Molla, punto materiale, parete verticale
Buongiorno!
Ho un problema nel risolvere un esercizio semplice.
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Un punto materiale di massa $m$ è appeso verticalmente ad una molla di massa trascurabile di costante elastica $k$ e lunghezza a riposo nulla, disposta su una parete verticale.
Il peso, inizialmente fermo, viene lasciato cadere. L'allungamento iniziale della molla molla è pari a zero.
Viene chiesto di:
a) Trovare l'ampiezza massima del moto
b) Disegnare i diagrammi tempo-accelerazione, tempo-velocità e tempo-posizione
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a) Per trovare l'ampiezza $A$, io so che essa è uguale a
$A= sqrt(x_0^2 + (dot(x)_0/omega)^2)$
Dal momento che la posizione iniziale è uguale a zero e la velocità iniziale è uguale a zero, come dovrei fare?
Come posso ricavare l'ampiezza data questa equazione del moto $ddot(y) = -k/my + g$ ?
b) Per quanto riguarda i diagrammi, invece, io ho semplicemente scritto
$mddot(y)= -ky +mg rArr ddot(y) = -k/my + g$
da cui, l'accelerazione è:
Ovvero una funzione sinusoidale il cui valore, all'istante zero, è $g$.
Da questa ho trovato la velocità, ovvero:
Ovvero una funzione sinusoidale il cui valore, all'istante zero, è $0$ e la cui ampiezza è $gsqrt(m/k)$.
Da questa ho trovato la posizione, ovvero:
Ovvero una funzione sinusoidale il cui valore, all'istante zero, è $0$ e la cui ampiezza è $2gm/k$.
Tuttavia questi risultati sembrano essere sbagliati, perché nella soluzione la velocità, ad esempio risulta non cambiare mai verso ed essere sempre positiva (o negativa, a seconda del SDR scelto)-.
Riporto qua sotto la soluzione (le funzioni sinusoidali che ci riguardano sono quelle in blu).
Qualcuno saprebbe aiutarmi nel quesito $a)$ e dirmi cosa sbaglio nel quesito $b)$ ?
Ho un problema nel risolvere un esercizio semplice.
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Un punto materiale di massa $m$ è appeso verticalmente ad una molla di massa trascurabile di costante elastica $k$ e lunghezza a riposo nulla, disposta su una parete verticale.
Il peso, inizialmente fermo, viene lasciato cadere. L'allungamento iniziale della molla molla è pari a zero.
Viene chiesto di:
a) Trovare l'ampiezza massima del moto
b) Disegnare i diagrammi tempo-accelerazione, tempo-velocità e tempo-posizione
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a) Per trovare l'ampiezza $A$, io so che essa è uguale a
$A= sqrt(x_0^2 + (dot(x)_0/omega)^2)$
Dal momento che la posizione iniziale è uguale a zero e la velocità iniziale è uguale a zero, come dovrei fare?
Come posso ricavare l'ampiezza data questa equazione del moto $ddot(y) = -k/my + g$ ?
b) Per quanto riguarda i diagrammi, invece, io ho semplicemente scritto
$mddot(y)= -ky +mg rArr ddot(y) = -k/my + g$
da cui, l'accelerazione è:
$ddot(y)= gcos(sqrt(k/m)t)$
Ovvero una funzione sinusoidale il cui valore, all'istante zero, è $g$.
Da questa ho trovato la velocità, ovvero:
$dot(y)= gsqrt(m/k)sin(sqrt(k/m)t)$
Ovvero una funzione sinusoidale il cui valore, all'istante zero, è $0$ e la cui ampiezza è $gsqrt(m/k)$.
Da questa ho trovato la posizione, ovvero:
$y= - gm/k cos(sqrt(k/m)t) +gm/k$
Ovvero una funzione sinusoidale il cui valore, all'istante zero, è $0$ e la cui ampiezza è $2gm/k$.
Tuttavia questi risultati sembrano essere sbagliati, perché nella soluzione la velocità, ad esempio risulta non cambiare mai verso ed essere sempre positiva (o negativa, a seconda del SDR scelto)-.
Riporto qua sotto la soluzione (le funzioni sinusoidali che ci riguardano sono quelle in blu).
Qualcuno saprebbe aiutarmi nel quesito $a)$ e dirmi cosa sbaglio nel quesito $b)$ ?
