Modello sistema
ciao, avevo bisogno di una conferma sulla correttezza delle equazioni di un semplice sistema meccanico,
il sistema è formato da un piano verticale dove c'è un disco di raggio $R$ e massa $m_r$ al cui centro è vincolata un'asta omogenea di lunghezza $L$ e massa $m_l$ (una spece di pendolo inverso su di una ruota).
inoltre un dispositivo solidale con l'asta esercita un momento sul disco di intensità $M$ ed entrante (in modo che il disco proceda per $s$ crescenti.
il sistema ha due gdl, prendo l'ascissa del centro del disco $C$ e l'angolo $theta$ che l'asta forma con la verticale. per un modello di prima approssimazione trascuro tutto il trascurabile, resistenze dell'aria, elasticità dei materiali ecc..
per le eqazioni del moto vado per la via analitica:
il baricentro dell'asta è $G_l -O = (s + l/2 sin theta, R + l/2 cos theta)$ quindi $v_(G_l) = (dot(s) + l/2 dot(theta) cos theta, -l/2 dot(theta) sin theta)$
quello del disco invece $G_r - O = C - O = (s,R)$ quindi $v_(G_r) = (dot(s) , 0)$.
l'energia cinetica dell'asta è $T_L = 1/2 m_l (dot(s)^2 + l dot(s) dot(theta) cos theta + l^2/4 dot(theta)^2) + 1/2 J_(l_G) dot(theta)^2)$
quella della ruota $T_r = 1/2 m_r dot(s)^2 + 1/2 J_(r_C) dot(s)^2/R^2$
il potenziale dovuto al peso è $U= - m_l g (R + l/2 cos theta)$
le forze generalizzate sono:
il momento M sul disco, $del L = M* dot(s)/R del t$ -> $Q_s = M/R$
il momento che per il terzo principio il disco esercita sull'asta, -> $Q_theta = -M$
dunque le equazioni di lagrange mi vengono
$1/2 m_l l cos theta ddot(s) + (1/4 m_l l^2 + J_(l_G)) ddot(theta) - m_l l/2 g sin theta + M =0$
$( m_r + m_l + J_(r_C) / R^2) ddot(s) +1/2 m_l l cos theta - 1/2 m_l l dot(theta)^2 sin theta - M/R = 0$
a questo punto poichè il controlli non lineare è una brutta bestia volevo considerare il modello linearizzato nell'intorno del punto $(theta,dot(theta)) = (0,0)$ cioè nella posizione d'equilibrio instabile.
per linearizzare invece di derivare ecc. considero che le non linerità sono dovute solo a seni e coseni, quindi basta porre $cos theta -> 1$ e $sin theta -> theta$ per le piccole variazioni.
quindi sostituisco e disaccoppio, e ponendo per semplicità
$k_1 = m_r + m_l + J_(r_C) / R^2$ (coeff. di s'') - $k_2= (1/4 ml L^2 + J_(l_G))$ (coeff di theta'') e $A = 1/2 m_l l$
ho
$ddot(theta) = (k_1 A)/C g theta - (R k_1 + A)/(RC) *M$
$ddot(s) = - A^2/C g theta + (k_2 + AR)/C * M$
va bene secondo voi?
grazie
il sistema è formato da un piano verticale dove c'è un disco di raggio $R$ e massa $m_r$ al cui centro è vincolata un'asta omogenea di lunghezza $L$ e massa $m_l$ (una spece di pendolo inverso su di una ruota).
inoltre un dispositivo solidale con l'asta esercita un momento sul disco di intensità $M$ ed entrante (in modo che il disco proceda per $s$ crescenti.
il sistema ha due gdl, prendo l'ascissa del centro del disco $C$ e l'angolo $theta$ che l'asta forma con la verticale. per un modello di prima approssimazione trascuro tutto il trascurabile, resistenze dell'aria, elasticità dei materiali ecc..
per le eqazioni del moto vado per la via analitica:
il baricentro dell'asta è $G_l -O = (s + l/2 sin theta, R + l/2 cos theta)$ quindi $v_(G_l) = (dot(s) + l/2 dot(theta) cos theta, -l/2 dot(theta) sin theta)$
quello del disco invece $G_r - O = C - O = (s,R)$ quindi $v_(G_r) = (dot(s) , 0)$.
l'energia cinetica dell'asta è $T_L = 1/2 m_l (dot(s)^2 + l dot(s) dot(theta) cos theta + l^2/4 dot(theta)^2) + 1/2 J_(l_G) dot(theta)^2)$
quella della ruota $T_r = 1/2 m_r dot(s)^2 + 1/2 J_(r_C) dot(s)^2/R^2$
il potenziale dovuto al peso è $U= - m_l g (R + l/2 cos theta)$
le forze generalizzate sono:
il momento M sul disco, $del L = M* dot(s)/R del t$ -> $Q_s = M/R$
il momento che per il terzo principio il disco esercita sull'asta, -> $Q_theta = -M$
dunque le equazioni di lagrange mi vengono
$1/2 m_l l cos theta ddot(s) + (1/4 m_l l^2 + J_(l_G)) ddot(theta) - m_l l/2 g sin theta + M =0$
$( m_r + m_l + J_(r_C) / R^2) ddot(s) +1/2 m_l l cos theta - 1/2 m_l l dot(theta)^2 sin theta - M/R = 0$
a questo punto poichè il controlli non lineare è una brutta bestia volevo considerare il modello linearizzato nell'intorno del punto $(theta,dot(theta)) = (0,0)$ cioè nella posizione d'equilibrio instabile.
per linearizzare invece di derivare ecc. considero che le non linerità sono dovute solo a seni e coseni, quindi basta porre $cos theta -> 1$ e $sin theta -> theta$ per le piccole variazioni.
quindi sostituisco e disaccoppio, e ponendo per semplicità
$k_1 = m_r + m_l + J_(r_C) / R^2$ (coeff. di s'') - $k_2= (1/4 ml L^2 + J_(l_G))$ (coeff di theta'') e $A = 1/2 m_l l$
ho
$ddot(theta) = (k_1 A)/C g theta - (R k_1 + A)/(RC) *M$
$ddot(s) = - A^2/C g theta + (k_2 + AR)/C * M$
va bene secondo voi?
grazie
Risposte
"cyd":
il baricentro dell'asta è $G_l -O = (s + l/2 sin theta, R + l/2 cos theta)$ quindi $v_(G_l) = (dot(s) + l/2 dot(theta) sin theta, -l/2 dot(theta) cos theta)$
Intanto $v_(G_l) = (dot(s) + l/2 dot(theta) cos theta, -l/2 dot(theta) sin theta)$. Anche se, nel calcolo dell'energia cinetica, mi sembra che tu abbia utilizzato la formula corretta.
si, ho ricopiato male la velocità.
grazie speculor.
grazie speculor.
La Lagrangiana e le forze generalizzate sono corrette. Può bastare?
si grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo