Modello di uno strumento ad ancia
Salve a tutti,
ho un interessante problema da proporvi e spero sinceramente che qualcuno possa aiutarmi.
Devo definire le equazioni per modellare uno strumento ad ancia (molto semplificato) e studiarne la stabilità: in pratica ho un condoto orizzontale in cui scorre un fluido (diciamo aria...) per far oscillare un'ancia. La sezione del condotto è nota($S_0$), come la pressione iniziale esercitata all'imbocco del tubo ($P_0$) e la velocità iniziale dell'aria ($V_0$). Il sistema parte on l'ancia in posizione di riposo, quindi con scostamento x uguale a 0. Sotto la forza esercitata dalla pressione l’ancia tenderà ad aprirsi, ma a causa della sua resistenza tenderà a riportarsi verso la posizione a riposo. Questa forza viene considerata analoga a quella di una molla (l'ancia avrà dunque massa m e costante elastica k). Ultima considerazione, la sezione del condotto aumenta in corrispondenza dell'ancia di un valore proporzionale allo scostamento di quest'ultima ($S=S_0+x$).
Nella formulazione del modello, per semplicità, viene assunto che la velocità del fluido dipende direttamente dalla pressione e dall'apertura dell'ancia.
La natura del modello è chiaramente oscillante. Tagliando corto, l'equazione che modella l'ancia è del tipo:
$m(del^2x)/(delt)+\gamma(delx)/(delt)+\omega_0^2x=0$
con gamma una costante proporzionale all'attrito e $\omega_0=sqrt(k/m)$
Adesso, applicando il principio di Bernoulli, posso dire che
$P+\rho/2V^2=costante$ (la gravità non influisce poiché il tubo è orizzontale)
dunque $P_0+\rho/2V_0^2=P+\rho/2V^2$
Dove $P$ è la pressione nel condotto dopo aver superato l'ancia, lo stesso dicasi per $V$.
Quindi $\DeltaP=\rho/2\Deltat(V^2-V_0^2)
considerando la forza esterna come $F_e=PA$ dove P è la pressione esercitata sull'ancia e A l'area dell'ancia, ottengo
$m(del^2x)/(delt)+\gamma(delx)/(delt)+\omega_0^2x=\rho/2A(V^2-V_0^2)$
Il mio problema è la velocità dell'aria una volta superata l'ancia. Sapendo che in un condotto la velocità di un fluido moltiplicato la sezione è sempre costante, ottengo
$VS=V_0S_0$ quindi $V=(V_0S_0)/S$ dove S dipende da $S_0$ e da x.
Facendo le dovute sostituzioni nella formula precedente si ottiene
$m(del^2x)/(delt)+\gamma(delx)/(delt)+\omega_0^2x=\rho/2A(((V_0S_0)/S)^2-V_0^2)$
Allora la mia domanda è: secondo voi, è veramente così? Non sono molto convinto dell'ultimo passo. Secondo me dovrei trovare un'altra equazione differenziale per la V, così da trattare il modello come un sistema non lineare a due gradi di libertà, ma non saprei come trovarla....
Comunque sia, adesso come procedo?
Spero di avervi fornito tutte le informazioni necessarie, se così non fosse, chiedete pure!
Grazie per la vostra attenzione, a presto!
ho un interessante problema da proporvi e spero sinceramente che qualcuno possa aiutarmi.
Devo definire le equazioni per modellare uno strumento ad ancia (molto semplificato) e studiarne la stabilità: in pratica ho un condoto orizzontale in cui scorre un fluido (diciamo aria...) per far oscillare un'ancia. La sezione del condotto è nota($S_0$), come la pressione iniziale esercitata all'imbocco del tubo ($P_0$) e la velocità iniziale dell'aria ($V_0$). Il sistema parte on l'ancia in posizione di riposo, quindi con scostamento x uguale a 0. Sotto la forza esercitata dalla pressione l’ancia tenderà ad aprirsi, ma a causa della sua resistenza tenderà a riportarsi verso la posizione a riposo. Questa forza viene considerata analoga a quella di una molla (l'ancia avrà dunque massa m e costante elastica k). Ultima considerazione, la sezione del condotto aumenta in corrispondenza dell'ancia di un valore proporzionale allo scostamento di quest'ultima ($S=S_0+x$).
Nella formulazione del modello, per semplicità, viene assunto che la velocità del fluido dipende direttamente dalla pressione e dall'apertura dell'ancia.
