Modello Gas di Fermi nucleo atomico
Salve, sto studiando i vari modelli nucleari e mi è sorto un dubbio che non riesco a risolvere ( e mi tormenta!) sul primo che ho incontrato: il modello a Gas di Fermi; Vediamo se potete aiutarmi 
Allora io ho il nucleo atomico con N neutroni e Z protoni, ed utilizzo tale modello facendo l'approssimazione che i nucleoni siano in una buca di potenziale tridimensionale a simmetria sferica di larghezza pari alla larghezza del nucleo.
Risolvendo l'equazione di Schrodinger arrivo all'espressione per i vari stati energetici che è: $ E_{n_x, n_y, n_z) = \frac{h^2}{8ma^2} (n_x^2 + n_y^2 + n_z^2) $ , si vede chiaramente che c'è una degenerazione dimensionale dovuta alla natura tridimensionale del problema appunto, quindi ad ogni energia corrispondono più stati e di conseguenza stati isoenergetici corrispondono a stati con la stessa norma del "vettore di stato" $(n_x,n_y,n_z)$.
Fin qui tutto bene;
Ora si introduce una densità di stati per energia, per rendere più agevole il calcolo del numero di stati con le relative degenerazioni, in modo che integrando in un determinato range dE si trovi il numero di stati tra E e E + dE, qui però si deve assumere che gli $n_i$ siano continui, in modo da passare allo "spazio-n" e poter definire una densità di stati senza nessun problema, quindi si dovrebbe avere ( dato che gli n sono discreti) $n_i$ >> 1, ma come è possibile accettare tale affermazione se ad esempio il numero di nucleoni A è 50? n non sarà molto più grande di 1 con tutte le degenerazioni presenti....e questa è la prima cosa che non ho capito.
La seconda cosa arriva dopo aver accettato la prima cosa non capita;
Ad un certo punto avendo la densità di stati, si dice che i nucleoni sono fermioni, quindi per il principio di esclusione ce ne possono essere 2 per ogni stato, ed ecco qui il PROBLEMA.......... quindi moltiplico per 2 la mia densità ( ovviamente distinguendo protoni e neutroni) e mi vado a calcolare la mia energia di fermi e compagnia bella.
Però il mio dubbio è il seguente:
Nei vari libri di testo e dispense che ho consultato, a questo punto per far vedere che i nucleoni occupano al massimo 2 posti per stato, si fa uso della seguente immagine:
Ora ma se la buca era tridimensionale perchè ora è unidimesionale? E poi il dubbio che più mi attanaglia: se ho degenerazione energetica, i nucleoni andaranno ad occupare gli stati energetici finchè saranno pieni, ma dalla figura (e dal modo in cui si descrivono i calcoli) sembra che vadano ad occupare gli stati a coppie solo in base all'energia dello stato, lasciando "liberi" gli altri posti disponibili con la stessa energia ma stati diversi.... non dovrebbero disporsi più correttamente su di una sfera ( la sfera di Fermi
)? Anche perchè in un altro modello, il modello a goccia, si fa uso proprio della stessa immagine, mostrando che i nucleoni si dispongono a coppie ma per livello energetico, non per stato, e da li si calcola pure il termine di asimmetria, che quindi con questo dubbio mi appare molto oscuro....
Grazie per la lettura, e per le eventuali risposte.
Allora io ho il nucleo atomico con N neutroni e Z protoni, ed utilizzo tale modello facendo l'approssimazione che i nucleoni siano in una buca di potenziale tridimensionale a simmetria sferica di larghezza pari alla larghezza del nucleo.
Risolvendo l'equazione di Schrodinger arrivo all'espressione per i vari stati energetici che è: $ E_{n_x, n_y, n_z) = \frac{h^2}{8ma^2} (n_x^2 + n_y^2 + n_z^2) $ , si vede chiaramente che c'è una degenerazione dimensionale dovuta alla natura tridimensionale del problema appunto, quindi ad ogni energia corrispondono più stati e di conseguenza stati isoenergetici corrispondono a stati con la stessa norma del "vettore di stato" $(n_x,n_y,n_z)$.
Fin qui tutto bene;
Ora si introduce una densità di stati per energia, per rendere più agevole il calcolo del numero di stati con le relative degenerazioni, in modo che integrando in un determinato range dE si trovi il numero di stati tra E e E + dE, qui però si deve assumere che gli $n_i$ siano continui, in modo da passare allo "spazio-n" e poter definire una densità di stati senza nessun problema, quindi si dovrebbe avere ( dato che gli n sono discreti) $n_i$ >> 1, ma come è possibile accettare tale affermazione se ad esempio il numero di nucleoni A è 50? n non sarà molto più grande di 1 con tutte le degenerazioni presenti....e questa è la prima cosa che non ho capito.
