Molla che collega due masse
Salve, ho questo esercizio che mi sta dando qualche difficoltà.
Due masse $m_1=0,1 Kg$ e $m_2=0,3 Kg$, disposte inizialmente in quiete su un piano orizzontale privo di attrito, sono connesse tra loro mediante una molla di lunghezza a riposo $l_0=0,1 m$ e costante elastica $k$. Se alla massa $m_2$ viene applicata all'istante iniziale una forza orizzontale costante $F=0,1N$, si determini la costante elastica $k$ sapendo che la distanza massima tra le masse durante il moto è $l_M=0,12m$.
Il disegno è il seguente, da sinistra verso destra: $m_1$, poi la molla e quindi $m_2$, che è tirata da una forza orizzontale $vec F$ diretta verso destra.
Ora questo problema non è analogo al caso di due masse tenute unite da un filo e una forza F che tira una delle due masse?
Io infatti ho scritto l'equazione del moto per entrambe le masse.
Per $m_1$ ho scritto: $kx=m_1*a_1$. Per $m_2$: $F-kx=m_2*a_2$. Imponendo poi che $a_1=a_2$ e sapendo che $x$ è l'allungamento della molla, posso ricavare l'accelerazione del sistema e la costante elastica.
La soluzione del problema è invece totalmente diversa. Per caso queste masse oscillano?
Grazie.
Due masse $m_1=0,1 Kg$ e $m_2=0,3 Kg$, disposte inizialmente in quiete su un piano orizzontale privo di attrito, sono connesse tra loro mediante una molla di lunghezza a riposo $l_0=0,1 m$ e costante elastica $k$. Se alla massa $m_2$ viene applicata all'istante iniziale una forza orizzontale costante $F=0,1N$, si determini la costante elastica $k$ sapendo che la distanza massima tra le masse durante il moto è $l_M=0,12m$.
Il disegno è il seguente, da sinistra verso destra: $m_1$, poi la molla e quindi $m_2$, che è tirata da una forza orizzontale $vec F$ diretta verso destra.
Ora questo problema non è analogo al caso di due masse tenute unite da un filo e una forza F che tira una delle due masse?
Io infatti ho scritto l'equazione del moto per entrambe le masse.
Per $m_1$ ho scritto: $kx=m_1*a_1$. Per $m_2$: $F-kx=m_2*a_2$. Imponendo poi che $a_1=a_2$ e sapendo che $x$ è l'allungamento della molla, posso ricavare l'accelerazione del sistema e la costante elastica.
La soluzione del problema è invece totalmente diversa. Per caso queste masse oscillano?
Grazie.
Risposte
Orientando l'asse verso destra e ponendo l'origine nella posizione iniziale della massa $[m_1]$, proporrei un metodo di risoluzione del tipo "forza bruta":
$\{(m_1ddotx_1=-k(x_1-x_2+l_0)),(m_2ddotx_2=-k(-x_1+x_2-l_0)+F):}$
$\{(x_G=(m_1x_1+m_2x_2)/(m_1+m_2)),(x_R=x_1-x_2):} rarr \{(ddotx_G=F/(m_1+m_2)),(ddotx_R=-(k(m_1+m_2))/(m_1m_2)(x_R+l_0)-F/m_2):}$
$[omega^2=(k(m_1+m_2))/(m_1m_2)] rarr {x_R(t)=(m_1F)/(k(m_1+m_2))[cos(omegat)-1]-l_0}$
$\{(m_1ddotx_1=-k(x_1-x_2+l_0)),(m_2ddotx_2=-k(-x_1+x_2-l_0)+F):}$
$\{(x_G=(m_1x_1+m_2x_2)/(m_1+m_2)),(x_R=x_1-x_2):} rarr \{(ddotx_G=F/(m_1+m_2)),(ddotx_R=-(k(m_1+m_2))/(m_1m_2)(x_R+l_0)-F/m_2):}$
$[omega^2=(k(m_1+m_2))/(m_1m_2)] rarr {x_R(t)=(m_1F)/(k(m_1+m_2))[cos(omegat)-1]-l_0}$
"speculor":
Proporrei un metodo di risoluzione del tipo "forza bruta":
$\{(m_1ddotx_1=-k(x_1-x_2+l_0)),(m_2ddotx_2=-k(-x_1+x_2-l_0)+F):}$
$\{(x_G=(m_1x_1+m_2x_2)/(m_1+m_2)),(x_R=x_1-x_2):} rarr \{(ddotx_G=F/(m_1+m_2)),(ddotx_R=-(k(m_1+m_2))/(m_1m_2)(x_R+l_0)-F/m_2):}$
$[omega^2=(k(m_1+m_2))/(m_1m_2)] rarr {x_R(t)=(m_1F)/(k(m_1+m_2))[cos(omegat)-1]-l_0}$
Ciao, quello che non riesco a comprendere è perchè il sistema non si comporta come l'analogo di due masse tenute insieme da un filo teso.
