Moment torcente
Salve ho un dubbio credevo che il momento torcente durante una rotazione fosse IN MODULO $M_o=RF sinalpha=Ialpha$ però credevo SOLO durante un movimento puramente rotatorio valesse come il prodotto tra l'inerzia e l'accelerazione angolare ora facendo un esercizio mi sto accorgendo che è vale anche per movimenti rototraslatorio. Sbaglio?
La relazione $M=Ialpha$ vale sempre quando c' è una rototraslazione?
La relazione $M=Ialpha$ vale sempre quando c' è una rototraslazione?
Risposte
Io comincerei a chiarire le cose chiamandole con il loro nome: momento e non 'momento torcente'. Così è anche più sempice, non credi?
Come già dicevano nel medioevo: 'dove è chiara lettera non far oscura glossa'.
Il momento torcente è una cosa particolare....
Il momento di una forza (prodotto vettoriale tra vettore posizione del punto di applicazione e forza) calcolato rispetto al centro di massa (c.m.) di un corpo esteso è responsabile dell'accelerazione angolare del corpo attorno al c.m., per cui vale la relazione da te scritta, indipendentemente dal fatto che il c.m. sia fermo o in moto (rispetto all'osservatore che scrive l'equazione). Il moto del c.m. è infatti legato alla risultante delle forze agenti sul corpo.
Come già dicevano nel medioevo: 'dove è chiara lettera non far oscura glossa'.
Il momento torcente è una cosa particolare....
Il momento di una forza (prodotto vettoriale tra vettore posizione del punto di applicazione e forza) calcolato rispetto al centro di massa (c.m.) di un corpo esteso è responsabile dell'accelerazione angolare del corpo attorno al c.m., per cui vale la relazione da te scritta, indipendentemente dal fatto che il c.m. sia fermo o in moto (rispetto all'osservatore che scrive l'equazione). Il moto del c.m. è infatti legato alla risultante delle forze agenti sul corpo.
ok allora vale in movimenti rototraslatori in generale, grazie ;D
Stavo riflettendo proprio su questa relazione, quindi riesumo questo topic per entrare subito nel vivo. Abbiamo capito che, se un corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso, allora vale la relazione
$"momento assiale delle forze esterne" = "momento assiale di inertia" * "accelerazione angolare"$ (*)
Come diceva mirco, questo si generalizza ad un moto rototraslatorio, in cui l'asse non è fisso ma si mantiene parallelo a sé stesso, e passa per il centro di massa.
Domanda: La relazione è ancora vera se l'asse non passa per il centro di massa?
Io penso che la risposta sia no.
__________
(*) Ho dovuto scrivere "inertia" perché altrimenti quel fastidioso autolink mi sballava tutta la scrittura.
$"momento assiale delle forze esterne" = "momento assiale di inertia" * "accelerazione angolare"$ (*)
Come diceva mirco, questo si generalizza ad un moto rototraslatorio, in cui l'asse non è fisso ma si mantiene parallelo a sé stesso, e passa per il centro di massa.
Domanda: La relazione è ancora vera se l'asse non passa per il centro di massa?
Io penso che la risposta sia no.
__________
(*) Ho dovuto scrivere "inertia" perché altrimenti quel fastidioso autolink mi sballava tutta la scrittura.
Io credo che basterebbe ricalcolarsi l'inerzia rispetto a quell'asse.... non voglio dire cretinate tipo un applicazione del Teorema di Huygens-Steiner. Ci dovrei pensare...
"dissonance":
Stavo riflettendo proprio su questa relazione, quindi riesumo questo topic per entrare subito nel vivo. Abbiamo capito che, se un corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso, allora vale la relazione
$"momento assiale delle forze esterne" = "momento assiale di inertia" * "accelerazione angolare"$ (*)
Come diceva mirco, questo si generalizza ad un moto rototraslatorio, in cui l'asse non è fisso ma si mantiene parallelo a sé stesso, e passa per il centro di massa.
Domanda: La relazione è ancora vera se l'asse non passa per il centro di massa?
Io penso che la risposta sia no.