La seconda cosa arriva dopo aver accettato la prima cosa non capita;
Ad un certo punto avendo la densità di stati, si dice che i nucleoni sono fermioni, quindi per il principio di esclusione ce ne possono essere 2 per ogni stato, ed ecco qui il PROBLEMA.......... quindi moltiplico per 2 la mia densità ( ovviamente distinguendo protoni e neutroni) e mi vado a calcolare la mia energia di fermi e compagnia bella.
Però il mio dubbio è il seguente:
Nei vari libri di testo e dispense che ho consultato, a questo punto per far vedere che i nucleoni occupano al massimo 2 posti per stato, si fa uso della seguente immagine:
Ora ma se la buca era tridimensionale perchè ora è unidimesionale? E poi il dubbio che più mi attanaglia: se ho degenerazione energetica, i nucleoni andaranno ad occupare gli stati energetici finchè saranno pieni, ma dalla figura (e dal modo in cui si descrivono i calcoli) sembra che vadano ad occupare gli stati a coppie solo in base all'energia dello stato, lasciando "liberi" gli altri posti disponibili con la stessa energia ma stati diversi.... non dovrebbero disporsi più correttamente su di una sfera ( la sfera di Fermi
)? Anche perchè in un altro modello, il modello a goccia, si fa uso proprio della stessa immagine, mostrando che i nucleoni si dispongono a coppie ma per livello energetico, non per stato, e da li si calcola pure il termine di asimmetria, che quindi con questo dubbio mi appare molto oscuro....Grazie per la lettura, e per le eventuali risposte.
Risposte
Ciao, provo a risponderti.
Stai confondendo il numero di particelle nella buca di potenziale con la cardinalità dello spettro. Pensa all'atomo di idrogeno: un solo elettrone può occupare un numero numerabile di stati (gli stati legati).
Ciascun nucleone può stare in un insieme numerabile di stati, che diventano approssimativamente un continuo per larghezza della buca molto grande.
beh è abbastanza comune, è solo una ipotesi esemplificativa per non dovere fare immagini più contorte.
Però tieni conto che tipicamente per potenziali a simmetria sferica gli autostati dell'energia possono essere scelti come autostati di momento angolare totale, per cui il problema si riduce nella risoluzione di un problema radiale con un potenziale efficace unidimensionale. In questo senso la raffigurazione unidimensionale è comunque appropriata ...
no no li occuperanno tutti, immagina la figura come se il singolo livello fosse una terna (nx,ny,nz): ciascuno stato è occupato al più da due particelle della stessa specie, con spin opposti.
i deve assumere che gli ni siano continui, in modo da passare allo "spazio-n" e poter definire una densità di stati senza nessun problema, quindi si dovrebbe avere ( dato che gli n sono discreti) ni >> 1, ma come è possibile accettare tale affermazione se ad esempio il numero di nucleoni A è 50? n non sarà molto più grande di 1 con tutte le degenerazioni presenti....e questa è la prima cosa che non ho capito.
Stai confondendo il numero di particelle nella buca di potenziale con la cardinalità dello spettro. Pensa all'atomo di idrogeno: un solo elettrone può occupare un numero numerabile di stati (gli stati legati).
Ciascun nucleone può stare in un insieme numerabile di stati, che diventano approssimativamente un continuo per larghezza della buca molto grande.
Ora ma se la buca era tridimensionale perchè ora è unidimesionale?
beh è abbastanza comune, è solo una ipotesi esemplificativa per non dovere fare immagini più contorte.
Però tieni conto che tipicamente per potenziali a simmetria sferica gli autostati dell'energia possono essere scelti come autostati di momento angolare totale, per cui il problema si riduce nella risoluzione di un problema radiale con un potenziale efficace unidimensionale. In questo senso la raffigurazione unidimensionale è comunque appropriata ...
Ora ma se la buca era tridimensionale perchè ora è unidimesionale? E poi il dubbio che più mi attanaglia: se ho degenerazione energetica, i nucleoni andaranno ad occupare gli stati energetici finchè saranno pieni, ma dalla figura (e dal modo in cui si descrivono i calcoli) sembra che vadano ad occupare gli stati a coppie solo in base all'energia dello stato, lasciando "liberi" gli altri posti disponibili con la stessa energia ma stati diversi.... non dovrebbero disporsi più correttamente su di una sfera
no no li occuperanno tutti, immagina la figura come se il singolo livello fosse una terna (nx,ny,nz): ciascuno stato è occupato al più da due particelle della stessa specie, con spin opposti.
Grazie della risposta, tuttavia l'ultima non l'ho ben capita:
"immagina la figura come se il singolo livello fosse una terna (nx,ny,nz): ciascun stato è occupato al più da due particelle della stessa specie con spin opposti" , ma se ad esempio abbiamo la terna (1,1,2) ci saranno 3 stati con la stessa energia, quindi 6 particelle disposte sullo stesso "livello energetico" invece sembra che ce ne siano sempre e solo 2 , cosa sto sbagliando?