Innanzitutto ti faccio questa domanda:
Qualora al posto della molla ci fosse stato un filo teso, il mio modo di risolvere il problema sarebbe stato corretto?
"lisdap":
Qualora al posto della molla ci fosse stato un filo teso, il mio modo di risolvere il problema sarebbe stato corretto?
Si tratta di un esercizio completamente diverso. In ogni modo:
$\{(m_1ddotx_1=T),(m_2ddotx_2=-T+F),(ddotx_1=ddotx_2):}$
Inoltre, con questo modello, è impossibile dare un senso alla domanda dell'esercizio proposto.
"lisdap":
Quello che non riesco a comprendere è perchè il sistema non si comporta come l'analogo di due masse tenute insieme da un filo teso.
Allora, per coerenza, non dovresti nemmeno comprendere la differenza tra appendere una massa ad un filo ed appendere la stessa massa ad una molla.
"speculor":
Allora, per coerenza, non dovresti nemmeno comprendere la differenza tra appendere una massa ad un filo ed appendere la stessa massa ad una molla.
Per quel che so io la differenza tra una molla e un filo sta nel fatto che mentre il filo è in grado di esercitare una forza di richiamo senza avere la necessità di allungarsi, la molla al contrario deve allungarsi.
in ogni caso vorrei capire se questo sistema, dopo aver applicato la forza, oscilla o meno.
"lisdap":
Per quel che so io la differenza tra una molla e un filo sta nel fatto che mentre il filo è in grado di esercitare una forza di richiamo senza avere la necessità di allungarsi, la molla al contrario deve allungarsi.
Non solo. La presenza di un filo inestensibile determina la condizione $[ddotx_1=ddotx_2]$, la presenza di una molla evidentemente no. In ogni modo, se consideri la seguente soluzione:
$[omega^2=(k(m_1+m_2))/(m_1m_2)] rarr {x_R(t)=(m_1F)/(k(m_1+m_2))[cos(omegat)-1]-l_0}$
è abbastanza evidente che, essendo $[lim_(k->+oo)x_R(t)=-l_0]$, il filo inestensibile può essere considerato il caso limite di una molla con costante elastica estremamente grande, al limite infinita.
"lisdap":
In ogni caso vorrei capire se questo sistema, dopo aver applicato la forza, oscilla o meno.
C'è un $[cos(omegat)]$, vedi un po'.
"speculor":
[quote="lisdap"]
Per quel che so io la differenza tra una molla e un filo sta nel fatto che mentre il filo è in grado di esercitare una forza di richiamo senza avere la necessità di allungarsi, la molla al contrario deve allungarsi.
Non solo. La presenza di un filo inestensibile determina la condizione $[ddotx_1=ddotx_2]$, la presenza di una molla evidentemente no. In ogni modo, se consideri la seguente soluzione:
$[omega^2=(k(m_1+m_2))/(m_1m_2)] rarr {x_R(t)=(m_1F)/(k(m_1+m_2))[cos(omegat)-1]-l_0}$
è abbastanza evidente che, essendo $[lim_(k->+oo)x_R(t)=-l_0]$, il filo inestensibile può essere considerato il caso limite di una molla con costante elastica estremamente grande, al limite infinita.
"lisdap":
In ogni caso vorrei capire se questo sistema, dopo aver applicato la forza, oscilla o meno.
C'è un $[cos(omegat)]$, vedi un po'.[/quote]
Ummm, vedrò di ragionarci un pò sopra. In ogni caso sarebbe interessante poter vedere un video in cui si esegue tale esperienza, in quanto non riesco a pensare a come tale sistema possa oscillare.
