Molla di massa \(\ne 0\)
Ciao, amici! Nonostante abbia problemi più importanti sui fondamenti stessi della meccanica elementare, per non passare tutta l'estate a cercare di capire perché spesso si scompone l'accelerazione in radiale e tangenziale apparentemente senza esplicite ipotesi sulla non-nullità della velocità e quali ipotesi si solgono fare sulle traiettorie (in modo che siano giustificati i vari teoremi sul lavoro, per esempio), ho cominciato a studiare un po' oltre sul mio testo, affrontando il moto armonico.
Un esercizio dice che se si ha una molla di lunghezza \(L\) e densità lineare uniforme \(\mu=\frac{m_m}{L}\) collegata ad un blocco come in figura il punto posto alla distanza $\xi$ dall'estremita fissa (a sinistra, su quella specie di muretto in figura) della molla ha velocità \(v_\xi=\frac{\xi}{L} v\) dove $v$ è la velocità del blocco. Intuitivamente, mi pare plausibile. Si tratta però di un risultato empirico a valenza "assiomatica" o si può dimostrare per esempio a partire dalla legge di Hooke \(F_x=-k\Delta x\)? Nel secondo caso, si può dimostrare utilizzando gli strumenti matematici della meccanica Newtoniana "elementare" o serve la meccanica analitica? Se bastasse la "meccanica elementare" chiederei che mi si indicasse una dimostrazione...
Inoltre, il mio testo enuncia il fatto che il moto del blocco collegato alla molla è di tipo armonico, con pulsazione\[\omega=\sqrt{\frac{k}{m+\frac{m_m}{3}}}\]dove $m$ è la massa del blocco, $m_m$ quella della molla e $k$ la costante elastica della molla. Come si dimostra che è armonico? Nel caso di una molla di massa nulla, ciò deriva dall'espressione dell'accelerazione\[m a_x=-k x\]che è un'equazione differenziale che ha per soluzione \(x(t)=A\cos(\omega t+\phi)\) con \(\omega=\sqrt{m^{-1}k}\) per opportuni $A$ e \(\phi\) determinati dalle condizioni iniziali, ma nel caso di una molla massiccia non so se sia sufficiente la "meccanica elementare"...
Grazie di cuore per ogni risposta!
Un esercizio dice che se si ha una molla di lunghezza \(L\) e densità lineare uniforme \(\mu=\frac{m_m}{L}\) collegata ad un blocco come in figura il punto posto alla distanza $\xi$ dall'estremita fissa (a sinistra, su quella specie di muretto in figura) della molla ha velocità \(v_\xi=\frac{\xi}{L} v\) dove $v$ è la velocità del blocco. Intuitivamente, mi pare plausibile. Si tratta però di un risultato empirico a valenza "assiomatica" o si può dimostrare per esempio a partire dalla legge di Hooke \(F_x=-k\Delta x\)? Nel secondo caso, si può dimostrare utilizzando gli strumenti matematici della meccanica Newtoniana "elementare" o serve la meccanica analitica? Se bastasse la "meccanica elementare" chiederei che mi si indicasse una dimostrazione...
Inoltre, il mio testo enuncia il fatto che il moto del blocco collegato alla molla è di tipo armonico, con pulsazione\[\omega=\sqrt{\frac{k}{m+\frac{m_m}{3}}}\]dove $m$ è la massa del blocco, $m_m$ quella della molla e $k$ la costante elastica della molla. Come si dimostra che è armonico? Nel caso di una molla di massa nulla, ciò deriva dall'espressione dell'accelerazione\[m a_x=-k x\]che è un'equazione differenziale che ha per soluzione \(x(t)=A\cos(\omega t+\phi)\) con \(\omega=\sqrt{m^{-1}k}\) per opportuni $A$ e \(\phi\) determinati dalle condizioni iniziali, ma nel caso di una molla massiccia non so se sia sufficiente la "meccanica elementare"...
Grazie di cuore per ogni risposta!
Risposte
Detta $x$ la lunghezza della molla, parametrizzando la generica posizione $\xi =ux$ con $0\lt u \lt 1$ e di conseguenza
$ d\xi =xdu \qquad \qquad \qquad \dot \xi =u \dot x$
considerando per l'energia del sistema anche il contributo $E_d$ della massa distribuita
$E= \frac{1}{2}m \dot x^2+\frac{1}{2}k x^2 +E_d$
e che
$E_d=\frac{1}{2}\int \dot \xi^2dm_m=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}u^2\dot x^2 m_m du=\frac{1}{2}\frac{m_m \dot x^2}{3}$
potremo ricavare la nuova frequenza di oscillazione.
$ d\xi =xdu \qquad \qquad \qquad \dot \xi =u \dot x$
considerando per l'energia del sistema anche il contributo $E_d$ della massa distribuita
$E= \frac{1}{2}m \dot x^2+\frac{1}{2}k x^2 +E_d$
e che
$E_d=\frac{1}{2}\int \dot \xi^2dm_m=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}u^2\dot x^2 m_m du=\frac{1}{2}\frac{m_m \dot x^2}{3}$
potremo ricavare la nuova frequenza di oscillazione.
Grazie, Renzo!
Io ho supposto che il moto sia armonico, descritto diciamo da \(x(t)=A\cos(\omega t+\phi)\), per cui l'energia cinetica \(\big(\frac{m}{2}+\frac{m_m}{6}\big)\omega^2A^2\sin^2(\omega t+\phi) \) e quella potenziale \(\frac{k}{2}A^2\cos^2(\omega t+\phi)\) assumono lo stesso valore massimo \(\big(\frac{m}{2}+\frac{m_m}{6}\big)\omega^2A^2=\frac{k}{2}A^2\), da cui l'espressione desiderata di \(\omega\) (assumendolo positivo, che si può fare senza perdita di generalità data la libertà di scelta del segno di \(\phi\)).
