Q_2$, se la velocità relativa fra i due sistemi inerziali è nulla e i due sistemi hanno lo stesso orientamento, allora la quantità di moto è la medesima, e anche il vettore $x$ che congiunge il punto materiale al polo $O$ è il medesimo, cioè ha le stesse componenti, quindi il momento angolare non cambia , se i sistemi sono solo traslati fra di loro.
Se il sistema $Q_2$ è ruotato rispetto a $Q_1$ per le proprietà del prodotto vettore (facendo i conti) il momento angolare non cambia, anche se le componenti dei vettori $x$ e $P$ sono cambiate. Quindi il momento angolare è invariante per qualsiasi rototraslazione del sistema di riferimento e dipende solo dal polo scelto.
Infine nel caso in cui il sistema $Q_2$ abbia velocità relativa non nulla rispetto $Q_1$ mi aspetto che il momento angolare cambi, giusto? ad esempio nel caso in cui la velocità relativa di $Q_2$ sia eguale in direzione,intensità e verso alla velocità del punto materiale rispetto a $Q_1$ mi aspetto che il momento angolare rispetto a qualunque polo, sia nullo, indipendentemente dal centro e dall'orientamento del sistema di riferimento $Q_2$.
Tutto quello che ho scritto è corretto, o mi sono perso da qualche parte?
Grazie in anticipo a chi avrà la pazienza di leggere il mio quesito.
io avrei una domanda che penso sia al limite del banale, ma la pongo lo stesso giusto per avere una pacca sulla spalla che mi rassicuri. La espongo sotto forma di discorso e vorrei solo la conferma che tutto ciò sia corretto.
La quantità di moto dipende dal sistema inerziale che scelgo? Cioè se ho che la quantità di moto totale di un sistema vale $P_1$ rispetto a un certo sistema inerziale $Q_1$, allora se prendo un'altro sistema inerziale $Q_2$ in generale la quantità di moto $P_2$ rispetto al sistema $Q_2$ sarà diversa da $P_1$, salvo nel caso in cui il sistema $Q_2$ sia muova a velocità nulla rispetto a $Q_1$ e possiedano il medesimo orientamento?
Se prendo un sistema $Q_2$ che si muove con una certa velocità non nulla rispetto a $Q_1$ avrò che la quantità di moto sarà cambiata in modulo, mentre se prendo un sistema inerzia che si muove a velocità nulla rispetto a $Q_1$ ma con un orientamento differente, la quantità di moto resta uguale in modulo ma le componenti del vettore cambiano. Se invece $Q_2$ ha lo stesso orientamento di $Q_1$ e velocità relativa nulla, allora il vettore quantità di moto mi aspetto abbia esattamente le stesso componenti, giusto?
Lo stesso quesito me lo pongo riguardo al momento angolare rispetto ad un certo polo $O$. Se ho un certo punto mobile $O$ , definisco il momento angolare di un punto materiale rispetto al polo $O$ come il prodotto vettore fra il vettore che congiunge il polo al punto materiale, chiamiamolo $x$, e la quantità di moto calcolata però non rispetto al polo ma rispetto a un generico sistema di riferimento inerziale $Q_1$.
Ora cambiamo sistema di riferimento e passiamo a $Q_2$, se la velocità relativa fra i due sistemi inerziali è nulla e i due sistemi hanno lo stesso orientamento, allora la quantità di moto è la medesima, e anche il vettore $x$ che congiunge il punto materiale al polo $O$ è il medesimo, cioè ha le stesse componenti, quindi il momento angolare non cambia , se i sistemi sono solo traslati fra di loro.
Se il sistema $Q_2$ è ruotato rispetto a $Q_1$ per le proprietà del prodotto vettore (facendo i conti) il momento angolare non cambia, anche se le componenti dei vettori $x$ e $P$ sono cambiate. Quindi il momento angolare è invariante per qualsiasi rototraslazione del sistema di riferimento e dipende solo dal polo scelto.
Infine nel caso in cui il sistema $Q_2$ abbia velocità relativa non nulla rispetto $Q_1$ mi aspetto che il momento angolare cambi, giusto? ad esempio nel caso in cui la velocità relativa di $Q_2$ sia eguale in direzione,intensità e verso alla velocità del punto materiale rispetto a $Q_1$ mi aspetto che il momento angolare rispetto a qualunque polo, sia nullo, indipendentemente dal centro e dall'orientamento del sistema di riferimento $Q_2$.
