Modello di un oscillatore con flusso di palline
Salve,
devo definire le equazioni che modellano la seguente situazione: ho un pedale, collegato al terreno da una molla (tipo un pedale di una macchina per intendersi) sul quale cade un flusso di palline ( continuo, come se ci venisse tirata sopra della sabbia ).
Sul pedale agiscono quindi:
1) Una forza di richiamo pari a $-kx$
2) Una forza di attrito pari a $-bv$
3) La forza esterna dovuto al flusso di palline; le palline hanno velocita $v_0$ e massa $m_p$
Seguendo la relazione F = m*a, ottengo:
$F = m(del^2x)/(delt^2) = -b(delx)/(delt) -kx$
da cui l' equazione che modella il pedale, in assenza del flusso, la trovo dividendo per m:
$(del^2x)/(delt^2) + \nu * (delx)/(delt) + \omega^2_0 *x = 0 $
dove naturalmente $\nu = -b/m$ e $\omega_0 = sqrt(k/m)$.
Adesso, veniamo al mio caso: essendo presente una forza esterna dovuta alle palline, l'equazione sopra trovata non sarà uguale a 0, ma dovrà essere uguale a questa forza. L'idea è di ragionare utilizzando il teorema dell'impulso. Sapendo che
l'impulso $i= int Fdt = F\Deltat$ e che
$i=\DeltaQ$ cioè l'impulso è pari alla differenza di quantità di moto,
ho provato a trovare il $\DeltaQ$.
Chiamando $\varphi$ il flusso di palline, in un certo in intervallo di tempo avrò un numero di palline pari a $\DeltaN=\varphi*\Deltat$, avente una massa pari a $\DeltaM = \DeltaN*m_p$.
La differenza di quantità di moto è quindi la differenza fra la massa e la velocità delle palline all'inizio e dopo l'urto col pedale e suppongo che il pedale non sia a riposo nel momento in cui arriva il flusso di palline, per essere in un caso generale. Il pedale che spingerà a sua volta il flusso di palline in su. Alla fine le palline avranno la velocità del pedale.
Quindi:
$\DeltaQ = m_p*\varphi*\Deltat(v-v_0) $
Il mio problema è adesso. Come procedo?
E' corretto dire quindi che la forza esterna risulta pari a $ F_e= m_p*\varphi*(v-v_0) $ (dato che $ F=i/(\Deltat)$) e quindi avere come equazione del sistema nel suo complesso la seguente?
$(del^2x)/(delt^2) + \nu * (delx)/(delt) + \omega^2_0 *x = m_p*\varphi*((delx)/(delt)-v_0) $
Grazie per l'aiuto!
devo definire le equazioni che modellano la seguente situazione: ho un pedale, collegato al terreno da una molla (tipo un pedale di una macchina per intendersi) sul quale cade un flusso di palline ( continuo, come se ci venisse tirata sopra della sabbia ).
Sul pedale agiscono quindi:
1) Una forza di richiamo pari a $-kx$
2) Una forza di attrito pari a $-bv$
3) La forza esterna dovuto al flusso di palline; le palline hanno velocita $v_0$ e massa $m_p$
Seguendo la relazione F = m*a, ottengo:
$F = m(del^2x)/(delt^2) = -b(delx)/(delt) -kx$
da cui l' equazione che modella il pedale, in assenza del flusso, la trovo dividendo per m:
$(del^2x)/(delt^2) + \nu * (delx)/(delt) + \omega^2_0 *x = 0 $
dove naturalmente $\nu = -b/m$ e $\omega_0 = sqrt(k/m)$.
Adesso, veniamo al mio caso: essendo presente una forza esterna dovuta alle palline, l'equazione sopra trovata non sarà uguale a 0, ma dovrà essere uguale a questa forza. L'idea è di ragionare utilizzando il teorema dell'impulso. Sapendo che
l'impulso $i= int Fdt = F\Deltat$ e che
$i=\DeltaQ$ cioè l'impulso è pari alla differenza di quantità di moto,
ho provato a trovare il $\DeltaQ$.