Tuttavia, che cosa ci legittima ad assumere che il moto sia armonico? Basterebbe poter vedere che l'equazione che lo descrive è della forma \(\ddot x=-c^2 x\), dove poi scopriremo che \(c=\sqrt{\frac{k}{m+m_m/3}}\), ma non mi risulta tanto semplice da provare...
Grazie di cuore ancora!
"RenzoDF":Questo perché $u$ è costante, come è intuitivamente convincente, direi. Che sia costante, lo assumiamo date le proprietà empiricamente osservate delle molle?
$ \dot \xi =u \dot x$
"RenzoDF":
[...] e che
$E_d=\frac{1}{2}\int \dot \xi^2dm_m=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}u^2\dot x^2 m_m du=\frac{1}{2}\frac{m_m \dot x^2}{3}$
potremo ricavare la nuova frequenza di oscillazione.
Io ho supposto che il moto sia armonico, descritto diciamo da \(x(t)=A\cos(\omega t+\phi)\), per cui l'energia cinetica \(\big(\frac{m}{2}+\frac{m_m}{6}\big)\omega^2A^2\sin^2(\omega t+\phi) \) e quella potenziale \(\frac{k}{2}A^2\cos^2(\omega t+\phi)\) assumono lo stesso valore massimo \(\big(\frac{m}{2}+\frac{m_m}{6}\big)\omega^2A^2=\frac{k}{2}A^2\), da cui l'espressione desiderata di \(\omega\) (assumendolo positivo, che si può fare senza perdita di generalità data la libertà di scelta del segno di \(\phi\)).
Tuttavia, che cosa ci legittima ad assumere che il moto sia armonico? Basterebbe poter vedere che l'equazione che lo descrive è della forma \(\ddot x=-c^2 x\), dove poi scopriremo che \(c=\sqrt{\frac{k}{m+m_m/3}}\), ma non mi risulta tanto semplice da provare...
Grazie di cuore ancora!
Scusami ma non capisco bene cosa tu intenda dire, che il moto sia armonico non lo supponiamo noi a priori, lo ricaviamo risolvendo l'equazione differenziale ovvero, continuando per la mia strada, dalla
$E= \frac{1}{2}(m + \frac{m_m}{3})\dot x^2+\frac{1}{2}k x^2 $
ottengo
$(m + \frac{m_m}{3})\ddot x + k x =0 $
e quindi
$\omega=\sqrt\frac{k}{m+\frac{m_m}{3}} $
$E= \frac{1}{2}(m + \frac{m_m}{3})\dot x^2+\frac{1}{2}k x^2 $
ottengo
$(m + \frac{m_m}{3})\ddot x + k x =0 $
e quindi
$\omega=\sqrt\frac{k}{m+\frac{m_m}{3}} $
"DavideGenova":
Un esercizio dice che se si ha una molla di lunghezza \(L\) e densità lineare uniforme \(\mu=\frac{m_m}{L}\) collegata ad un blocco come in figura il punto posto alla distanza $\xi$ dall'estremita fissa (a sinistra, su quella specie di muretto in figura) della molla ha velocità \(v_\xi=\frac{\xi}{L} v\) dove $v$ è la velocità del blocco. Intuitivamente, mi pare plausibile. Si tratta però di un risultato empirico a valenza "assiomatica" o si può dimostrare per esempio a partire dalla legge di Hooke \(F_x=-k\Delta x\)? Nel secondo caso, si può dimostrare utilizzando gli strumenti matematici della meccanica Newtoniana "elementare" o serve la meccanica analitica? Se bastasse la "meccanica elementare" chiederei che mi si indicasse una dimostrazione...
Non si dimostra affatto, semplicemente perché è un vincolo in più imposto dall'esercizio per rendere semplice la soluzione.
Volendo avvicinarci di più alla realtà fisica del problema, dovremmo considerare la molla come una linea elastica, dunque salterebbero fuori modi di vibrazione complicati (onde stazionarie lungo la molla), per cui il moto della massa all'estremo non risulterebbe affatto così semplice come supposto in questo esercizio.
"Falco5x":Perfetto. Questo chiarisce perché $u$, nella notazione di Renzo, è costante.
Non si dimostra affatto, semplicemente perché è un vincolo in più imposto dall'esercizio per rendere semplice la soluzione.
"RenzoDF":Non ci avevo pensato a derivare...
Scusami ma non capisco bene cosa tu intenda dire, che il moto sia armonico non lo supponiamo noi a priori, lo ricaviamo risolvendo l'equazione differenziale ovvero, continuando per la mia strada, dalla
$E= \frac{1}{2}(m + \frac{m_m}{3})\dot x^2+\frac{1}{2}k x^2 $
Chiarissime risposte che centrano esattamente quelli che erano i miei dubbi. $\infty$ grazie a tutti e due!!!
Giusto per andare un po' oltre l'approssimazione del terzo di massa $m_m/3$, vedi per esempio
http://physics.citadel.edu/syost/spring.pdf
In particolare il fattore c in [22] funzione del rapporto $\rho=m_m/m$ e di $ \delta$.
http://physics.citadel.edu/syost/spring.pdf
In particolare il fattore c in [22] funzione del rapporto $\rho=m_m/m$ e di $ \delta$.
Grazie ancora!!!!!
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