Ciao, penso di aver capito cosa sbagliavo nel ragionamento. Lasciando stare le formule, per ora, consideriamo due masse $m_1$ e $m_2$ poste su un piano liscio collegate da una molla che inizialmente è in condizioni di riposo. Nel momento in cui vado ad applicare una forza $F$ diretta verso destra alla seconda massa $m_2$, questa avrà in quel preciso istante un'accelerazione $F/m_2$. Nell'istante immediatamente successivo, la molla si è elongata di pochissimo applicando dunque ad $m_2$ una piccola forza elastica $F_1$ opposta ad $F$. Per il principio di azione e reazione, una forza di modulo pari al modulo di $F_1$ ma verso opposto a quest'ultima sarà applicata alla massa $m_1$. Ora, siccome la massa di $m_1$ può essere anche molto più piccola della massa di $m_2$, $m_1$ potrà acquistare in quell'istante un'accelerazione istantanea maggiore rispetto a quella che presenta nello stesso istante la massa $m_1$ (e ciò dunque spiega come mai il moto può essere oscillatorio e la molla si comprime).
Chiaramente tutto questo che ho detto si ricava dalle equazioni che hai impostato, però mi premeva sapere se il sistema "funzionava" intuitivamente più o meno nel modo che ho esposto.
Grazie.
Chiaramente tutto questo che ho detto si ricava dalle equazioni che hai impostato, però mi premeva sapere se il sistema "funzionava" intuitivamente più o meno nel modo che ho esposto.
Grazie.
"speculor":
$[omega^2=(k(m_1+m_2))/(m_1m_2)] rarr {x_R(t)=(m_1F)/(k(m_1+m_2))[cos(omegat)-1]-l_0}$
Le possibili considerazioni di carattere intuitivo sono dello stesso tipo di quelle da te riportate. Tuttavia, la formula matematica che ho riportato, limitatamente allo studio dell'ampiezza e non della pulsazione, contraddice quello che hai detto. Premesso che non è possibile eliminare l'oscillazione, per individuare i casi limite corrispondenti al "moto rigido", è necessaria la seguente condizione:
$[(m_1F)/(k(m_1+m_2))->0] rarr [F/(k(1+m_2/m_1))->0]$
Quindi, delle due l'una: $[k->+oo]$, come era già stato evidenziato, oppure $[m_2/m_1->+oo]$ equivalente a $[m_1/m_2->0]$. Infine, non si comprende per quale motivo tu senta la necessità di formalizzare in modo abnorme mediante gli strumenti matematici, mi sto riferendo ad altre discussioni, quando, almeno in questo caso, avresti potuto farti aiutare da una soluzione matematicamente ineccepibile. Insomma, rigore matematico senza intuizione, intuizione senza rigore matematico. Meglio una media pesata. Pesi adattabili s'intende.
Se facciamo il limite per $m_2$ che tende a zero della funzione da te trovata dovrei ottenere il caso costituito da una molla dove c'è solo la massa $m_1$ mentre l'altro estremo, libero, è tirato da una forza costante giusto?
E questo limite dovrebbe esistere finito, per $t in [a,+oo]$, in quanto ad equilibrio raggiunto la molla ha un allungamento costante, relativamente al caso $m_2=0$.
E questo limite dovrebbe esistere finito, per $t in [a,+oo]$, in quanto ad equilibrio raggiunto la molla ha un allungamento costante, relativamente al caso $m_2=0$.
Questo modello e il caso limite che proponi non conducono a quell'evidenza sperimentale. Tra l'altro, nel fare i casi limite $[m_1->0]$ oppure $[m_2->0]$, evidentemente privi di significato perchè non rappresentanti grandezze adimensionali, sarebbe più corretto considerare $[m_1/m_2->0]$ oppure $[m_2/m_1->0]$, se si utilizza la variabilità del numeratore non è più possibile trascurare la massa della molla. In questo caso, possono capitare cose piuttosto strane:
http://vic.com/~syost/physics/spring.pdf
molla-e-gravita-t10232.html?hilit=mass
http://vic.com/~syost/physics/spring.pdf
molla-e-gravita-t10232.html?hilit=mass
Nel caso in cui la seconda massa è zero, cioè ho la massa $m_1$, la molla e la forza $F$ applicata all'estremo libero della molla, la molla oscilla o si elonga semplicemente?
