Momenti di inerzia, ellissoide di inerzia
Salve a tutti, sto preparando l'esami di Meccanica Razionale e mi sono persa proprio sull'ultimo argomento: dinamica dei corpi rigidi liberi e vincolati.
Ho dato la definizione di momento di inerzia di un sistema S rispetto alla retta r come lo scalare
\(\displaystyle I_r=\Sigma_k m_k * d^2(P_k,r) \).
Esso descrive il comportamento dinamico dei corpi rigidi in rotazione e, da come è stato definito, \(\displaystyle I_r >0 \) sempre.
Dubbio n°1: che cosa sono i prodotti di inerzia? E la matrice di inerzia? Dalla definizione:
I prodotti di inerzia o momenti deviatori sono definiti come \(\displaystyle J_{ij}= \Sigma_k m_k*(x^i)_k*(x^j)_k \) e la matrice di inerzia non so proprio che cos'è nè a cosa serva.
Ho introdotto il tensore di inerzia come l'endomorfismo \(\displaystyle I_O: E_3 -> E_3 \) con
\(\displaystyle I_O (v)= \Sigma_k m_k *[||P_k-O||^2v - (P_k-O)v(P_k-O)] \).
Essendo \(\displaystyle I_O \) un endomorfismo (si dimostra che è simmetrico) allora gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali (Geometria2).
Su una dispensa ho trovato che "supponendo che \(\displaystyle I_O \) abbia 3 autovalori distinti \(\displaystyle I_1,I_2,I_3 \) essi sono detti momenti principali di inerzia relativi al punto O."
Dubbio n°2: come faccio a dire che un vettore (momento) coincide con uno scalare \(\displaystyle I_3 \)?
Dubbio n°3: come si giunge all'ellissoide di inerzia?
Vi prego chiaritemi le idee, sono disperata!!
Ho dato la definizione di momento di inerzia di un sistema S rispetto alla retta r come lo scalare
\(\displaystyle I_r=\Sigma_k m_k * d^2(P_k,r) \).
Esso descrive il comportamento dinamico dei corpi rigidi in rotazione e, da come è stato definito, \(\displaystyle I_r >0 \) sempre.
Dubbio n°1: che cosa sono i prodotti di inerzia? E la matrice di inerzia? Dalla definizione:
I prodotti di inerzia o momenti deviatori sono definiti come \(\displaystyle J_{ij}= \Sigma_k m_k*(x^i)_k*(x^j)_k \) e la matrice di inerzia non so proprio che cos'è nè a cosa serva.
Ho introdotto il tensore di inerzia come l'endomorfismo \(\displaystyle I_O: E_3 -> E_3 \) con
\(\displaystyle I_O (v)= \Sigma_k m_k *[||P_k-O||^2v - (P_k-O)v(P_k-O)] \).
Essendo \(\displaystyle I_O \) un endomorfismo (si dimostra che è simmetrico) allora gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali (Geometria2).
Su una dispensa ho trovato che "supponendo che \(\displaystyle I_O \) abbia 3 autovalori distinti \(\displaystyle I_1,I_2,I_3 \) essi sono detti momenti principali di inerzia relativi al punto O."
Dubbio n°2: come faccio a dire che un vettore (momento) coincide con uno scalare \(\displaystyle I_3 \)?
Dubbio n°3: come si giunge all'ellissoide di inerzia?
Vi prego chiaritemi le idee, sono disperata!!
Risposte
Abbiamo parlato spesso di momenti e prodotti di inerzia, e dell'ellissoide di inerzia. Guardati questa discussione recente. Penso ti possa aiutare. E non disperarti.
Ce ne sono anche altre più vecchie.
viewtopic.php?f=19&t=116562&hilit=+prodotti+di+inerzia
Ce ne sono anche altre più vecchie.
viewtopic.php?f=19&t=116562&hilit=+prodotti+di+inerzia
Il dubbio 2 resta. Ho capito ora cos'è una matrice di inerzia, non è nient'altro che la matrice del tensore di inerzia (endomorfismo) che ha componenti sulla diagonale gli autovalori I_i per i=1,2,3
La mia domanda è: i momenti principali di inerzia sono gli autovettori relativi a questi autovalori I_i? (che nel caso di una terna centrale di inerzia si dicono momenti centrali)
La mia domanda è: i momenti principali di inerzia sono gli autovettori relativi a questi autovalori I_i? (che nel caso di una terna centrale di inerzia si dicono momenti centrali)
i momenti principali sono gli autovalori, mentre gli autovettori determinano gli assi principali
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