E nella risposta 2, ok che la cardinalità dello spettro è maggiore e quindi n>>1, però poi io con questa densità, integrata, vado a uguagliarla proprio al numero di particelle presenti, che sarà quindi "piccolo" e avrà n non molto grande... io mi immagino tipo un "reticolo sferico" di distanza caratteristica unitaria dove le particelle vanno a disporsi, per n piccoli è difficile vedere un continuo di stati.
Grazie delle eventuali risposte.
"immagina la figura come se il singolo livello fosse una terna (nx,ny,nz): ciascun stato è occupato al più da due particelle della stessa specie con spin opposti" , ma se ad esempio abbiamo la terna (1,1,2) ci saranno 3 stati con la stessa energia, quindi 6 particelle disposte sullo stesso "livello energetico" invece sembra che ce ne siano sempre e solo 2 , cosa sto sbagliando?
E nella risposta 2, ok che la cardinalità dello spettro è maggiore e quindi n>>1, però poi io con questa densità, integrata, vado a uguagliarla proprio al numero di particelle presenti, che sarà quindi "piccolo" e avrà n non molto grande... io mi immagino tipo un "reticolo sferico" di distanza caratteristica unitaria dove le particelle vanno a disporsi, per n piccoli è difficile vedere un continuo di stati.
Grazie delle eventuali risposte.
Ciao,
No, una volta fissata la terna (1,1,2) hai solo due stati con la stessa energia. Chiarisco: l'autostato dell'energia a singola particella lo scrivi come $|n_x,n_y,n_z,s,s_z>$ cioé labellato dai tre interi e dal numero quantico $s_z$ e $s$. Fissata la terna (1,1,2), il sottospazio dell'energia corrispondente ha dimensione 2, ed è generato dagli stati $|1,1,2,1/2,1/2>$ e $|1,1,2,1/2,-1/2>$.
Diverso è invece considerare l'intero autospazio associato a un autovalore di energia, in questo caso quello con energia proporzionale a $n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 = 6$. La dimensione è appunto 6, come dici giustamente e cioé:
$$\left\{|1,1,2,\frac{1}{2},\frac{1}{2}>,|1,1,2,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}>,|1,2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}>,|1,2,1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}>, |2,1,1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}>,|2,1,1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}>\right\}$$
Il punto è l'interpretazione della figura. La figura è intesa rappresentare esattamente il problema che hai appena risolto? Se sì, ogni riga dovrebbe rappresentare un livello energetico diverso ed è assolutamente corretto quello che dici. Per ciascuno bisogna tenere conto non solo la degenerazione legata allo spin $S_z$ ma anche quella legata al "numero di modi in cui è possibile scrivere un numero come quadrato di tre numeri interi". Quindi, il livello di energia cui ti riferisci dovrebbe essere disegnato con 6 particelle (sott'intendendo che il riempimento stia ad indicare la degenerazione del livello).
Avere due protoni con lo stesso spin su un livello non è ovviamente una violazione del principio di esclusione di Pauli, ad es:
il primo protone potrebbe trovarsi nello stato $|1,1,2,1/2,1/2>$ e il secondo protone in $|1,2,1,1/2,1/2>$ o più correttamente lo stato del sistema (ipotizzando l'hamiltoniana a più particelle separabile - no interazioni) sarebbe:
$$
|\psi> = \frac{1}{\sqrt2}\left(|\left(1,1,2,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)_1;\left(1,2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)_2> - |\left(1,2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)_1;\left(1,1,2,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)_2>\right)
$$
Se la figura invece ha deciso di mostrare una buca di potenziale di un problema veramente unidimensionale, allora la rappresentazione è esatta.
Altrimenti è una rappresentazione qualitativa che ignora altre degenerazioni oltre allo spin.
Da qui il senso del mio post: forse la figura ignora le degenerazioni diverse da quella di spin (e cioé visualizza come livello una "singola" terna avente un certo modulo quadro). E riterrei in questo senso la figura solo molto qualitativa e da non prendere alla lettera.
Il mio intervento voleva dare conferma alla tua interpretazione e spiegazione iniziale. Ho provato a "mettermi dalla parte di chi ha fatto quella figura" ma, oggettivamente, nel caso 3D fa abbastanza acqua.
Più chiaro ora?
ma se ad esempio abbiamo la terna (1,1,2) ci saranno 3 stati con la stessa energia, quindi 6 particelle disposte sullo stesso "livello energetico" invece sembra che ce ne siano sempre e solo 2 , cosa sto sbagliando?