Tutto quello che ho scritto è corretto, o mi sono perso da qualche parte?
Grazie in anticipo a chi avrà la pazienza di leggere il mio quesito.
Risposte
La quantità di moto dipende dal sistema inerziale che scelgo?
No, la quantità di moto dipende solo dall'osservatore
Cioè se ho che la quantità di moto totale di un sistema vale P1 rispetto a un certo sistema inerziale Q1, allora se prendo un'altro sistema inerziale Q2 in generale la quantità di moto P2 rispetto al sistema Q2 sarà diversa da P1, salvo nel caso in cui il sistema Q2 sia muova a velocità nulla rispetto a Q1 e possiedano il medesimo orientamento?
No, la quantità di moto dipende solo dall'osservatore, non ce ne frega niente del "sistema di riferimento", ma chi vi insegna questa roba. Un osservatore vede una qdm P1 che è un vettore, un altro vede P2, che è un vettore, P2 e P1 sono diversi, a meno che i due osservatori non siano in moto relativo nullo tra loro. Non ce ne frega niente dell'orientazione degli assi, un osservatore non è definito da nessun asse (quali assi poi? mica esistono solo le coordinate cartesiane eh...)
Se prendo un sistema Q2 che si muove con una certa velocità non nulla rispetto a Q1 avrò che la quantità di moto sarà cambiata in modulo, mentre se prendo un sistema inerzia che si muove a velocità nulla rispetto a Q1 ma con un orientamento differente, la quantità di moto resta uguale in modulo ma le componenti del vettore cambiano. Se invece Q2 ha lo stesso orientamento di Q1 e velocità relativa nulla, allora il vettore quantità di moto mi aspetto abbia esattamente le stesso componenti, giusto?
La quantità di moto è un "vettore", e come tale va riferita nel suo insieme, non esiste modulo o direzione, esiste solo la quantità di moto. O varia o non varia. Se i due osservatore sono in moto relativo nulla la qdm che essi osservano non varia, altrimenti varia. Delle componenti non ce ne frega nulla. E ancora non c'è bisogno che niente sia inerziale.
Lo stesso quesito me lo pongo riguardo al momento angolare rispetto ad un certo polo O. Se ho un certo punto mobile O , definisco il momento angolare di un punto materiale rispetto al polo O come il prodotto vettore fra il vettore che congiunge il polo al punto materiale, chiamiamolo x, e la quantità di moto calcolata però non rispetto al polo ma rispetto a un generico sistema di riferimento inerziale Q1
Ancora, non c'è bisogno di niente di inerziale. La quantità di moto la valuta un osservatore non un sistema di riferimento. Il sistema di riferimento serve solo a fare i calcoli.
La questione del momento angolare è la stessa della qdm. Se i due osservatori non sono in moto relativo, il momento angolare osservato è lo stesso, altrimenti è diverso.
"Vulplasir":
ma chi vi insegna questa roba.
Purtroppo nessuno si interessa di affrontare rigorosamente questi argomenti, e a quanto vedo nemmeno tu.
"Vulplasir":
No, la quantità di moto dipende solo dall'osservatore
E matematicamente di preciso che oggetto è "l'osservatore"?
"Vulplasir":
quali assi poi?
Quelli definiti da una base?! (non per forza ortonormale)
"Vulplasir":
Delle componenti non ce ne frega nulla. E ancora non c'è bisogno che niente sia inerziale.
Non fregherà nulla a te, ma la mia domanda riguardava proprio le componenti. In secondo luogo nessuno mette in dubbio che si possa parlare di quantità di moto anche in sistemi non inerziali, ma quello di cui mi stavo preoccupando io era come varia e se varia la rappresentazione dei vettori quantità di moto e momento angolare in funzione del tipo di trasformazione galileiana che applico al sistema di riferimento che rappresenta tali vettori. Che poi tali quantità vettoriali esistano indipendentemente da tali sistemi di riferimento nessuno lo mette in dubbio, ma non era il soggetto della discussione.
"Vulplasir":
La quantità di moto è un "vettore", e come tale va riferita nel suo insieme, non esiste modulo o direzione, esiste solo la quantità di moto.