Grazie.
Grazie.
Mi sembrava di averti già risposto. Hai sostituito in quel modello?
"speculor":
Mi sembrava di averti già risposto. Hai sostituito in quel modello?
Non ho capito, scusa
. Potresti essere più preciso? Perchè non posso fare il limite per $m_2->0$ della soluzione da te trovata e vedere che succede?Cosa devo sostituire?
Grazie.
"lisdap":
Perchè non posso fare il limite per $m_2->0$ della soluzione da te trovata?
Mi sembra che tu non faccia abbastanza attenzione alle cose che ho già detto. Una cosa per volta. Il caso limite $[m_2->0]$ non ha alcun senso. I casi limite hanno senso solo se si considerano grandezze adimensionali, rapporti tra grandezze omogenee per intenderci, del tipo $[m_1/m_2]$, $[m_2/m_1]$, $[m_1/M]$, $[M/m_1]$, $[m_2/M]$, $[M/m_2]$, avendo indicato con $[M]$ la massa della molla. In Fisica non esistono grandezze piccole oppure grandi in assoluto, esistono grandezze piccole oppure grandi se riferite ad altre grandezze aventi la stessa dimensione. Del resto, dire che $[m_2=0,001 Kg]$ è piccolo, basta cambiare l'unità di misura per avere $[m_2=1000mg]$, magari considerato grande. Il modello che hai proposto non prende in considerazione la massa della molla, evidentemente valgono $[M/m_1->0]$ e $[M/m_2->0]$, o equivalentemente $[m_1/M->oo]$ e $[m_2/M->oo]$. Gli unici casi limite che si possono considerare sono quindi $[m_1/m_2->0]$ e $[m_2/m_1->0]$, rispettivamente equivalenti a $[m_2/m_1->oo]$ e $[m_1/m_2->oo]$. Quello che cercavo di dire è che, nel considerare questi casi limite senza violare il fatto di aver trascurato la massa della molla, bisognerebbe giocare più sui denominatori in $[m_1/m_2->0]$ e $[m_2/m_1->0]$, più sui numeratori in $[m_2/m_1->oo]$ e $[m_1/m_2->oo]$. Viceversa, si arriverebbe ad un punto in cui la massa della molla diventerebbe confrontabile con una delle masse che fai, per così dire, tendere a zero. Tutto questo per dire che, siccome è tua intenzione fare scomparire la massa $[m_2]$ e siccome non esistono molle di massa nulla, non ci si deve meravigliare se il modello preso in considerazione non riproduce l'evidenza sperimentale. In laboratorio, sono convinto che si raggiunge una condizione nella quale l'elongazione della molla rimane costante, ma per riprodurre il fenomeno in un modello matematico è necessario considerare la molla massiva come sistema continuo e tener conto delle onde meccaniche che in essa si propagano e che, dissipando energia, renderanno conto dell'evidenza sperimentale. Per concludere, quel modello ha dei limiti. Ti ho già mostrato i casi limite che portano a non avere oscillazione. Quello da te proposto non rientra nei casi limite a tal fine evidenziati. L'importante è utilizzare il modello senza cadere in contraddizioni di fondo.
"speculor":
Premesso che non è possibile eliminare l'oscillazione, per individuare i casi limite corrispondenti al "moto rigido", è necessaria la seguente condizione:
$[(m_1F)/(k(m_1+m_2))->0] rarr [F/(k(1+m_2/m_1))->0]$
Quindi, delle due l'una: $[k->+oo]$, come era già stato evidenziato, oppure $[m_2/m_1->+oo]$ equivalente a $[m_1/m_2->0]$.
Quando ho considerato il caso limite $[k->+oo]$, non ho preso in considerazione una grandezza adimensionale. Bisognerebbe farlo. Per esempio $[F/(kl_0)->0]$.
Per speculor: ti leggo con molto piacere, sei molto chiaro!
Mi sembra di imparare parecchio anche dalle risposte ai dubbi degli altri.
Mi sembra di imparare parecchio anche dalle risposte ai dubbi degli altri.
"gio73":
Per speculor: ti leggo con molto piacere, sei molto chiaro!
