Mi trovate l'errore??
Un disco omogeneo di massa $m=10kg$, raggio $r=0.3m$ e spessore costante, è appoggiato su un piano orizzontale scabro sul quale rotola senza strisciare. Il centro $C$ del disco è collegato, mediante una molla di costante elastica $k=90N/m$ e di lunghezza di riposo trascurabile, a un punto $P$ dell'asse y posto ad un'altezza $h=0.7m$ dal piano di appoggio. All'istante $t=0$ il centro $C$ si trova sull'asse y con componente della velocità $v_(0x)=1m/s$. Si determini: a) l'istante $\tau$ in cui il disco si ferma la prima volta; b) il valore minimo $\mu_s$ del coefficiente di attrito statico necessario affinchè il disco rotoli senza strisciare. Ecco l'immagine https://www.dropbox.com/s/korylz21mtyrrcn/6.37.jpg
ecco il mio procedimento:
applico la seconda legge di Newton al disco chiamando $\alpha$ l'angolo formato dalla molla con l'asse y:
1) $ma=-N\mu_s-k\Delta l sen\alpha$ con $N=mg-k\Delta l cos \alpha$ ma $\Delta l cos \alpha$ e $\Delta l sen \alpha$ sono rispettivamente uguali a $\delta$ e $x$ quindi la 1) diventa:
2) $ma=-mg\mu_s+k\delta\mu_s-kx$
3) seconda equazione cardinale con polo $C$: $-mg\mu_s r+k\delta \mu_s r=1/2mr^2a/r$, ora semplificando e mettendo in evidenza $\mu_s$ ottengo:
3')$\mu_s=(ma)/(2(k\delta-mg)$
sostituisco ora $\mu_s$ nella 2) e ottengo:
4) $mx''= -(m^2gx'')/(2(k\delta-mg))+(k\deltamx'')/(2(k\delta-mg))-kx$
cioè un'equazione differenziale che risolvo ponendo le condizioni iniziali: $x(0)=0$ e $x'(0)=v_(0x)$ e mi viene:
5)$x(t)=v_(0x)/\omega sen(\omega t)$ avendo posto $\omega^2=k/(m(1+(mg-k\delta)/(2(k\delta-mg))))$
quindi facendo la derivata di questo e imponendola uguale a zero ottengo $0=v_(0x)cos(\omega t)$ che è vero per la prima volta quando $\omega t=\pi/2 => t=\pi/(2\omega)=0.37s$ dopo aver fatto questo basta sostituire $t$ nella derivata seconda della 5) in modo da trovare $a_(max)$ che poi sostituita nella 3') mi darà il coefficiente di attrito.
il problema è che ho riguardato i passaggi e non mi sembra che ci siano errori di calcolo, ho fatto anche l'analisi dimensionale di $t$ per vedere se risulta espresso in secondi e lo è, ma il libro mi da come risultato $t=0,64s$ quindi volevo sapere da voi se ho sbagliato il procedimento o comunque cosa ho sbagliato...
ecco il mio procedimento:
applico la seconda legge di Newton al disco chiamando $\alpha$ l'angolo formato dalla molla con l'asse y:
1) $ma=-N\mu_s-k\Delta l sen\alpha$ con $N=mg-k\Delta l cos \alpha$ ma $\Delta l cos \alpha$ e $\Delta l sen \alpha$ sono rispettivamente uguali a $\delta$ e $x$ quindi la 1) diventa:
2) $ma=-mg\mu_s+k\delta\mu_s-kx$
3) seconda equazione cardinale con polo $C$: $-mg\mu_s r+k\delta \mu_s r=1/2mr^2a/r$, ora semplificando e mettendo in evidenza $\mu_s$ ottengo:
3')$\mu_s=(ma)/(2(k\delta-mg)$
sostituisco ora $\mu_s$ nella 2) e ottengo:
4) $mx''= -(m^2gx'')/(2(k\delta-mg))+(k\deltamx'')/(2(k\delta-mg))-kx$
cioè un'equazione differenziale che risolvo ponendo le condizioni iniziali: $x(0)=0$ e $x'(0)=v_(0x)$ e mi viene:
5)$x(t)=v_(0x)/\omega sen(\omega t)$ avendo posto $\omega^2=k/(m(1+(mg-k\delta)/(2(k\delta-mg))))$
quindi facendo la derivata di questo e imponendola uguale a zero ottengo $0=v_(0x)cos(\omega t)$ che è vero per la prima volta quando $\omega t=\pi/2 => t=\pi/(2\omega)=0.37s$ dopo aver fatto questo basta sostituire $t$ nella derivata seconda della 5) in modo da trovare $a_(max)$ che poi sostituita nella 3') mi darà il coefficiente di attrito.