Chiamando $\varphi$ il flusso di palline, in un certo in intervallo di tempo avrò un numero di palline pari a $\DeltaN=\varphi*\Deltat$, avente una massa pari a $\DeltaM = \DeltaN*m_p$.
La differenza di quantità di moto è quindi la differenza fra la massa e la velocità delle palline all'inizio e dopo l'urto col pedale e suppongo che il pedale non sia a riposo nel momento in cui arriva il flusso di palline, per essere in un caso generale. Il pedale che spingerà a sua volta il flusso di palline in su. Alla fine le palline avranno la velocità del pedale.
Quindi:
$\DeltaQ = m_p*\varphi*\Deltat(v-v_0) $
Il mio problema è adesso. Come procedo?
E' corretto dire quindi che la forza esterna risulta pari a $ F_e= m_p*\varphi*(v-v_0) $ (dato che $ F=i/(\Deltat)$) e quindi avere come equazione del sistema nel suo complesso la seguente?
$(del^2x)/(delt^2) + \nu * (delx)/(delt) + \omega^2_0 *x = m_p*\varphi*((delx)/(delt)-v_0) $
Grazie per l'aiuto!
Risposte
A me sembra tutto corretto, tranne due cose:
- il termine della forza esterna (delle palline) va messo di segno opposto, cioè $m_pPhi(v_0-(delx)/(delt))$;
- non puoi aggiungere la forza delle palline dopo aver diviso per la massa, sennò equipari grandezze diverse.
Cioè a mio parere è:
$m(del^2x)/(delt^2)+b(delx)/(delt)+kx=m_pPhi(v_0-(delx)/(delt))$
$(del^2x)/(delt^2)+b/m(delx)/(delt)+k/mx=m_p/mPhi(v_0-(delx)/(delt))$
$(del^2x)/(delt^2)+v(delx)/(delt)+omega_0^2x=m_p/mPhi(v_0-(delx)/(delt))$
Quindi in definitiva:
$(del^2x)/(delt^2)+(v+m_p/mPhi)(delx)/(delt)+omega_0^2x=m_p/mPhiv_0$
- il termine della forza esterna (delle palline) va messo di segno opposto, cioè $m_pPhi(v_0-(delx)/(delt))$;
- non puoi aggiungere la forza delle palline dopo aver diviso per la massa, sennò equipari grandezze diverse.
Cioè a mio parere è:
$m(del^2x)/(delt^2)+b(delx)/(delt)+kx=m_pPhi(v_0-(delx)/(delt))$
$(del^2x)/(delt^2)+b/m(delx)/(delt)+k/mx=m_p/mPhi(v_0-(delx)/(delt))$
$(del^2x)/(delt^2)+v(delx)/(delt)+omega_0^2x=m_p/mPhi(v_0-(delx)/(delt))$
Quindi in definitiva:
$(del^2x)/(delt^2)+(v+m_p/mPhi)(delx)/(delt)+omega_0^2x=m_p/mPhiv_0$
Grazie pizzaf40, sei stato velocissimo!
Qualche suggerimento su come individuare le soluzioni dell'equazione differenziale non omogenea trovata?
$(del^2x)/(delt^2)+(\nu+m_p/mPhi)(delx)/(delt)+omega_0^2x=m_p/mPhiv_0$
Per l'omogenea associata penso di esserci, seguendo, per intendersi, il metodo $\lambda^2+(\nu + (m_p)/(m)*\Phi)*\lambda+\omega^2_0=0$ e trovando soluzioni nella forma $ x = \alpha_1e^(\lambda_1t) + \alpha_2e^(\lambda_2t) $.
Ma la soluzione particolare come posso trovarla?
Grazie,
Qualche suggerimento su come individuare le soluzioni dell'equazione differenziale non omogenea trovata?
$(del^2x)/(delt^2)+(\nu+m_p/mPhi)(delx)/(delt)+omega_0^2x=m_p/mPhiv_0$
Per l'omogenea associata penso di esserci, seguendo, per intendersi, il metodo $\lambda^2+(\nu + (m_p)/(m)*\Phi)*\lambda+\omega^2_0=0$ e trovando soluzioni nella forma $ x = \alpha_1e^(\lambda_1t) + \alpha_2e^(\lambda_2t) $.