Scusa se mi permetto, ma questa è un'affermazione che dire "approssimativa" è dire poco, a questo punto mi chiedo se sia stato il caso di porre questa domanda nella sezione fisica, forse ponendola in una delle sezioni di matematica avrei ricevuto una risposta meno qualunquista.
Su questa storia degli "osservatori" e dei "sistemi di riferimento" , non si è mai abbastanza chiari. Si è portati troppo spesso a usare il termine "osservatore" , mentre sarebbe più corretto parlare di "riferimenti" . Questo è il parere di Elio Fabri , docente di relatività a Pisa per molti anni , che ha scritto una serie di lezioni per insegnanti , delle quali cito la seguente, a proposito dei riferimenti :
http://www.sagredo.eu/Q16/lez03.pdf
leggetela tutta , è molto istruttiva . Soffermatevi sul fatto che un riferimento è qualcosa di concreto , dove si possono fare misure , ed è assolutamente diverso da un sistema di coordinate ! E soffermatevi sul paragrafo intitolato " Mandiamo in pensione gli osservatori" , dove spiega perchè è preferibile parlare di riferimenti anziché di osservatori .
Tuttavia , se ci si mette d'accordo sulla uguaglianza : Osservatore = riferimento " , con tutto ciò che in un riferimento si può fare (essenzialmente misure) , allora l'equivoco sparisce : ma solo in caso di accordo raggiunto tra le parti!
Dopo di ciò...
@Bossmer
Quello che tu dici è sostanzialmente corretto; una quantità di moto , e per essa una velocità $vecv$ , ha senso se considerata relativamente ad un certo riferimento ( o osservatore, ma con l'intesa che i due termini siano intercambiabili come detto! ) . È chiaro quindi che , cambiando riferimento, cambia anche il vettore velocità di un certo corpo " in moto".
LA domanda è fondamentale : in moto, rispetto a chi o che cosa ? Che cosa significa moto? LA risposta è altrettanto fondamentale : ha senso parlare di moto rispetto ad un certo riferimento. Se io mi metto in moto affiancando il corpo suddetto , con la stessa velocità vettoriale rispetto al riferimento dato, il corpo avrà velocità nulla rispetto a me .
Altrettanto dicasi per il momento angolare , poiché nella sua espressione entra la qm , cioè la velocità.
Chiaramente stiamo parlando di meccanica classica . Ma in meccanica relativistica le cose stanno alla stessa maniera; la relatività del moto, che ha scoperto Galileo e non Newton, oserei dire che diventa ancora più importante , ed è un po' più complesso ricavare le espressioni corrette, visto che le trasformazioni di coordinate (ecco che le coordinate devono comunque entrare in gioco , se si vuole fare dei conti!) non sono più quelle galileiane .
http://www.sagredo.eu/Q16/lez03.pdf
leggetela tutta , è molto istruttiva . Soffermatevi sul fatto che un riferimento è qualcosa di concreto , dove si possono fare misure , ed è assolutamente diverso da un sistema di coordinate ! E soffermatevi sul paragrafo intitolato " Mandiamo in pensione gli osservatori" , dove spiega perchè è preferibile parlare di riferimenti anziché di osservatori .
Tuttavia , se ci si mette d'accordo sulla uguaglianza : Osservatore = riferimento " , con tutto ciò che in un riferimento si può fare (essenzialmente misure) , allora l'equivoco sparisce : ma solo in caso di accordo raggiunto tra le parti!
Dopo di ciò...
@Bossmer
Quello che tu dici è sostanzialmente corretto; una quantità di moto , e per essa una velocità $vecv$ , ha senso se considerata relativamente ad un certo riferimento ( o osservatore, ma con l'intesa che i due termini siano intercambiabili come detto! ) . È chiaro quindi che , cambiando riferimento, cambia anche il vettore velocità di un certo corpo " in moto".
LA domanda è fondamentale : in moto, rispetto a chi o che cosa ? Che cosa significa moto? LA risposta è altrettanto fondamentale : ha senso parlare di moto rispetto ad un certo riferimento. Se io mi metto in moto affiancando il corpo suddetto , con la stessa velocità vettoriale rispetto al riferimento dato, il corpo avrà velocità nulla rispetto a me .