Risposte
"anonymous_58f0ac":
nella soluzione la velocità, ad esempio risulta non cambiare mai verso ed essere sempre positiva (o negativa, a seconda del SDR scelto)-.
Che razza di oscillazione è, quella in cui la velocità non cambia mai verso?
"mgrau":
Che razza di oscillazione è, quella in cui la velocità non cambia mai verso?
Non so come mai infatti..guarda la foto in figura, il grafico dove $dot(y)$ rappresenta la velocità in funzione del tempo. La curva che ci interessa è quella blu. Ha sempre lo stesso segno.
Saresti in grado di rispondere al quesito a)?
"anonymous_58f0ac":
Non so come mai infatti..
Forse è semplicemente sbagliata...
L'ampiezza è facile da trovare, è data del peso dell'oggetto diviso k. Quando l'oggetto è sceso di tanto così, il sistema è nel centro dell'oscillazione, e scenderà oltre questo punto di altrettanto.
"mgrau":
L'ampiezza è facile da trovare, è data del peso dell'oggetto diviso k. Quando l'oggetto è sceso di tanto così, il sistema è nel centro dell'oscillazione, e scenderà oltre questo punto di altrettanto.
Come mai è data dal peso dell'oggetto diviso $k$? Scusami ma non capisco come mai.
Purtroppo sono inesperto, quindi se mi fornisci (utili) spiegazioni senza mostrarmi come arrivi a queste conclusioni, è tutto sprecato purtroppo.
Quando l'allungamento della molla è tale per cui $p = kDeltal$, siamo nella situazione di equilibrio statico: peso uguale a forza di richiamo della molla. Questa è la posizione raggiunta quando le oscillazioni si smorzano, il centro dell'oscillazione.
La posizione iniziale, a molla neutra, è chiaramente un estremo dell'oscillazione: il peso, oscillando, non salirà più di così.Allora, l'ampiezza è la distanza fra la posizione estrema (quella iniziale, $Deltal = 0$ ) e quella di equilibrio, $Deltal = p/k$
La posizione iniziale, a molla neutra, è chiaramente un estremo dell'oscillazione: il peso, oscillando, non salirà più di così.Allora, l'ampiezza è la distanza fra la posizione estrema (quella iniziale, $Deltal = 0$ ) e quella di equilibrio, $Deltal = p/k$
"mgrau":
Quando l'allungamento della molla è tale per cui $p = kDeltal$, siamo nella situazione di equilibrio statico: peso uguale a forza di richiamo della molla. Questa è la posizione raggiunta quando le oscillazioni si smorzano, il centro dell'oscillazione.
La posizione iniziale, a molla neutra, è chiaramente un estremo dell'oscillazione: il peso, oscillando, non salirà più di così.Allora, l'ampiezza è la distanza fra la posizione estrema (quella iniziale, $Deltal = 0$ ) e quella di equilibrio, $Deltal = p/k$
Ti ringrazio.
Sono d'accordo con te sul fatto che imponendo $mddot(y)=0 rArr mg=kDeltay$ trovo la posizione di equilibrio.
Mi manca un passaggio logico, fisico direi.
Come fai a dire che la posizione iniziale, con la molla a riposo, è chiaramente un estremo dell'oscillazione? E che l'altro estremo è quello di equilibrio? Seppure potrei intuirlo, come faccio a esserne certo?
Ottima domanda, seguo anche io interessata.
Come mai se $A^2 = x_0^2 + (dot(x)_0/omega)^2$
in questo caso in cui:
$x_0=0$
$ dot(x)_0=0$
$A$ non è uguale a zero? Come si definisce $A$ in questi casi?
Come mai se $A^2 = x_0^2 + (dot(x)_0/omega)^2$
in questo caso in cui:
$x_0=0$
$ dot(x)_0=0$
$A$ non è uguale a zero? Come si definisce $A$ in questi casi?
"anonymous_58f0ac":
Come fai a dire che la posizione iniziale, con la molla a riposo, è chiaramente un estremo dell'oscillazione? E che l'altro estremo è quello di equilibrio?
La posizione iniziale la parte delle posizioni occupate dalla massa oscillante, e ha velocità zero. La velocità è zero negli estremi di oscillazione. E' un po' come se tu avessi un pendolo, lo sposti dalla verticale, e poi lo lasci andare. Il punto in cui lo molli è un estremo.