La relazione generale (quella che hai scritto è un caso particolare) è che in un sistema il momento delle forze esterne risultanti rispetto ad un asse è uguale alla derivate del momento angolare rispetto al medesimo asse. L'asse non deve essere per forza per il centro di massa né deve necessariamente essere un punto fisso.
Ovvio che a seconda dei casi conviene fare la scelta più comoda....
Si, certo Faussone sono d'accordissimo con te. Il risultato a cui ti riferisci lo conosco con il nome di equazioni cardinali della dinamica, la seconda equazione cardinale per la precisione. Io parlavo proprio dell'equazione scalare
[tex]$M_z^{\text{est}}= I \ddot{\theta}[/tex]; (1)
secondo me questa equazione non è sempre vera. Prendiamo ad esempio un cilindro omogeneo in cui infilziamo una asta liscia passando per il punto [tex]P[/tex]:
in modo da bloccare l'asse passante per [tex]P[/tex] e uscente dal piano della figura. Se afferriamo l'asta e la acceleriamo verso destra, il cilindro inizierà a ruotare attorno ad essa. Ma, rispetto all'asta, il momento delle forze esterne è nullo: l'unica forza è applicata proprio in essa. Quindi l'equazione (1) non è vera.
[tex]$M_z^{\text{est}}= I \ddot{\theta}[/tex]; (1)
secondo me questa equazione non è sempre vera. Prendiamo ad esempio un cilindro omogeneo in cui infilziamo una asta liscia passando per il punto [tex]P[/tex]:
in modo da bloccare l'asse passante per [tex]P[/tex] e uscente dal piano della figura. Se afferriamo l'asta e la acceleriamo verso destra, il cilindro inizierà a ruotare attorno ad essa. Ma, rispetto all'asta, il momento delle forze esterne è nullo: l'unica forza è applicata proprio in essa. Quindi l'equazione (1) non è vera.
Scusate se mi intrometto....ma dissonance che intendi quando dici:
come acceleri un'asta?
Scusa ma non capisco cosa vuoi dire.
"dissonance":
Se afferriamo l'asta e la acceleriamo verso destra, il cilindro inizierà a ruotare attorno ad essa.
come acceleri un'asta?
Scusa ma non capisco cosa vuoi dire.
Applica in $P$ una forza costante diretta verso destra.
"dissonance":
Applica in $P$ una forza costante diretta verso destra.
Ok. Il braccio della forza, se calcoli i momenti rispetto al punto P, è nullo. Quindi si conserva il momento angolare rispetto al punto P.
Esatto. Ma l'accelerazione angolare non è nulla. Quindi non è vero che
[tex]$M_z^{\text{est}}= I \ddot{\theta}[/tex]
se fosse vero avremmo [tex]\ddot{\theta}=0[/tex].
[tex]$M_z^{\text{est}}= I \ddot{\theta}[/tex]
se fosse vero avremmo [tex]\ddot{\theta}=0[/tex].
"dissonance":
Esatto. Ma l'accelerazione angolare non è nulla. Quindi non è vero che
[tex]$M_z^{\text{est}}= I \ddot{\theta}[/tex]
se fosse vero avremmo [tex]\ddot{\theta}=0[/tex].
Giusto infatti nel tuo caso
[tex]$\ddot{\theta}= a/(R+x)[/tex]
dove con x intendo la distanza tra il centro di massa e P
Ma infatti sul Picasso (pagina 139) è specificato che l'equazione delle forze è:
$(dvecL)/(dt)= vecM - vecv x vecQ$
ove M è il momento delle forze esterne, Q la quantità di moto totale del sistema e v la velocità del polo mobile.
Dunque si ha $Iddottheta = 0 - vecvxvecQ$
$(dvecL)/(dt)= vecM - vecv x vecQ$
ove M è il momento delle forze esterne, Q la quantità di moto totale del sistema e v la velocità del polo mobile.
Dunque si ha $Iddottheta = 0 - vecvxvecQ$
Però devi dimostrare che $vec{L}= I \dot{theta}vec{k}$ ($vec{k}$ è il versore dell'asse di rotazione). Questa formula è vera quando il moto è rotatorio con asse fisso e ci siamo; ma è vera pure col moto rototraslatorio? Non è che l'asse deve essere principale di inerzia o qualche diavoleria del genere?
