Momenti d'inerzia e problemi di trasposizione

[geckissimo]

salve ragazzi
ho bisogno dei vostri saggi chiarimenti: sono in totale confusion...

Il sistema rigido è costituito da 3 aste di egual massa $m$ e lato $l$ saldate rigidamente tra loro in modo da formare un triangolo equilatero
Il testo chiede di determinare la matrice di inerzia rispetto al punto O e di scrivere l'equazione dell'ellissoide del triangolo rispetto ad O

Adesso...

sembrerà stupido ma riesco a conforndermi per determinare i momenti di inerzia di ciascuna asta rispetto al rifermento $xy$
in particolare per i lati $OA$ ed $AB$

Lato OB
$I_x = 0$
$I_y = (ml^2)/12 + m(l/2)^2$ applicando il teorema di trasposizione

Lato OA
$I_x = (ml^2)/3 * sen^2 60°$ poichè momento rispetto ad una retta passante per un suo estremo, giusto?
$I_y = (ml^2)/3 * ^2 90°$

Lato AB...
$I_x = (ml^2)/3 * sen^2 60°$
$I_y = ...$

ed il momento di deviazione delle aste?
$I_(xy) =I_(xy)^(OB) + I_(xy)^(OA) + I_(xy)^(AB)$
di cui
$I_(xy)^(OB) = 0$
$I_(xy)^(OA) = \int_{0}^{l/2} x dx *\int_{0}^{(l*sqrt(3))/2} y dy$
$I_(xy)^(AB) = \int_{l}^{-l/2} x dx *\int_{0}^{(l*sqrt(3))/2} y dy$

probabilmente non ho le idee tanto chiare se mi deste una mano ve ne sarei grato come sempre
aspetto vostre e grazie ancora

[Faussone]

Io calcolerei le matrici di inerzia per le tre aste singole e poi le sommerei.

Per l'asta orizzontale è facile: hai solo momenti rispetto a y gli altri sono nulli (cioè quello rispetto ad x e i deviatori, suppongo di ragionare in 2 dimensioni).
Per le altre aste io scriverei la matrice di inerzia rispetto ad un riferimento comodo (cioè allineato con l'asta) e poi calcolerei la matrice rispetto a quello voluto sfruttando le proprietà tensoriali della matrice di inerzia.....

Alla fine otterrò tre matrici di inerzia rispetto allo stesso sistema di riferimento che posso sommare.

[geckissimo]

"Faussone":Io calcolerei le matrici di inerzia per le tre aste singole e poi le sommerei.

Per l'asta orizzontale è facile: hai solo momenti rispetto a y gli altri sono nulli (cioè quello rispetto ad x e i deviatori, suppongo di ragionare in 2 dimensioni).
Per le altre aste io scriverei la matrice di inerzia rispetto ad un riferimento comodo (cioè allineato con l'asta) e poi calcolerei la matrice rispetto a quello voluto sfruttando le proprietà tensoriali della matrice di inerzia.....

Alla fine otterrò tre matrici di inerzia rispetto allo stesso sistema di riferimento che posso sommare.

Ti ringrazio per la dritta ma in sostanza quello che tu dici di fare con le matrici (forse un po più lungo) corrisponde all'applicazione del teorema di trasposizione
il mio problema che penso di avere risolto era semplicemente una confusione che facevo nel considerare gli assi di riferimento e le "rette parallele baricentriche"
$I_y^(AB)= I_(y') + md^2$ in cui $I_(y')= \int_{-l/2}^{l/2} rho*l^2 dl = (ml^2)/48$ con $rho=m/l$
quindi $I_y^(AB)= (ml^2)/48 + m ( l - l/2*cos60°)^2

mi permane ancora qualche dubbio sul prodotto di inerzia $I_(xy)$ delle aste $OA$ e $AB$

[Faussone]

"geckissimo":[

Ti ringrazio per la dritta ma in sostanza quello che tu dici di fare con le matrici (forse un po più lungo) corrisponde all'applicazione del teorema di trasposizione
il mio problema che penso di avere risolto era semplicemente una confusione che facevo nel considerare gli assi di riferimento e le "rette parallele baricentriche"
$I_y^(AB)= I_(y') + md^2$ in cui $I_(y')= \int_{-l/2}^{l/2} rho*l^2 dl = (ml^2)/48$ con $rho=m/l$
quindi $I_y^(AB)= (ml^2)/48 + m ( l - l/2*cos60°)^2

mi permane ancora qualche dubbio sul prodotto di inerzia $I_(xy)$ delle aste $OA$ e $AB$

In ogni caso per il calcolo dei momenti $I_x$ e $I_y$ per un estremo devi fare la trasposizione se parti dai valori rispetto agli assi per il centro di massa , anche nel metodo che dicevo io quello va fatto, non viene automatico.

Ma a quel punto non capisco perché non fare direttamente così:

$I_y^(AB)=\int_{0}^{l} x^2 rho*S* dx = ml^2/3$



Ti suggerivo quella strada invece per evitare di fare gli integrali per i momenti deviatori delle aste OA e AB (proprio quelli su cui hai dubbi). A me non piace fare quegli integrali doppi a dire il vero in questo caso quegli integrali non sono certo impossibili... Questione di gusti, quando rispondo qui io suggerisco quello che farei io.....

[geckissimo]

avevo intuito sai e la cosa nono mi dispiace affatto XD
però
sarei curioso riguardo a questa "alternativa"... potresti farmi capire come trovare queste matrici (anche calcolandole) senza dover fare questi amati integrali?

[Faussone]

Non ti scrivo i calcoli ma è semplice.

Immagina di voler trovare la matrice di inerzia dell'asta OA rispetto al sistema di riferimento dato.

Per prima cosa trovi la matrice di inerzia rispetto ad un sistema di riferimento ruotato in cui l'asse x coincide con la direzione OA.

Quella matrice è banale:

$=( ( 0 , 0 ),( 0 , 1/3 mL^2 ) )$

A questo punto per calcolare la matrice rispetto al sistema di riferimento vero basta che fai il prodotto matriciale

$^T $ dove $$ è la matrice di rotazione che ti porta il sistema di riferimento sul vecchio.
Questo perché la matrice di inerzia è un tensore.