Ma la soluzione particolare come posso trovarla?
Grazie,
Per quanto ne so la soluzione si può trovare con vari metodi analitici (uno può essere la funzione di Green), ma la più comoda credo possa essere quella di applicare la trasformata di Laplace, ricavare la funzione di trasferimento, per poi moltiplicare per la trasformata dell'entrata e antitrasformare. Cioè così nel tuo caso:
1) trasformata di Laplace
$s^2x+(b/m+m_p/mPhi)sx+k/mx=m_p/mPhiv_0$
$(s^2+(b/m+m_p/mPhi)s+k/m)x=m_p/mPhiv_0$
2) funzione di trasferimento (si prende $x$ come valore d'uscita e $Phi$ come ingresso al sistema)
$W(s)=(L(x))/(L(Phi))=(m_p/mv_0)/(s^2+(b/m+m_p/mPhi)s+k/m)$
3) devi ora trovare L(Phi) e per fare questo devi imporre la $Phi$ che viene lanciata sul sistema. Puoi ipotizzare sia:
- una funzione impulsiva, cioè un colpo idealmente di durata tendente a zero e ampiezza tendente ad infinito ($L(Phi)=1$);
- una funzione a gradino, cioè istantaneamente il flusso colpisce il sistema e mantiene un valore costante ($L(Phi)=1/s$);
- una funzione a rampa, cioè il valore del flusso che colpisce il sistema parte da zero e cresce in maniera lineare (L(Phi)=1/(s^2)).
Queste sono le principali di solito. Con queste, espliciti il prodotto $W(s)*L(Phi)=(L(x))/(L(Phi))*L(Phi)=L(x)$ cioè ottieni la trasformata della risposta con l'entrata che hai imposto.
4) Ora ti basta antitrasformare la $L(x)$ per ottenere $x(t)$, cioè l'andamento nel tempo dello spostamento del pedale. Penso che non sia difficile trovare in rete una tabella con trasformate e antitrasformate delle principali funzioni che ci si trova nei casi di questo genere. Fai attenzione al termine del secondo ordine al denominatore perchè puoi ottenere 2 radici reali distinte, reali coincidenti o complesse coniugate...nei tre casi il metodo di antitrasformazione è lo stesso, ma quando ottieni l'antitrasformata con le radici reali devi lavorartela con le equazioni di Eulero per ottenere la soluzione reale.
Anzi, ritratto tutto...questo sarebbe il metodo generale per risolvere il caso a coefficienti costanti, ma se $Phi$ varia nel tempo, allora il coefficiente $(b/m+m_p/mPhi)$ diventa variabile! Quindi l'unica tua possibilità (per quanto ne so io) è quella di supporre $Phi=c ne 0$ costante dall'istante $t>0$, usare quindi $L(Phi)=c/s$ e fare quei passi.
C'era la possibilità di vedere la soluzione ad una risposta sinusoidale, ma visto che diventerebbe a coeff. non costanti, non avrebbe senso.
1) trasformata di Laplace
$s^2x+(b/m+m_p/mPhi)sx+k/mx=m_p/mPhiv_0$
$(s^2+(b/m+m_p/mPhi)s+k/m)x=m_p/mPhiv_0$
2) funzione di trasferimento (si prende $x$ come valore d'uscita e $Phi$ come ingresso al sistema)
$W(s)=(L(x))/(L(Phi))=(m_p/mv_0)/(s^2+(b/m+m_p/mPhi)s+k/m)$
3) devi ora trovare L(Phi) e per fare questo devi imporre la $Phi$ che viene lanciata sul sistema. Puoi ipotizzare sia:
- una funzione impulsiva, cioè un colpo idealmente di durata tendente a zero e ampiezza tendente ad infinito ($L(Phi)=1$);
- una funzione a gradino, cioè istantaneamente il flusso colpisce il sistema e mantiene un valore costante ($L(Phi)=1/s$);
- una funzione a rampa, cioè il valore del flusso che colpisce il sistema parte da zero e cresce in maniera lineare (L(Phi)=1/(s^2)).