Sì, è specificato anche questo sul Picasso, solo nel caso di asse principale di inerzia si ha la relazione che dici tu...
Picasso dixit..... 
....ma l'importante è avere chiaro da dove vengono quelle formule.
Io ribadisco che basta ricordare che la derivata del momento angolare rispetto al tempo di un sistema è uguale al momento delle forze esterne applicate, la formula "madre di tutte le altre" è quindi:
$(dL)/(dt) =M_e$ dove il momento angolare e il momento delle forze hanno lo stesso riferimento e polo di riduzione.
Altro non importa, salvo specializzare la formula a secondo dei casi (sistema di riferimento scelto, asse scelto ecc ecc).
Come risolverei il problema specifico scegliendo i due diversi poli?
La prima equazione ovvia è quella della quantità di moto:
$F=m (dV_c)/(dt)$
Per i momenti due casi.
Caso A, polo in $C$ (centro di massa):
$(dL)/(dt) equiv I dot omega = F*R$ ($R$ distanza forza $F$ da $C$ $I$ momento di inerzia asse per $C$).
Caso B, polo in $P$:
$(dL)/(dt) equiv d/(dt)(I*omega - m * V_c * R) equiv I* dot omega - m*R (d V_c)/(dt)= 0$
ho applicato uno dei (non ricordo se è il primo o secondo) teoremi di Konig per cui il momento angolare di un sistema rispetto ad un polo è uguale al momento rispetto al centro di massa più il momento del sistema se tutta la massa fosse nel centro di massa.
Dall'ultima eguaglianza ricordando che $F=m (dV_c)/(dt)$ si ottiene
$I* dot omega = F*R$
cioè lo stesso che il caso A.
....ma l'importante è avere chiaro da dove vengono quelle formule.
Io ribadisco che basta ricordare che la derivata del momento angolare rispetto al tempo di un sistema è uguale al momento delle forze esterne applicate, la formula "madre di tutte le altre" è quindi:
$(dL)/(dt) =M_e$ dove il momento angolare e il momento delle forze hanno lo stesso riferimento e polo di riduzione.
Altro non importa, salvo specializzare la formula a secondo dei casi (sistema di riferimento scelto, asse scelto ecc ecc).
Come risolverei il problema specifico scegliendo i due diversi poli?
La prima equazione ovvia è quella della quantità di moto:
$F=m (dV_c)/(dt)$
Per i momenti due casi.
Caso A, polo in $C$ (centro di massa):
$(dL)/(dt) equiv I dot omega = F*R$ ($R$ distanza forza $F$ da $C$ $I$ momento di inerzia asse per $C$).
Caso B, polo in $P$:
$(dL)/(dt) equiv d/(dt)(I*omega - m * V_c * R) equiv I* dot omega - m*R (d V_c)/(dt)= 0$
ho applicato uno dei (non ricordo se è il primo o secondo) teoremi di Konig per cui il momento angolare di un sistema rispetto ad un polo è uguale al momento rispetto al centro di massa più il momento del sistema se tutta la massa fosse nel centro di massa.
Dall'ultima eguaglianza ricordando che $F=m (dV_c)/(dt)$ si ottiene
$I* dot omega = F*R$
cioè lo stesso che il caso A.
"Faussone":
La prima equazione ovvia è quella della quantità di moto:
$F=m (dV_c)/(dt)$
sei sicuro che sia quantità di moto quello che hai scritto??"Faussone":
ho applicato uno dei (non ricordo se è il primo o secondo) teoremi di Konig per cui il momento angolare di un sistema rispetto ad un polo è uguale al momento rispetto al centro di massa più il momento del sistema se tutta la massa fosse nel centro di massa.
E' il primo teorema. Il secondo riguarda l'energia.
Scusa se mi sono permesso di correggerti
"qwerty90":
Intendevo questo: la derivata della quantità di moto totale di un sistema rispetto al tempo è pari alla risultante delle forze esterne applicate.
Poi sui nomi basta capirsi.
"qwerty90":
E' il primo teorema. Il secondo riguarda l'energia.
Scusa se mi sono permesso di correggerti
Me la sono legata al dito
...ma figurati!
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