Altrettanto dicasi per il momento angolare , poiché nella sua espressione entra la qm , cioè la velocità.
Chiaramente stiamo parlando di meccanica classica . Ma in meccanica relativistica le cose stanno alla stessa maniera; la relatività del moto, che ha scoperto Galileo e non Newton, oserei dire che diventa ancora più importante , ed è un po' più complesso ricavare le espressioni corrette, visto che le trasformazioni di coordinate (ecco che le coordinate devono comunque entrare in gioco , se si vuole fare dei conti!) non sono più quelle galileiane .
[hide="."]Ti pareva fosse un matematico, di meccanica c'acchiappano poco[/hide]
@Vulplasir:
Dicevi?
Elio Fabri nasce a Roma nel 1930. Studia ad Ostia e a Roma, in buona parte durante il periodo bellico. Mostra precocemente attitudine alla matematica ed interesse per le scienze. È un lettore onnivoro; apprende da autodidatta nel campo della matematica, della fisica e dell’astronomia. È affascinato dalla radio e dalle realizzazioni di Guglielmo Marconi. Si iscrive ad Ingegneria a Roma. Passa poi a Matematica ed infine a Fisica. Decide di dedicarsi alla fisica teorica e si laurea con Bruno Ferretti nel ’51. Collabora per un breve periodo con Bruno Touschek. Successivamente si occupa della determinazione dello spin e della parità del $K^+$ esaminando il modo di decadimento a tre pioni; in questo ambito produce un importante lavoro trattando l’analisi dei momenti angolari di tre particelle in modo relativistico e producendo il ben noto diagramma di Dalitz-Fabri. Marcello Conversi lo invita ad occuparsi del progetto della Calcolatrice Elettronica Pisana — CEP — la prima disegnata e realizzata in Italia su iniziale suggerimento di Fermi. Si trasferisce quindi a Pisa nel 1955 e contribuisce in maniera originale ed impor- tante a questa impresa che risulterà poi fondamentale per i successivi sviluppi della informatica a Pisa e in Italia. Elio Fabri è persona di grande curiosità e di vasti interessi. Ciò lo ha spinto frequentemente a cambiare campo di indagine. Dopo il periodo della CEP nel ’59 torna ad occuparsi di fisica teorica ed in particolare di teoria assiomatica dei campi, di teoria dei gruppi e di “simmetrie” delle quali diviene uno dei primi specialisti italiani.
Si occupa poi per alcuni anni di ricerca astronomica. In parallelo con la sua attività scientifica e in simbiosi con questa, Elio Fabri ha svolto una intensa ed apprezzata attività didattica ricoprendo per molti anni corsi fondamentali del Corso di Laurea in Fisica: Fisica Superiore, Fisica Teorica, Astronomia. Un suo specifico interesse didattico ha sempre riguardato la teoria della relatività. Si è molto occupato di didattica per le scuole secondarie svolgendo e dirigendo corsi di aggiornamento per insegnanti. Ha lungamente contribuito alla diffusione in Italia dei corsi PSSC — “Physical Science Study Committee ”.
Dicevi?
@gug82 Non mi riferivo a Elio Fabri, ma all'OP (mi trovo con quello che dice Fabri, ed è proprio quello che ho scritto nel mio messaggio "approssimativo", identificando "osservatore"="riferimento")
Sara' sicuramente un cranio in Fisica, ma l'Italiano del signor Fabbri e' molto approssimato.
Grazie Gugo, interessante!
ProfKappa, la tua affermazione mi incuriosisce...
Correggo il mio ultimo post: la relatività del moto l’ha scoperta Galileo e non Einstein, erroneamente ho detto “Newton” . Io credo però che anche Newton avesse delle idee in proposito. Si dovrebbe indagare...
ProfKappa, la tua affermazione mi incuriosisce...
Correggo il mio ultimo post: la relatività del moto l’ha scoperta Galileo e non Einstein, erroneamente ho detto “Newton” . Io credo però che anche Newton avesse delle idee in proposito. Si dovrebbe indagare...
@Shackle , grazie mille per l'illuminante risposta, ho letto tutta la lezione di Elio Fabri, davvero molto interessante.