Queste sono le principali di solito. Con queste, espliciti il prodotto $W(s)*L(Phi)=(L(x))/(L(Phi))*L(Phi)=L(x)$ cioè ottieni la trasformata della risposta con l'entrata che hai imposto.
4) Ora ti basta antitrasformare la $L(x)$ per ottenere $x(t)$, cioè l'andamento nel tempo dello spostamento del pedale. Penso che non sia difficile trovare in rete una tabella con trasformate e antitrasformate delle principali funzioni che ci si trova nei casi di questo genere. Fai attenzione al termine del secondo ordine al denominatore perchè puoi ottenere 2 radici reali distinte, reali coincidenti o complesse coniugate...nei tre casi il metodo di antitrasformazione è lo stesso, ma quando ottieni l'antitrasformata con le radici reali devi lavorartela con le equazioni di Eulero per ottenere la soluzione reale.
Anzi, ritratto tutto...questo sarebbe il metodo generale per risolvere il caso a coefficienti costanti, ma se $Phi$ varia nel tempo, allora il coefficiente $(b/m+m_p/mPhi)$ diventa variabile! Quindi l'unica tua possibilità (per quanto ne so io) è quella di supporre $Phi=c ne 0$ costante dall'istante $t>0$, usare quindi $L(Phi)=c/s$ e fare quei passi.
C'era la possibilità di vedere la soluzione ad una risposta sinusoidale, ma visto che diventerebbe a coeff. non costanti, non avrebbe senso.
Grazie ancora! Vedo un po' cosa riesco a tirarne fuori!
Mi pare che ci sia un errore:
Perchè alla fine dell'urto le palline dovrebbero avere la velocità del pedale?
La differenza di quantità di moto è quindi la differenza fra la massa e la velocità delle palline all'inizio e dopo l'urto col pedale e suppongo che il pedale non sia a riposo nel momento in cui arriva il flusso di palline, per essere in un caso generale. Il pedale che spingerà a sua volta il flusso di palline in su. Alla fine le palline avranno la velocità del pedale.
Perchè alla fine dell'urto le palline dovrebbero avere la velocità del pedale?
"nnsoxke":
Mi pare che ci sia un errore:
La differenza di quantità di moto è quindi la differenza fra la massa e la velocità delle palline all'inizio e dopo l'urto col pedale e suppongo che il pedale non sia a riposo nel momento in cui arriva il flusso di palline, per essere in un caso generale. Il pedale che spingerà a sua volta il flusso di palline in su. Alla fine le palline avranno la velocità del pedale.
Perchè alla fine dell'urto le palline dovrebbero avere la velocità del pedale?
Sì vero, non l'avevo neanche letto...hai sbagliato a esprimerti o la pensavi effettivamente così?
"pizzaf40":
[quote="nnsoxke"]Mi pare che ci sia un errore:
La differenza di quantità di moto è quindi la differenza fra la massa e la velocità delle palline all'inizio e dopo l'urto col pedale e suppongo che il pedale non sia a riposo nel momento in cui arriva il flusso di palline, per essere in un caso generale. Il pedale che spingerà a sua volta il flusso di palline in su. Alla fine le palline avranno la velocità del pedale.
Perchè alla fine dell'urto le palline dovrebbero avere la velocità del pedale?
Sì vero, non l'avevo neanche letto...hai sbagliato a esprimerti o la pensavi effettivamente così?[/quote]
No, intendevo proprio così. Sono parole del professore, il quale mi ha detto di ragionare in questo modo, assumendo che il pedale non sia fermo ma stia andando verso l'alto: in questo modo, quando le palline incontrano il pedale non hanno velocità = 0, ma il pedale stesso le spinge su, per cui il $\DeltaQ$ va calcolato con la velocità finale delle palline pari a quella del pedale, che di fatto le sta ritirando in alto. Ha infatti aggiunto che a causa di questo, dal momento che il pedale sale, in realtà si modifica anche la quantità $\DeltaM$ di palline nel flusso per il $\Deltat$ considerato.. Penso io, perché fa una sorta di compressione delle palline nel flusso.