No, una volta fissata la terna (1,1,2) hai solo due stati con la stessa energia. Chiarisco: l'autostato dell'energia a singola particella lo scrivi come $|n_x,n_y,n_z,s,s_z>$ cioé labellato dai tre interi e dal numero quantico $s_z$ e $s$. Fissata la terna (1,1,2), il sottospazio dell'energia corrispondente ha dimensione 2, ed è generato dagli stati $|1,1,2,1/2,1/2>$ e $|1,1,2,1/2,-1/2>$.
Diverso è invece considerare l'intero autospazio associato a un autovalore di energia, in questo caso quello con energia proporzionale a $n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 = 6$. La dimensione è appunto 6, come dici giustamente e cioé:
$$\left\{|1,1,2,\frac{1}{2},\frac{1}{2}>,|1,1,2,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}>,|1,2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}>,|1,2,1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}>, |2,1,1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}>,|2,1,1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}>\right\}$$
Il punto è l'interpretazione della figura. La figura è intesa rappresentare esattamente il problema che hai appena risolto? Se sì, ogni riga dovrebbe rappresentare un livello energetico diverso ed è assolutamente corretto quello che dici. Per ciascuno bisogna tenere conto non solo la degenerazione legata allo spin $S_z$ ma anche quella legata al "numero di modi in cui è possibile scrivere un numero come quadrato di tre numeri interi". Quindi, il livello di energia cui ti riferisci dovrebbe essere disegnato con 6 particelle (sott'intendendo che il riempimento stia ad indicare la degenerazione del livello).
Avere due protoni con lo stesso spin su un livello non è ovviamente una violazione del principio di esclusione di Pauli, ad es:
il primo protone potrebbe trovarsi nello stato $|1,1,2,1/2,1/2>$ e il secondo protone in $|1,2,1,1/2,1/2>$ o più correttamente lo stato del sistema (ipotizzando l'hamiltoniana a più particelle separabile - no interazioni) sarebbe:
$$
|\psi> = \frac{1}{\sqrt2}\left(|\left(1,1,2,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)_1;\left(1,2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)_2> - |\left(1,2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)_1;\left(1,1,2,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)_2>\right)
$$
Se la figura invece ha deciso di mostrare una buca di potenziale di un problema veramente unidimensionale, allora la rappresentazione è esatta.
Altrimenti è una rappresentazione qualitativa che ignora altre degenerazioni oltre allo spin.
Da qui il senso del mio post: forse la figura ignora le degenerazioni diverse da quella di spin (e cioé visualizza come livello una "singola" terna avente un certo modulo quadro). E riterrei in questo senso la figura solo molto qualitativa e da non prendere alla lettera.
Il mio intervento voleva dare conferma alla tua interpretazione e spiegazione iniziale. Ho provato a "mettermi dalla parte di chi ha fatto quella figura" ma, oggettivamente, nel caso 3D fa abbastanza acqua.
Più chiaro ora?
Per la seconda questione:
potresti spiegare in che contesto (punto della derivazione) uguagli l'integrale sulla densità degli stati al numero di particelle?
Edit: credo di avere capito, nell'integrazione sugli stati non integri su tutti i momenti, vero?
Immagino che ipotizzi il "gas" a temperatura nulla e di conseguenza ti ritrovi ad integrare fino all'energia (o al momento, dipende in funzione di cosa esprimi la densità degli stati) di Fermi.
Edit2: rileggendo ora con attenzione:
ok che puoi considerare gli $n_i$ continui, ma ciò non implica che debba essere $n_i$ >> 1.
E nella risposta 2, ok che la cardinalità dello spettro è maggiore e quindi n>>1, però poi io con questa densità, integrata, vado a uguagliarla proprio al numero di particelle presenti, che sarà quindi "piccolo" e avrà n non molto grande...
potresti spiegare in che contesto (punto della derivazione) uguagli l'integrale sulla densità degli stati al numero di particelle?
Edit: credo di avere capito, nell'integrazione sugli stati non integri su tutti i momenti, vero?
Immagino che ipotizzi il "gas" a temperatura nulla e di conseguenza ti ritrovi ad integrare fino all'energia (o al momento, dipende in funzione di cosa esprimi la densità degli stati) di Fermi.
Edit2: rileggendo ora con attenzione:
Ora si introduce una densità di stati per energia, per rendere più agevole il calcolo del numero di stati con le relative degenerazioni, in modo che integrando in un determinato range dE si trovi il numero di stati tra E e E + dE, qui però si deve assumere che gli ni siano continui, in modo da passare allo "spazio-n" e poter definire una densità di stati senza nessun problema, quindi si dovrebbe avere ( dato che gli n sono discreti) ni >> 1
ok che puoi considerare gli $n_i$ continui, ma ciò non implica che debba essere $n_i$ >> 1.
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