Mi sembra di imparare parecchio anche dalle risposte ai dubbi degli altri.
Ti ringrazio, di cuore.
Ciao, ho provato a risolvere l'esercizio considerando una molla di lunghezza a riposo $l_0$ al cui primo estremo è attaccata una massa $m_2$ mentre l'altro, libero, è tirato da una forza costante $vec F$ (insomma senza ricavare tale situazione come un caso particolare di quella precedente, stando a quello che ci siamo detti)
Le equazioni che ho impostato sono:
per l'estremo libero: $F-k(x_1-x_2-l_0)=0$, dove $x_1$ e $x_2$ sono rispettivamente le posizioni iniziali dell'estremo libero e della massa $m_2$ rispetto ad un riferimento con origine in $m_2$;
per la massa $m_2$: $k(x_1-x_2-l_0)=m_2*a_2$.
Calcolando $x_2$ dalla prima equazione e sostituendolo nella seconda, quest'ultima diventa: $F_1=m_2*(d^2(x))/(dt^2)$. Quindi $x_2(t)=(F_1/(2m_2))t^2$, che, sostituita nella prima equazione, fornisce $x_1=(F_1t^2)/(2m_2)+l_0+F_1/k$. Dunque, $x_1(t)-x_2(t)=F_1/k+l_0$, da cui si evince che la molla procede a equilibrio raggiunto con un allungamento costante di $F_1/k$, giusto?
Quindi, nel caso in cui l'estremo in cui è applicata la forza è libero il sistema non oscilla, mentre nel caso in cui c'è una massa il sistema oscilla. Anche se le equazioni dicono così, non è un pò strano che l'aggiunta di una massa all'estremo libero determini una continua oscillazione del sistema?
Ti ringrazio.
Le equazioni che ho impostato sono:
per l'estremo libero: $F-k(x_1-x_2-l_0)=0$, dove $x_1$ e $x_2$ sono rispettivamente le posizioni iniziali dell'estremo libero e della massa $m_2$ rispetto ad un riferimento con origine in $m_2$;
per la massa $m_2$: $k(x_1-x_2-l_0)=m_2*a_2$.
Calcolando $x_2$ dalla prima equazione e sostituendolo nella seconda, quest'ultima diventa: $F_1=m_2*(d^2(x))/(dt^2)$. Quindi $x_2(t)=(F_1/(2m_2))t^2$, che, sostituita nella prima equazione, fornisce $x_1=(F_1t^2)/(2m_2)+l_0+F_1/k$. Dunque, $x_1(t)-x_2(t)=F_1/k+l_0$, da cui si evince che la molla procede a equilibrio raggiunto con un allungamento costante di $F_1/k$, giusto?
Quindi, nel caso in cui l'estremo in cui è applicata la forza è libero il sistema non oscilla, mentre nel caso in cui c'è una massa il sistema oscilla. Anche se le equazioni dicono così, non è un pò strano che l'aggiunta di una massa all'estremo libero determini una continua oscillazione del sistema?
Ti ringrazio.
Una osservazione preliminare: il sistema di due masse collegate da una molla si comporta come un sistema massa molla in cui l'altro estremo della molla è fisso e la massa è pari alla "massa ridotta" $(m_1 m_2)/(m_1+m_2)$, da un occhiata qui.
A questo punto il problema iniziale dal punto di vista dinamico puoi pensarlo come il classico problema di una molla appesa ad un estremo e disposta verticalmente con una massa all'altro estremo: appena lasci la massa, sotto l'azione della gravità la massa inizia a oscillare attorno alla posizione di equilibrio che corrisponde ad un deformazione pari a $x=mg/k$.
Quindi come vedi è intuitivo che nel problema iniziale il sistema oscilli.
Nel problema che hai posti tu alla fine hai rimosso una massa all'estremità, devi fare attenzione però perché in questo caso stai cercando di applicare una modellizzazione ad un caso estremo e questo porta facilmente a paradossi.
La modellizzazione che si fa normalmente è concentrare tutta l'elasticità del sistema nella molla, e tutta la massa all'estremo o agli estremi della molla.