Credo che abbia detto di ragionare così per studiare il sistema in modo generale, assumendo che il flusso di palline possa cadere quando il pedale non è fermo, ma sta oscillando.. Probabilmente, studiando l'equazione differenziale, troverò che la soluzione omogenea per $t \to \oo$ tenderà a zero e rimane la soluzione particolare: infatti, qualsiasi sia il movimento iniziale del pedale, se inizio a far cascare un flusso costante di palline(N.B. per ipotesi, le palline non si accumulano sul pedale) la condizione iniziale del pedale non è più importante e il sistema evolverà solo in base al flusso che cade sul pedale stesso, schiacciandolo verso il basso fino a una posizione precisa data dal flusso di palline che vi grava sopra.
Che ne dite?
"leiter":
...la condizione iniziale del pedale non è più importante e il sistema evolverà solo in base al flusso che cade sul pedale stesso
Ah, questo è sicuro...infatti è proprio per questo che la tua affermazione (o del prof.) lasciava qualche dubbio. Era una specie di considerazione più generale per comprendere meglio il funzionamento, quindi!
Comunque a mio parere il flusso viene variato dal movimento del pedale solo in una zona non sufficientemente a monte dell'impatto, anche perchè sennò, come già detto, l'equaz. differenziale non risulterebbe a coefficienti costanti.
Io con questo tipo di ragionamento in realtà non mi trovo, o meglio, trovo siano più semplici altri approcci...ma se ti trovi bene ne sono felice!
L'importante è sempre che alla fine tutto sia giusto indipendentemente da come ci si è arrivati
[/quote]
Era sufficiente precisare che l'urto tra le palline e il pedale fosse anelastico.
"pizzaf40":[/quote]
...L'importante è sempre che alla fine tutto sia giusto indipendentemente da come ci si è arrivati
Già, sagge parole
Farò sapere gli ultimi sviluppi 
Io nutro ancora qualche dubbio però!!
Ovviamente, a parte l'ipotesi di urto anaelastico (abbastanza forte però...), c'è da capire ancora un po' di cose...
Anzitutto... siamo sicuri che l'equazione del moto sia quella davvero?? Da quello che dici, se il sistema è collegato a terra come un pedale, credo che ci sia un vincolo cerniera che dà la sua bella reazione (volendo anche impulsiva) al pedale, quindi andrebbe aggiunta all'equazione pure quella (anche se incognita); in altro modo (il più usato per la sua velocità) si dovrebbe calcolare direttamente il momento delle forze attorno al polo centro cerniera ideale, in modo che il contributo della reazione sparisca...
A questo punto però, mi chiedo... come incide il fascio sul pedale? Come è la superficie del pedale? è esteso il fascio di particelle...? Consideri il campo dei piccoli spostamenti e basta?
Sono tutte domande lecite ed importanti per decidere la semplicità del modello da utilizzare per la soluzione del problema...
Ovviamente, a parte l'ipotesi di urto anaelastico (abbastanza forte però...), c'è da capire ancora un po' di cose...
Anzitutto... siamo sicuri che l'equazione del moto sia quella davvero?? Da quello che dici, se il sistema è collegato a terra come un pedale, credo che ci sia un vincolo cerniera che dà la sua bella reazione (volendo anche impulsiva) al pedale, quindi andrebbe aggiunta all'equazione pure quella (anche se incognita); in altro modo (il più usato per la sua velocità) si dovrebbe calcolare direttamente il momento delle forze attorno al polo centro cerniera ideale, in modo che il contributo della reazione sparisca...
A questo punto però, mi chiedo... come incide il fascio sul pedale? Come è la superficie del pedale? è esteso il fascio di particelle...? Consideri il campo dei piccoli spostamenti e basta?