Occhio che l'altro estremo non è il punto di equilibrio. Il punto di equilibrio è il centro dell'oscillazione, quello in cui la velocità è massima. L'altro estremo sta sotto, a uguale distanza.
@anonymous_be0efb Non ho capito la domanda. Vagamente mi sembra che misuri le $x$ non dal centro ma da un estremo, ma magari mi sbaglio.
"mgrau":[/quote]
[quote="anonymous_58f0ac"]
...
Il punto in cui lo molli è un estremo.
Grazie mgrau, non avevo considerato il fatto che, preso un pendolo semplice, il punto da cui lo mollo sarà un estremo. Stessa cosa vale in questo caso.
Rispondo a anonymous_be0efb per fuorviare dubbi suoi ma anche miei
Basterebbe scrivere
$y (t)= Acos (omegat+phi) +a/omega^2$
Derivare e trovare la velocità
Imporre condizioni iniziali
Trovare $A $
In questo caso $a=g $
I segni dipendono dal sdr scelto
Basterebbe scrivere
$y (t)= Acos (omegat+phi) +a/omega^2$
Derivare e trovare la velocità
Imporre condizioni iniziali
Trovare $A $
In questo caso $a=g $
I segni dipendono dal sdr scelto
a mio avviso le soluzioni da te trovate sono tutte corrette, complimenti. Perchè dici che la velocità non è mai negativa? L'espressione $v(t) = sqrt (m/k)*g*sen(wt)$ è una normale sinusoide (che come noto varia tra -1 e +1) e il coefficiente $sqrt (m/k)*g$. Se tieni presente che $w=(2*pigreca/T)$, puoi provare a sostituire per esempio $t=(3/4)*T$ per verificare che la velocità dell'oggetto al secondo passaggio per il punto di equilibrio è negativa, infatti è rivolta verso l'alto. Un saluto.
L'equazione del moto di un oggetto attaccato a una molla verticale e che viene lasciato cadere quando la molla è ad allungamento nullo (lunghezza della molla pari a lunghezza a riposo l(0)) è, prendendo come riferimento un asse X rivolto verso il basso con origine in corrispondenza della fine della molla a riposo: $x(t)=x(eq)*(1-cos(wt))$, dove:
x(eq) è il punto di equilibrio della molla e dell'oggetto in situazione STATICA, ovvero l'ascissa del punto in cui devo collocare il peso per avere l'equilibrio statico (corpo fermo). Questa x(eq) si trova imponendo l'equilibrio della forza peso agente sul corpo (verso il basso) e la forza di richiamo della molla (verso l'alto), essendo la molla già parzialmente deformata di una lunghezza pari a x(eq) in questo stato. L'equazione è quindi: mg=k*x(eq), da cui ottengo: x(eq)=mg/k.
$w=2*pi*f=sqrt (k/m)$ , dove k è la costante elestica della molla e m la massa del peso attaccato.
Una volta lasciato cadere il corpo, il centro dell'oscillazione (che è il punto in cui la velocità è massima) è proprio x(0) di cui sopra. L'ampiezza massima dell'oscillazione è quindi pari $2*(mg/k)$. Per il grafico richiesto di x(t) rispetto al tempo t basta studiare la funzione di cui sopra, mentre per la velocità devi farne la derivata prima e per l'accelerezione la derivata seconda. Un saluto.
x(eq) è il punto di equilibrio della molla e dell'oggetto in situazione STATICA, ovvero l'ascissa del punto in cui devo collocare il peso per avere l'equilibrio statico (corpo fermo). Questa x(eq) si trova imponendo l'equilibrio della forza peso agente sul corpo (verso il basso) e la forza di richiamo della molla (verso l'alto), essendo la molla già parzialmente deformata di una lunghezza pari a x(eq) in questo stato. L'equazione è quindi: mg=k*x(eq), da cui ottengo: x(eq)=mg/k.
$w=2*pi*f=sqrt (k/m)$ , dove k è la costante elestica della molla e m la massa del peso attaccato.
Una volta lasciato cadere il corpo, il centro dell'oscillazione (che è il punto in cui la velocità è massima) è proprio x(0) di cui sopra. L'ampiezza massima dell'oscillazione è quindi pari $2*(mg/k)$. Per il grafico richiesto di x(t) rispetto al tempo t basta studiare la funzione di cui sopra, mentre per la velocità devi farne la derivata prima e per l'accelerezione la derivata seconda. Un saluto.
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