Nel caso estremo che proponi, non si può scrivere alcuna equazione per l'estremità "vuota" della molla visto che è priva di massa, una trattazione rigorosa possibile è quella di considerare non nulla la massa della molla ma distribuita lungo la molla così come l'elasticità, e fare i calcoli, non è immediato, ma è possibile (se trovo il tempo posto qui).
Solo in tale trattazione puoi vedere quello che accade facendo tendere a zero la massa della molla e osservare che effettivamente la molla non oscilla più.
Il metodo che hai usato tu è eguagliare la forza applicata alla molla al richiamo elastico fornito della molla che equivale a trattare la molla come un sistema rigido, ovvio che se fai così il sistema non oscilla, ma hai imposto tu quella condizione in sostanza.
EDIT: Riguardo al tuo stupore per cui il sistema con massa all'estremo oscilla e senza non lo farebbe, se ci pensi non c'è nulla di strano: l'oscillazione è proprio dovuta all'inerzia dell'estremo, per così dire, che è data proprio dalla massa di estremità.
EDIT2: Comunque in ogni caso mi suona strano (ma può essere per le ragioni illustrate da speculor) che per il problema iniziale facendo tendere la massa di estremità dove c'è la forza a zero non si trovi la posizione di equilibrio statico della molla....
A questo punto il problema iniziale dal punto di vista dinamico puoi pensarlo come il classico problema di una molla appesa ad un estremo e disposta verticalmente con una massa all'altro estremo: appena lasci la massa, sotto l'azione della gravità la massa inizia a oscillare attorno alla posizione di equilibrio che corrisponde ad un deformazione pari a $x=mg/k$.
Quindi come vedi è intuitivo che nel problema iniziale il sistema oscilli.
Nel problema che hai posti tu alla fine hai rimosso una massa all'estremità, devi fare attenzione però perché in questo caso stai cercando di applicare una modellizzazione ad un caso estremo e questo porta facilmente a paradossi.
La modellizzazione che si fa normalmente è concentrare tutta l'elasticità del sistema nella molla, e tutta la massa all'estremo o agli estremi della molla.
Nel caso estremo che proponi, non si può scrivere alcuna equazione per l'estremità "vuota" della molla visto che è priva di massa, una trattazione rigorosa possibile è quella di considerare non nulla la massa della molla ma distribuita lungo la molla così come l'elasticità, e fare i calcoli, non è immediato, ma è possibile (se trovo il tempo posto qui).
Solo in tale trattazione puoi vedere quello che accade facendo tendere a zero la massa della molla e osservare che effettivamente la molla non oscilla più.
Il metodo che hai usato tu è eguagliare la forza applicata alla molla al richiamo elastico fornito della molla che equivale a trattare la molla come un sistema rigido, ovvio che se fai così il sistema non oscilla, ma hai imposto tu quella condizione in sostanza.
EDIT: Riguardo al tuo stupore per cui il sistema con massa all'estremo oscilla e senza non lo farebbe, se ci pensi non c'è nulla di strano: l'oscillazione è proprio dovuta all'inerzia dell'estremo, per così dire, che è data proprio dalla massa di estremità.
EDIT2: Comunque in ogni caso mi suona strano (ma può essere per le ragioni illustrate da speculor) che per il problema iniziale facendo tendere la massa di estremità dove c'è la forza a zero non si trovi la posizione di equilibrio statico della molla....
"Faussone":
Una trattazione rigorosa possibile è quella di considerare non nulla la massa della molla ma distribuita lungo la molla così come l'elasticità, e fare i calcoli, non è immediato, ma è possibile (se trovo il tempo posto qui). Solo in tale trattazione puoi vedere quello che accade facendo tendere a zero la massa della molla e osservare che effettivamente la molla non oscilla più.
Ciao Faussone. Non ho capito se hai in mente un modello che rende conto dell'assenza di oscillazione senza scomodare la dissipazione dell'energia.
Avevo in mente di trattare la molla con massa distribuita e elasticità distribuita, con qualche ipotesi semplificativa non dovrebbe essere troppo complicato, ma a rivedere bene non penso sia necessario, infatti io il problema iniziale lo risolverei come di seguito.