Penso di aver capito il motivo del "sostanzialmente", confrontandomi con la lezione o con il testo di Vladimir Arnold, penso che il mio ragionamento sia corretto se sostituisco "sistema di riferimento inerziale" con "sistema di coordinate"(secondo l'Arnold "spazio galileiano delle coordinate"). Infatti io mi ponevo il problema di come cambiavano appunto le coordinate, e come sottolinei appunto tu ed Ezio Fabri è bene non mischiare il concetto di sistema di riferimento e sistema di coordinate, cosa che io invece concettualmente ho sempre intrecciato. A questo punto però mi sorge un ulteriore domanda, il mio ragionamento e le conclusioni che ho tratto valgono per ogni sistema di coordinate? Sicuramente vale se il mio SC è lo spazio euclideo, ma un SC che non abbia la struttura di spazio euclideo? Per inciso, sapresti per caso farmi un esempio, non banale, di SC che non abbia la struttura di uno spazio euclideo? e per finire le domande così poste hanno senso? Grazie ancora
@ Vulplasir , ti chiederei la cortesia di non rispondere mai più a nessun mio post, perché non solo le tue risposte mi risultano del tutto inutili per quanto riguarda i contenuti, ma il tuo modo di scrivere urta notevolmente la mia sensibilità.
"Shackle":
@Bossmer
Quello che tu dici è sostanzialmente corretto;
Penso di aver capito il motivo del "sostanzialmente", confrontandomi con la lezione o con il testo di Vladimir Arnold, penso che il mio ragionamento sia corretto se sostituisco "sistema di riferimento inerziale" con "sistema di coordinate"(secondo l'Arnold "spazio galileiano delle coordinate"). Infatti io mi ponevo il problema di come cambiavano appunto le coordinate, e come sottolinei appunto tu ed Ezio Fabri è bene non mischiare il concetto di sistema di riferimento e sistema di coordinate, cosa che io invece concettualmente ho sempre intrecciato. A questo punto però mi sorge un ulteriore domanda, il mio ragionamento e le conclusioni che ho tratto valgono per ogni sistema di coordinate? Sicuramente vale se il mio SC è lo spazio euclideo, ma un SC che non abbia la struttura di spazio euclideo? Per inciso, sapresti per caso farmi un esempio, non banale, di SC che non abbia la struttura di uno spazio euclideo? e per finire le domande così poste hanno senso? Grazie ancora
@ Vulplasir , ti chiederei la cortesia di non rispondere mai più a nessun mio post, perché non solo le tue risposte mi risultano del tutto inutili per quanto riguarda i contenuti, ma il tuo modo di scrivere urta notevolmente la mia sensibilità.
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e per finire le domande così poste hanno senso?
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Bossmer,
ben piccolo contributo è il mio , rispetto a uno scritto di Fabri ! Però mi lasci interdetto con questo :
Abbiamo appena finito di dire che non si deve confondere lo "spazio" con il sistema di coordinate che ci metti dentro, per fare calcoli. Per quel poco che ne so, lo spazio della meccanica classica è euclideo , tale lo considera Newton, ma le coordinate non c'entrano.
Si deve arrivare ad Einstein, anzi a Minkowski , per apprendere che lo "spaziotempo " ( attenzione: c'è una dimensione in più , ed è questo che fa la differenza !) non è euclideo ma pseudoeuclideo, con una metrica di segnatura +2 ( o anche -2, a seconda della convenzione adottata dai relativisti) , che rende questo spazio "iperbolico" . Ma qui andiamo in un altro campo.
ben piccolo contributo è il mio , rispetto a uno scritto di Fabri ! Però mi lasci interdetto con questo :
A questo punto però mi sorge un ulteriore domanda, il mio ragionamento e le conclusioni che ho tratto valgono per ogni sistema di coordinate? Sicuramente vale se il mio SC è lo spazio euclideo, ma un SC che non abbia la struttura di spazio euclideo? Per inciso, sapresti per caso farmi un esempio, non banale, di SC che non abbia la struttura di uno spazio euclideo? e per finire le domande così poste hanno senso? Grazie ancora
Abbiamo appena finito di dire che non si deve confondere lo "spazio" con il sistema di coordinate che ci metti dentro, per fare calcoli. Per quel poco che ne so, lo spazio della meccanica classica è euclideo , tale lo considera Newton, ma le coordinate non c'entrano.