il problema è che ho riguardato i passaggi e non mi sembra che ci siano errori di calcolo, ho fatto anche l'analisi dimensionale di $t$ per vedere se risulta espresso in secondi e lo è, ma il libro mi da come risultato $t=0,64s$ quindi volevo sapere da voi se ho sbagliato il procedimento o comunque cosa ho sbagliato...
Risposte
Non ho guardato il tuo procedimento, io userei la conservazione dell'energia prima di tutto per trovare il punto più lontano.
L'energia iniziale è $E_k+E_m=3/2mv_0^2+1/2k(h-r)^2$
Quella finale è solo quella della molla $E_m=1/2k[(h-r)^2+x^2]$ da cui si ricava $x$ uguagliando energia iniziale e finale.
Ora, almeno intuitivamente bisognerebbe vedere che l'accelerazione massima della molla (similmente a un moto armonico) la si ha nel punto più lontano. Il tempo impiegato per raggiungere il punto più lontano lo puoi trovare tenendo presente che il moto è un comune moto armonico.
Scomponendo la forza della molla nelle direzioni orizzontale e verticale si ottiene rispettivamente $kx$ e $(h-r)k$
La forza di attrito è in ogni punto $\mu_s[mg-k(h-r)]$ e l'accelerazione del CM è $(kx)/(3/2m)$.
Della forza che agisce sul disco un terzo è la forza di attrito che fa ruotare il disco... allora:
$1/3(kx)=\mu_s[mg-k(h-r)]$ da cui si ricava il coefficiente $\mu_s$ minimo.
$\mu_s=1/3(kx)/(mg-k(h-r))$
L'energia iniziale è $E_k+E_m=3/2mv_0^2+1/2k(h-r)^2$
Quella finale è solo quella della molla $E_m=1/2k[(h-r)^2+x^2]$ da cui si ricava $x$ uguagliando energia iniziale e finale.
Ora, almeno intuitivamente bisognerebbe vedere che l'accelerazione massima della molla (similmente a un moto armonico) la si ha nel punto più lontano. Il tempo impiegato per raggiungere il punto più lontano lo puoi trovare tenendo presente che il moto è un comune moto armonico.
Scomponendo la forza della molla nelle direzioni orizzontale e verticale si ottiene rispettivamente $kx$ e $(h-r)k$
La forza di attrito è in ogni punto $\mu_s[mg-k(h-r)]$ e l'accelerazione del CM è $(kx)/(3/2m)$.
Della forza che agisce sul disco un terzo è la forza di attrito che fa ruotare il disco... allora:
$1/3(kx)=\mu_s[mg-k(h-r)]$ da cui si ricava il coefficiente $\mu_s$ minimo.
$\mu_s=1/3(kx)/(mg-k(h-r))$
Grazie a entrambi 
TeM io ho utilizzato il tuo stesso metodo con la differenza che come sempre tu hai trovato il modo furbissimo di semplificarti la vita con i calcoli mentre io ho fatto il giro largo (larghissimo direi :p) comunque resta il fatto che il mio è sbagliato e non ne capisco la ragione....comunque mi conforta il fatto che almeno il ragionamento sia giusto grazie ancora a tutti e due 
TeM io ho utilizzato il tuo stesso metodo con la differenza che come sempre tu hai trovato il modo furbissimo di semplificarti la vita con i calcoli mentre io ho fatto il giro largo (larghissimo direi :p) comunque resta il fatto che il mio è sbagliato e non ne capisco la ragione....comunque mi conforta il fatto che almeno il ragionamento sia giusto grazie ancora a tutti e due
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