Modello Lotka-Volterra, insiemi invarianti
Il sistema è questo:
$x'=x(a-by)$
$y'=y(-c+dx)$
I punti di equilibrio sono i punti $O=(0,0)$ e $Z=(c/d,a/b)$
Teorema:
Ogni soluzione del sistema predatore/preda è un'orbita periodica (esclusi gli assi e il punto di equilibrio $Z$)
La mia domanda è
-perché escludiamo gli assi? c'entra qualcosa con il fatto che gli assi sono positivamente invarianti (o mi pare di aver capito che sono invarianti?) e perché lo sono?
Io ho che il primo quadrante $Q$ è positivamente invariante perché le soluzioni del sistema appartengo a Q per ogni $t>=0$, giusto?
Chi mi spiega un po' meglio?
*EDIT*
gli assi $x$ e $y$ sono invarianti perchè
ad esempio se prendo una il punto $(0,y_0)$ , quindi il caso in cui $x=0$ non ci sono prede, la soluzione $(0,y_0e^{-ct})$ resta sull'asse $y$ $AAt>=0$
ragiono ugualmente per un punto $(x_0,0)$ dell'asse $x$
Un altro dubbio:
Nella dimostrazione si sceglie un punto $W!=Z$ e che non stia sugli assi, e si considera una curva soluzione per questo punto, $Phi_t(W)$ con
$gamma^+={Phi_t(W):t>=0}$
$gamma^-$$ ={Phi_t(W):t<=0}$ ,
mi pare di capire che almeno una delle due deve essere limitata, perchè?
$x'=x(a-by)$
$y'=y(-c+dx)$
I punti di equilibrio sono i punti $O=(0,0)$ e $Z=(c/d,a/b)$
Teorema:
Ogni soluzione del sistema predatore/preda è un'orbita periodica (esclusi gli assi e il punto di equilibrio $Z$)
La mia domanda è
-perché escludiamo gli assi? c'entra qualcosa con il fatto che gli assi sono positivamente invarianti (o mi pare di aver capito che sono invarianti?) e perché lo sono?
Io ho che il primo quadrante $Q$ è positivamente invariante perché le soluzioni del sistema appartengo a Q per ogni $t>=0$, giusto?
Chi mi spiega un po' meglio?
*EDIT*
gli assi $x$ e $y$ sono invarianti perchè
ad esempio se prendo una il punto $(0,y_0)$ , quindi il caso in cui $x=0$ non ci sono prede, la soluzione $(0,y_0e^{-ct})$ resta sull'asse $y$ $AAt>=0$
ragiono ugualmente per un punto $(x_0,0)$ dell'asse $x$
Un altro dubbio:
Nella dimostrazione si sceglie un punto $W!=Z$ e che non stia sugli assi, e si considera una curva soluzione per questo punto, $Phi_t(W)$ con
$gamma^+={Phi_t(W):t>=0}$
$gamma^-$$ ={Phi_t(W):t<=0}$ ,
mi pare di capire che almeno una delle due deve essere limitata, perchè?
Risposte
Uppino
Non sono un super esperto di sistemi dinamici, ma:
Si escludono gli assi perché non possono essere orbite periodiche, non essendo compatte. Le orbite periodiche devono essere diffeomorfe al cerchio. (Se non ti sembra ovvio dimmelo e posso provare ad abbozzare una dimostrazione.)
Vale anche il contrario: se un orbita è una curva compatta, e quindi è necessariamente un cerchio, allora deve essere periodica. Anche questo dovrebbe essere abbastanza chiaro.
Ora, il sistema di Lotka-Volterra ha un integrale del moto. Lo copio da wikipedia:
Lo spazio (x,y) è foliato negli insiemi di livello di questa V, che sono insiemi invarianti. Queste varietà invarianti hanno 2 - 1 = 1 dimensioni, e dunque devono coincidere con le orbite stesse. Dunque le orbite sono gli insiemi di livello della quantità conservata.
A questo punto è fatta: basta dimostrare che questi insiemi di livello sono compatti. Siccome sono già chiaramente chiusi, basta dimostrare che sono limitati: insomma, a $V$ fissato, far vedere che $x$ e $y$ sono compresi in un intervallo limitato.
Questo implica che gli insiemi di livello sono diffeomorfi a cerchi e tutto il resto.
Forse esagero? C'è un modo più semplice? Ma smanettare con gli integrali primi è spesso il modo più veloce.
Si escludono gli assi perché non possono essere orbite periodiche, non essendo compatte. Le orbite periodiche devono essere diffeomorfe al cerchio. (Se non ti sembra ovvio dimmelo e posso provare ad abbozzare una dimostrazione.)
Vale anche il contrario: se un orbita è una curva compatta, e quindi è necessariamente un cerchio, allora deve essere periodica. Anche questo dovrebbe essere abbastanza chiaro.
Ora, il sistema di Lotka-Volterra ha un integrale del moto. Lo copio da wikipedia:
Lo spazio (x,y) è foliato negli insiemi di livello di questa V, che sono insiemi invarianti. Queste varietà invarianti hanno 2 - 1 = 1 dimensioni, e dunque devono coincidere con le orbite stesse. Dunque le orbite sono gli insiemi di livello della quantità conservata.
A questo punto è fatta: basta dimostrare che questi insiemi di livello sono compatti. Siccome sono già chiaramente chiusi, basta dimostrare che sono limitati: insomma, a $V$ fissato, far vedere che $x$ e $y$ sono compresi in un intervallo limitato.
Questo implica che gli insiemi di livello sono diffeomorfi a cerchi e tutto il resto.
Forse esagero? C'è un modo più semplice? Ma smanettare con gli integrali primi è spesso il modo più veloce.
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