Si deve arrivare ad Einstein, anzi a Minkowski , per apprendere che lo "spaziotempo " ( attenzione: c'è una dimensione in più , ed è questo che fa la differenza !) non è euclideo ma pseudoeuclideo, con una metrica di segnatura +2 ( o anche -2, a seconda della convenzione adottata dai relativisti) , che rende questo spazio "iperbolico" . Ma qui andiamo in un altro campo.
Si ma io ho usato la parola "spazio" perché così lo chiama Vladimir Arnold nelle prime pagine del libro "Metodi matematici della meccanica classica" (che insomma non è il primo scemo che passa) e per lui $R\times E^3$ è lo spazio galileiano delle coordinate, e dato un certo insieme $M$ , tutte le funzioni biunivoche $\phi:M\to R\times R^3$ sono i sistemi galileiani di coordinare. Mente per lui lo spazio galileiano è lo spazio affine $A^4$ con certe proprietà semplici che non sto a trascrivere...
Io ho capito che il sistema di coordinate non è lo spazio, però in un certo senso si identificano, perché il sistema di coordinate è un sottoinsieme dello spazio, quindi dato che le proprietà dello spazio sono definite dalle proprietà dei suoi elementi, mi sono permesso di sintetizzare un po' il discorso. Provo a riespormi meglio.
Se mi trovo in uno spazio euclideo, allora valgono le affermazioni che ho fatto all'inzio del Thread, in qualunque sistema di coordinate su esso definito? e perché?
*con spazio io intendo "spazio-tempo".
Io ho capito che il sistema di coordinate non è lo spazio, però in un certo senso si identificano, perché il sistema di coordinate è un sottoinsieme dello spazio, quindi dato che le proprietà dello spazio sono definite dalle proprietà dei suoi elementi, mi sono permesso di sintetizzare un po' il discorso. Provo a riespormi meglio.
Se mi trovo in uno spazio euclideo, allora valgono le affermazioni che ho fatto all'inzio del Thread, in qualunque sistema di coordinate su esso definito? e perché?
*con spazio io intendo "spazio-tempo".
Non conosco il libro citato di V. Arnold, il quale è tutt'altro che il primo scemo che passa. Ma io penso solamente, per fare un esempio terra-terra, a come sono complicate le espressioni della velocità e dell'accelerazione quando si passa da coordinate cartesiane ortogonali a coordinate polari, nello spazio euclideo ! E francamente non parlerei di "confronto di componenti" , usando coordinate qualsiasi; io posso dire solo che una velocità è una velocità , un momento è un momento , e cosí via , e che cambiano a seconda dello stato di moto dell'osservatore, che si porta dietro il suo SC.
SE intendi lo spaziotempo 4-dimensionale quando parli di spazio, allora ti ho già risposto : la metrica non è euclidea, se si parla dello spazotempo della relatività . Per esemplificare, la metrica di Minkowski dello ST ha questo elemento lineare :
$ds^2 = (cdt)^2 - (dx^2 + dy^2 +dz^2)$
che può essere positivo, negativo o nullo . È una forma quadratica non definita positiva. Gode però di una notevole proprietà : è invariante per trasformazioni di coordinate lorentziane, come tutti i 4-vettori in questo spazio.
Per esempio, energia e quantità di moto sono, ognuna presa da sola , variabili con lo stato di moto dell'osservatore (inerziale) . Ma si definisce un 4-vettore impulso :
$barP = ( E/c,vecp) $
che , come tutti i 4-vettori , ha norma invariante; naturalmente si deve porre :
$E = gammamc^2 $
$ vecp = gammamvecv$
e allora si ha : $ barP*barP = (gammamc)^2 - (gammamv)^2 = (mc)^2 $
Ma qui entriamo in un altro campo, che non è quello della tua domanda.
Scusami, ma più di questo io non ti so dire .
SE intendi lo spaziotempo 4-dimensionale quando parli di spazio, allora ti ho già risposto : la metrica non è euclidea, se si parla dello spazotempo della relatività . Per esemplificare, la metrica di Minkowski dello ST ha questo elemento lineare :
$ds^2 = (cdt)^2 - (dx^2 + dy^2 +dz^2)$
che può essere positivo, negativo o nullo . È una forma quadratica non definita positiva. Gode però di una notevole proprietà : è invariante per trasformazioni di coordinate lorentziane, come tutti i 4-vettori in questo spazio.