$m_1 a_1=F_{el}$
$m_2 a_2=F-F_{el}$
per cui:
$a_2-a_1=-F_{el}*(1/m_1+1/m_2)+F/m_2$
posto $1/m_r -= (1/m_1+1/m_2)$ e $a_2-a_1-=a_r$
si ha
$m_r a_r = -F_{el} + F m_r /m_2$
se poniamo $x_1$ e $x_2$ a zero quando la molla è indeformata si ottiene che $F_{el]=k (x_2-x_1)$ quindi:
$m_r a_r = -k x_r + F m_r /m_2$ con $x_r-= x_2-x_1$
che è l'equazione di una molla di elasticità $k$, con all'estremo una massa $m_r$, l'altro estremo fisso, sottoposta ad una forza $F m_r/m_2$.
Se questo sistema parte da fermo oscilla con oscillazioni di ampiezza pari a $(F m_r)/(k m_2)$ e la differenza tra molla compressa al massimo e molla allungata sarebbe pari a $2(F m_r)/(k m_2)$.
Quindi la massima lunghezza della molla sarebbe $l_0+2(F m_r)/(k m_2)=l_0+(2F)/k*(m_1 m_2)/(m_2*(m_1+m_2))=l_0+(2F)/k*(m_1)/(m_1+m_2)$.
Se mandiamo $m_2$ a zero si ottiene per la differenza molla allungata al massimo-molla compressa al massimo
$(2 F) / k$ mentre mandando $m_1$ a zero si ottiene 0, cioè molla indeformata.
C'è da notare che anche nel caso di $m_2$ pari a zero la molla oscilla, mentre nel caso di $m_1$ (estremo senza forza) pari a zero ovviamente la molla rimane indeformata.
NB: Nel messaggio precedente sono stato impreciso concentrandomi nella trattazione di una molla con un estremo fisso e l'altro estremo libero e senza massa, che non può essere trattato se non si considera la massa della molla appunto, ma per il problema specifico delle due masse con molla, anche nel caso limite di una delle due masse nulle, non è necessario passare a quella trattazione.
EDIT: Aggiunto qualche altro dettaglio e riscritte equazioni iniziali considerando spostamenti positivi delle masse $x_1$ e $x_2$ verso destra.
$m_1 a_1=F_{el}$
$m_2 a_2=F-F_{el}$
per cui:
$a_2-a_1=-F_{el}*(1/m_1+1/m_2)+F/m_2$
posto $1/m_r -= (1/m_1+1/m_2)$ e $a_2-a_1-=a_r$
si ha
$m_r a_r = -F_{el} + F m_r /m_2$
se poniamo $x_1$ e $x_2$ a zero quando la molla è indeformata si ottiene che $F_{el]=k (x_2-x_1)$ quindi:
$m_r a_r = -k x_r + F m_r /m_2$ con $x_r-= x_2-x_1$
che è l'equazione di una molla di elasticità $k$, con all'estremo una massa $m_r$, l'altro estremo fisso, sottoposta ad una forza $F m_r/m_2$.
Se questo sistema parte da fermo oscilla con oscillazioni di ampiezza pari a $(F m_r)/(k m_2)$ e la differenza tra molla compressa al massimo e molla allungata sarebbe pari a $2(F m_r)/(k m_2)$.
Quindi la massima lunghezza della molla sarebbe $l_0+2(F m_r)/(k m_2)=l_0+(2F)/k*(m_1 m_2)/(m_2*(m_1+m_2))=l_0+(2F)/k*(m_1)/(m_1+m_2)$.
Se mandiamo $m_2$ a zero si ottiene per la differenza molla allungata al massimo-molla compressa al massimo
$(2 F) / k$ mentre mandando $m_1$ a zero si ottiene 0, cioè molla indeformata.
C'è da notare che anche nel caso di $m_2$ pari a zero la molla oscilla, mentre nel caso di $m_1$ (estremo senza forza) pari a zero ovviamente la molla rimane indeformata.
NB: Nel messaggio precedente sono stato impreciso concentrandomi nella trattazione di una molla con un estremo fisso e l'altro estremo libero e senza massa, che non può essere trattato se non si considera la massa della molla appunto, ma per il problema specifico delle due masse con molla, anche nel caso limite di una delle due masse nulle, non è necessario passare a quella trattazione.
EDIT: Aggiunto qualche altro dettaglio e riscritte equazioni iniziali considerando spostamenti positivi delle masse $x_1$ e $x_2$ verso destra.
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