Sono tutte domande lecite ed importanti per decidere la semplicità del modello da utilizzare per la soluzione del problema...
"cavallipurosangue":
Io nutro ancora qualche dubbio però!!
Ovviamente, a parte l'ipotesi di urto anaelastico (abbastanza forte però...), c'è da capire ancora un po' di cose...
Anzitutto... siamo sicuri che l'equazione del moto sia quella davvero?? Da quello che dici, se il sistema è collegato a terra come un pedale, credo che ci sia un vincolo cerniera che dà la sua bella reazione (volendo anche impulsiva) al pedale, quindi andrebbe aggiunta all'equazione pure quella (anche se incognita); in altro modo (il più usato per la sua velocità) si dovrebbe calcolare direttamente il momento delle forze attorno al polo centro cerniera ideale, in modo che il contributo della reazione sparisca...
A questo punto però, mi chiedo... come incide il fascio sul pedale? Come è la superficie del pedale? è esteso il fascio di particelle...? Consideri il campo dei piccoli spostamenti e basta?
Sono tutte domande lecite ed importanti per decidere la semplicità del modello da utilizzare per la soluzione del problema...
Ola, quanto tempo
Credo che il campo sia di piccoli spostamenti così da non far diminuire l'area di impatto, e che il sistema sia abbastanza semplificato per non dover considerare reazioni impulsive (o perlomeno semplificato abbastanza da poter dire che ci sia solo lo smorzatore lineare). Penso che sia da vedere nelle ipotesi più semplicistiche che ci siano, visto che mi pare di aver capito che sia un esercizio di esempio fatto in classe...comunque è tutto attendibile quello che dici!
Ehilà! Credo anche io... anche se effettivamente...l'equazione dei momenti attorno all'asse di rotazione sarebbe formalmente equivalente alla prima cardinale se e solo se tutti i bracci delle varie forze coincidono col punto di applicazione della pressione del fascio di particelle ed il pedale è assimilabile ad un corpo a massa concentrata sempre in quel punto... ci vuole una bella fantasia però per schematizzare il problema così dopo aver letto il testo sopra riportato... :S
Credo anche io... anche se effettivamente...l'equazione dei momenti attorno all'asse di rotazione sarebbe formalmente equivalente alla prima cardinale se e solo se tutti i bracci delle varie forze coincidono col punto di applicazione della pressione del fascio di particelle ed il pedale è assimilabile ad un corpo a massa concentrata sempre in quel punto... ci vuole una bella fantasia però per schematizzare il problema così dopo aver letto il testo sopra riportato... :S
"cavallipurosangue":
ci vuole una bella fantasia però per schematizzare il problema così dopo aver letto il testo sopra riportato... :S
Ok, il modello ottenuto finora è corretto, il professore ha confermato le (molte :p) semplificazioni.
Recapitolando, l'equazione era questa:
$(del^2x)/(delt^2)+(\nu+m_p/mPhi)(delx)/(delt)+omega_0^2x=m_p/mPhiv_0$
Adesso sto trovando la traiettoria nello spazio delle fasi.
Nel caso avessi un'equazione omogenea, non avrei problemi: introduco una nuova variabile incognita $V$ per esprimere la "velocità" del sistema e trasformo l'equazione omogenea come ( ponendo che $x_1=x$ e $x_2=V$):
1) $(delx_1)/(delt)=x_2$
2) $(delx_2)/(delt)=-(\nu+m_p/mPhi)x_1 - omega_0^2x$
Trovo poi la matrice H quadrata 2x2 data dai coefficienti di $x_1$ e $x_2$ nelle due equazioni suddette. A questo punto mi basta scegliere un vettore x(t) iniziale e procedere al calcolo iterativo di x(t+dt) = x(t) + Hx(t)dt per individuare una traiettoria.
La mia domanda è: nel mio caso, avendo un'equazione non omogenea, come si sistema il termine noto e come interviene? Nel mio caso l'equazioncina 2) mi diventerebbe: $(delx_2)/(delt)=-(\nu+m_p/mPhi)x_1 - omega_0^2x + m_p/mPhiv_0$ e non sarebbe esprimibile nella matrice 2x2.
