Molla in carrello accelerato

[feddy]

Un corpo puntiforme di massa $m = 4 kg$ si trova in equilibrio statico sul pianale liscio di un carrello ad una distanza $d = 0.9 m$ dall’estremità libera di una molla ideale, disposta in configurazione orizzontale e avente l’altra estremità vincolata al punto O solidale al carrello. Il carrello è a sua volta in quiete sul piano orizzontale e la molla ha costante elastica $k= 196 \quad N m ^{-1}$ e lunghezza a riposo $l_0 = 0.5 \quad m$.
Improvvisamente il carrello viene messo in moto sul piano orizzontale verso destra con accelerazione di modulo costante $a 0 = 3.2 m^{-2}$ . Assumendo come istante t = 0 quello di impatto fra il corpo e l’estremità libera della molla, determinare nel sistema di riferimento Oxy, solidale al carrello:

1. la velocità della massa m nell’istante di impatto contro l’estremità libera della m
2. Le forza agenti sul corpo immediatamente dopo l'accelerazione
3. Assumendo che il corpo resti attaccato alla molla, l'equazione del moto
4. La posizione di equilibrio del corpo per $t>0$
5. La legge oraria del moto del corpo per $t>0$
6. la compressione massima della molla per $t>0$

Svolgimento:

1. L'accelerazione che subisce il carrello comporta l'insorgere di una forza apparente, o fittizia, $F_t= - m \vec{a_0}$, responsabile del moto della massa nel carrello.

Si ha quindi un moto uniformemente accelerato della massa $m$, che ha legge oraria $x(t)=l_0 + d - \frac{1}{2} a_0 t^2$.

Perciò, imponendo che il corpo sia a contatto con la molla, ossia

$x(t)=d$

si ricava il tempo di contatto

$t_c=\sqrt(\frac{2 d}{a_0}) = 0.75 \quad s$

La velocità all'impatto è $v(t_c)= - a_0 t_c \mathbf{i}$, in direzione opposta lungo l'asse delle x.

2. Si ha la solita relazione di triangolazione $\vec{a'}=\vec{a} - \vec{a_0}$, da cui

$m a' = m(a-a_t)=\sum_{i} F_{\text{vere}} + \vec{F_t} = \vec{P} + \vec{F_{el}} + \vec{N} + \vec{F_t} $

3. Nell'ipotesi che il corpo resti attaccato alla molla, e denotando con $\chi(t)=\Delta x(t)$

$\ddot chi + \omega^2 \chi = - a_0$

4. La posizione di equilibrio si ricava imponendo $\ddot chi =0$, da cui si ha $\chi_{eq} = - \frac{m a_0}{k}$.

Poichè $\chi= x (t) - l_0$, si ricava che

$x_eq=- \frac{m a_0}{k} + l_0 = 0.43 \quad m$

5.
Vale $\chi(t)= A \sin(\omega t+ \phi) - \frac{m a0}{k}$

Le condizioni iniziali sono, che al contatto l'allungamento della molla $\chi(0)=0$, e che la velocità sia pari a quella di impatto calcolata prima, che vale $\dot chi(0)=-a_0 t_c \quad \mathbf{i}= -\sqrt(2 d a_0) \quad \mathbf{i}$
Prendo la velocità con il suo segno, e non in modulo

Da cui:

$\chi(0)=0 \rightarrow A \sin(\phi)=\frac{m a_0}{k}= 0.06$
$\dot \chi(0)=-\sqrt(2 d a_0) \rightarrow Acos(\phi)= - \frac{\sqrt(2 d a_0)}{\omega}=-0.34$

Perciò, sommando i quadrati dei primi membri si ricava:

$[A=\frac{m}{k} \sqrt(a_0 (1+d))]$

$[\phi=arctan(-0.17) \approx - 10°]$

Da cui la legge diventa

$\chi(t)= (\frac{m}{k} \sqrt(a_0 (1+d)) ) \dot \sin(\omega t - \frac{\pi}{18}) - \frac{m a_0}{k}$

[feddy]

Uppo nella speranza di un check

[professorkappa]

Si, pare che vada bene, a parte che all'istante dell'impatto $x(t)=l_0$ e non $x(t)=d$ come scrivi tu.

[feddy]

Grazie per la conferma e per avermi fatto notare l'errore.

Sinceramente ero un po' turbato dal dover prendere una condizione iniziale (la velocità) negativa, mi pareva strano.

Grazie ancora !