Per esempio, energia e quantità di moto sono, ognuna presa da sola , variabili con lo stato di moto dell'osservatore (inerziale) . Ma si definisce un 4-vettore impulso :
$barP = ( E/c,vecp) $
che , come tutti i 4-vettori , ha norma invariante; naturalmente si deve porre :
$E = gammamc^2 $
$ vecp = gammamvecv$
e allora si ha : $ barP*barP = (gammamc)^2 - (gammamv)^2 = (mc)^2 $
Ma qui entriamo in un altro campo, che non è quello della tua domanda.
Scusami, ma più di questo io non ti so dire .
"Shackle":
Scusami, ma più di questo io non ti so dire .
Ci mancherebbe, anzi grazie per il tuo contributo, mi ha sollevato nuovi spunti di riflessione.
"Shackle":
è invariante per trasformazioni di coordinate lorentziane, come tutti i 4-vettori in questo spazio.
L'origine della mia domanda nasce appunto da questa parola "invariante", in relatività si parla spesso di quantità invarianti, cioè che non variano (nel senso che il numero non cambia) rispetto a un preciso cambio di coordinate. Però il punto è che le trasformazioni Lorentz, così come quelle di Galileo, sono definite a partire da un sistema di coordinate, non sono estemporanee e definite senza prima aver fissato un sistema di coordinate, tant'è che la forma stessa di queste trasformazioni cambia se esse devono trasformare delle coordinate polari o delle coordinate cartesiane nelle relative controparti. Chiaramente tutto ciò a meno di non definire tali trasformazioni in modo circolare , cioè dicendo le trasformazioni di Lorentz sono quelle trasformazioni le cui forme quadratiche associate alla metrica di Minkowsky sono invarianti, (e allo stesso modo per le trasformazioni di galileo).
P.s. non mi sembra che tutti i quadri vettori siano invarianti per trasformazioni di lorentz, al massimo il $ds^2$ di ogni quadri vettore è invariante, intendevi questo?
Comunque il succo della questione è questo, tutti se ne fregano di come variano le cose cambiando sistema di coordinate, ma a tutti interessa solo come cambiano le cose variando i riferimenti, e io non ne capisco il motivo, visto che quando si parla di invarianza rispetto a una certa trasformazione, essa è prima di tutto un'invarianza rispetto al sistema di coordinate che come conseguenza si porta dietro un invarianza rispetto a un riferimento e non il viceversa. Infatti dire che una certa quantità è invariante per rotazioni vuol dire che le componenti ( i numeri, le componenti del vettore, quello che vuoi ma numeri) sono esattamente le stesse anche dopo aver ruotato il sistema di coordinate, mentre come affermate tutto ciò non solo non avviene, ma non ha proprio senso per un riferimento, proprio perché un riferimento non ha assi e quindi "non posso ruotarlo".
Comunque discuterne mi ha reso più chiara la faccenda, grazie ancora
Ti do una sola , ultima risposta , poi chiudiamo . Hai chiesto :
Intendevo proprio che tutti i 4-vettori hanno norma invariante per TL . Ti ho fatto l'esempio, oltre al 4-intervallo $ds^2$ , del 4-vettore impulso-energia , che è uno dei più importanti.
Non c'è un $ds^2$ per ogni 4-vettore, c'è una norma .
Ciao, buon studio .
P.s. non mi sembra che tutti i quadri vettori siano invarianti per trasformazioni di lorentz, al massimo il $ds^2$ di ogni quadri vettore è invariante, intendevi questo?
Intendevo proprio che tutti i 4-vettori hanno norma invariante per TL . Ti ho fatto l'esempio, oltre al 4-intervallo $ds^2$ , del 4-vettore impulso-energia , che è uno dei più importanti.
Non c'è un $ds^2$ per ogni 4-vettore, c'è una norma .
Ciao, buon studio .
"Shackle":
Non c'è un $ds^2$ per ogni 4-vettore, c'è una norma .
Ciao, buon studio .
Grazie, hai fatto bene a precisare, comunque intendevamo la stessa cosa : $xGx$ dove $x$ è un generico quadrivettore, e $G$ il tensore metrico di Minkowsky.
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