La natura del modello è chiaramente oscillante. Tagliando corto, l'equazione che modella l'ancia è del tipo:
$m(del^2x)/(delt)+\gamma(delx)/(delt)+\omega_0^2x=0$
con gamma una costante proporzionale all'attrito e $\omega_0=sqrt(k/m)$
Adesso, applicando il principio di Bernoulli, posso dire che
$P+\rho/2V^2=costante$ (la gravità non influisce poiché il tubo è orizzontale)
dunque $P_0+\rho/2V_0^2=P+\rho/2V^2$
Dove $P$ è la pressione nel condotto dopo aver superato l'ancia, lo stesso dicasi per $V$.
Quindi $\DeltaP=\rho/2\Deltat(V^2-V_0^2)
considerando la forza esterna come $F_e=PA$ dove P è la pressione esercitata sull'ancia e A l'area dell'ancia, ottengo
$m(del^2x)/(delt)+\gamma(delx)/(delt)+\omega_0^2x=\rho/2A(V^2-V_0^2)$
Il mio problema è la velocità dell'aria una volta superata l'ancia. Sapendo che in un condotto la velocità di un fluido moltiplicato la sezione è sempre costante, ottengo
$VS=V_0S_0$ quindi $V=(V_0S_0)/S$ dove S dipende da $S_0$ e da x.
Facendo le dovute sostituzioni nella formula precedente si ottiene
$m(del^2x)/(delt)+\gamma(delx)/(delt)+\omega_0^2x=\rho/2A(((V_0S_0)/S)^2-V_0^2)$
Allora la mia domanda è: secondo voi, è veramente così? Non sono molto convinto dell'ultimo passo. Secondo me dovrei trovare un'altra equazione differenziale per la V, così da trattare il modello come un sistema non lineare a due gradi di libertà, ma non saprei come trovarla....
Comunque sia, adesso come procedo?
Spero di avervi fornito tutte le informazioni necessarie, se così non fosse, chiedete pure!
Grazie per la vostra attenzione, a presto!
Risposte
Il procedimento per arrivare all'equazione è corretto. Ti manca solo di esplicitare $S(x)$.
Il sistema ha un solo grado di libertà (lo spostamento $x$ dell'ancia se vogliamo).
Trovare la soluzione analitica di questa equazione la vedo dura, quindi credo che ti dovresti limitare a trovare il punto di equilibrio (quello in cui la forza elastica eguaglia la forza risultante dalla pressione sull'ancia) e verificarne la stabilità, come chiede il testo.
Il sistema ha un solo grado di libertà (lo spostamento $x$ dell'ancia se vogliamo).
Trovare la soluzione analitica di questa equazione la vedo dura, quindi credo che ti dovresti limitare a trovare il punto di equilibrio (quello in cui la forza elastica eguaglia la forza risultante dalla pressione sull'ancia) e verificarne la stabilità, come chiede il testo.
Grazie per la risposta! Il fatto che sia a un grado di libertà sconvolge leggermente i miei piani. Quindi dovrei approssimare la funzione con uno sviluppo in serie di Taylor al secondo ordine? Della matrice Jacobiana non se ne parla proprio, visto che ho una F sola... Poi calcolare gli zeri della funzione, giusto?
Mi pare che ti stai confondendo tra numero di gradi di libertà e ordine dell'equazione differenziale
Devi ridurre l'equazione differenziale nella forma: $dotX=F(X)$ come puoi trovare spiegato qui http://www.thch.unipg.it/~franc/ct/node199.html
Ad esempio se hai l'equazione $ddotx+c dotx+kx=0$
Si riduce al sistema
$dotx=u$
$dotu=-cu-kx$
In questo caso il sistema è lineare.
Si ricavano i punti di equilibrio, la cui definizione puoi trovare in questo link http://copernico.dm.unipi.it/~milani/dinsis/node15.html
e si studia la stabilità http://copernico.dm.unipi.it/~milani/dinsis/node16.html (e link precedente)
Devi ridurre l'equazione differenziale nella forma: $dotX=F(X)$ come puoi trovare spiegato qui http://www.thch.unipg.it/~franc/ct/node199.html
Ad esempio se hai l'equazione $ddotx+c dotx+kx=0$
Si riduce al sistema
$dotx=u$
$dotu=-cu-kx$
In questo caso il sistema è lineare.
Si ricavano i punti di equilibrio, la cui definizione puoi trovare in questo link http://copernico.dm.unipi.it/~milani/dinsis/node15.html
e si studia la stabilità http://copernico.dm.unipi.it/~milani/dinsis/node16.html (e link precedente)
Ok, mi metto all'opera. Grazie per i link!
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