Grazie per l'aiuto, non so se mi sono spiegato adeguatamente..
Recapitolando, l'equazione era questa:
$(del^2x)/(delt^2)+(\nu+m_p/mPhi)(delx)/(delt)+omega_0^2x=m_p/mPhiv_0$
Adesso sto trovando la traiettoria nello spazio delle fasi.
Nel caso avessi un'equazione omogenea, non avrei problemi: introduco una nuova variabile incognita $V$ per esprimere la "velocità" del sistema e trasformo l'equazione omogenea come ( ponendo che $x_1=x$ e $x_2=V$):
1) $(delx_1)/(delt)=x_2$
2) $(delx_2)/(delt)=-(\nu+m_p/mPhi)x_1 - omega_0^2x$
Trovo poi la matrice H quadrata 2x2 data dai coefficienti di $x_1$ e $x_2$ nelle due equazioni suddette. A questo punto mi basta scegliere un vettore x(t) iniziale e procedere al calcolo iterativo di x(t+dt) = x(t) + Hx(t)dt per individuare una traiettoria.
La mia domanda è: nel mio caso, avendo un'equazione non omogenea, come si sistema il termine noto e come interviene? Nel mio caso l'equazioncina 2) mi diventerebbe: $(delx_2)/(delt)=-(\nu+m_p/mPhi)x_1 - omega_0^2x + m_p/mPhiv_0$ e non sarebbe esprimibile nella matrice 2x2.
Grazie per l'aiuto, non so se mi sono spiegato adeguatamente..
"leiter":
La mia domanda è: nel mio caso, avendo un'equazione non omogenea, come si sistema il termine noto e come interviene?
Se intendi a coeff. costanti il modo che finora mi sono trovato a conoscere per risolvere la non omogenea è quello che ti ho detto qualche messaggio fa...se non è a coeff costanti andrei MatlabSimulink
"pizzaf40":
[quote="leiter"]La mia domanda è: nel mio caso, avendo un'equazione non omogenea, come si sistema il termine noto e come interviene?
Se intendi a coeff. costanti il modo che finora mi sono trovato a conoscere per risolvere la non omogenea è quello che ti ho detto qualche messaggio fa...se non è a coeff costanti andrei MatlabSimulink
[/quote]Sì sì, d'accordo, l'equazione non omogenea l'ho già risolta e tutto ok. I coefficienti sono costanti, quindi niente simulink ^^.
Adesso però devo disegnare la traiettoria nello spazio delle fasi e, dalle dispense del professore, ho studiato che bisogna costruire la matrice H come detto nel mio ultimo post ( in parole povere si tratta di riscoprire numericamente quanto abbiamo già trovato analiticamente, ovvero che il pedale oscilla un po' e poi tende a una x costante, quindi dal grafico dello spazio delle fasi dovrò vedere la stabilità, che il sistema cioè evolve verso un valore preciso e lì si ferma ).
Il mio problema è che, in un'equazione non omogenea, ho difficoltà nel costruire la matrice H attraverso la quale, tenuto conto che $(delx)/(delt)=Hx$, mi è possibile tracciare il grafico dello spazio delle fasi utilizzando la relazione x(t+dt) = x(t) + Hx(t)dt. Per dt piccoli, mi calcolo dunque lo spostamento e lo sommo al vettore precedente, ottenendo punti per disegnare il grafico. Tale grafico, per capirsi, avrà sull'asse delle ascisse $x_1$ e sulle ordinate $x_2$.
E' sbagliato pensare che ciò che era "x(t+dt) = x(t) + Hx(t)dt" per un'omogenea diventa un "x(t+dt) = x(t) + Hx(t)dt+D", dove D è il vettore dei termini noti nelle equazioncine 1) e 2) ?
Acc, allora non so aiutarti...non ho mai utilizzato questo metodo se non negli esami per studiare gli elementi finiti (applicati alla statica però). Non saprei come aiutarti...mi spiace!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo