Metodo grafico per urti elastici
Per trattare l'urto elastico fra due biglie di uguale massa c'è un metodo semplice ed elegante:
si suppone una biglia ferma e l'altra che va ad urtarla, con una velocità $vec v_1$. L'urto conserva la QM per cui dopo l'urto le due biglie hanno velocità $vec v'_1$ e $vec v'_2$ tali che $vec v'_1 + vec v'_2 = vec v_1$. Parlo di velocità e non di QM visto che le masse sono uguali.
Abbiamo così questa situazione
Abbiamo però anche la conservazione dell'energia cinetica, per cui, sempre tenendo presente che le masse sono uguali, si ha
$v_1^2 = v' _1^2 + v '_2^2$ (al secondo membro ci sono i $v'$ ma, non so perchè, gli apici non si vedono) il che vuol dire che il triangolo vettoriale visto sopra è rettangolo.
Ne segue che può essere inscritto in una semicirconferenza, di cui $vec v_1$ è il diametro.
Quindi, tutti i possibili vettori risultanti dopo l'urto sono i cateti dei triangoli con $vec v_1$ come ipotenusa e con l'angolo retto sulla circonferenza.
Purtroppo il metodo fallisce per masse differenti perchè dalle QM non si passa alle velocità mantenendo le proporzioni.
Qualcuno conosce - o riesce a trovare - una estensione del metodo per trattare anche questi casi?
si suppone una biglia ferma e l'altra che va ad urtarla, con una velocità $vec v_1$. L'urto conserva la QM per cui dopo l'urto le due biglie hanno velocità $vec v'_1$ e $vec v'_2$ tali che $vec v'_1 + vec v'_2 = vec v_1$. Parlo di velocità e non di QM visto che le masse sono uguali.
Abbiamo così questa situazione
Abbiamo però anche la conservazione dell'energia cinetica, per cui, sempre tenendo presente che le masse sono uguali, si ha
$v_1^2 = v' _1^2 + v '_2^2$ (al secondo membro ci sono i $v'$ ma, non so perchè, gli apici non si vedono) il che vuol dire che il triangolo vettoriale visto sopra è rettangolo.
Ne segue che può essere inscritto in una semicirconferenza, di cui $vec v_1$ è il diametro.
Quindi, tutti i possibili vettori risultanti dopo l'urto sono i cateti dei triangoli con $vec v_1$ come ipotenusa e con l'angolo retto sulla circonferenza.
Purtroppo il metodo fallisce per masse differenti perchè dalle QM non si passa alle velocità mantenendo le proporzioni.
Qualcuno conosce - o riesce a trovare - una estensione del metodo per trattare anche questi casi?
Risposte
Ciao, giochino interessante! Ho provato a generalizzarlo.
Nel seguito, metto:
- $" "vec(p)_(1,0)" "$ la q.d.m. della biglia proiettile prima dell'urto, e per brevità indico con$" "p" "$il suo modulo;
- $" "vec(p)_1" "$e$" "vec(p)_2" "$ le rispettive q.d.m. della biglia proiettile e della biglia bersaglio dopo l'urto, e indico con$" "p_1$ e $p_2" "$i rispettivi moduli.
I tre vettori devono, per conservazione della Q.d.M., disporsi come nel grafico:
e quindi per le rispettive componenti vale:
- $" "vec(p)_1=(x,y)" "$;
- $" "vec(p)_2=(p-x,-y)" "$.
Per la conservazione dell'energia cinetica dev'essere:
che con le componenti diventa:
con qualche passaggio e ponendo$" "M=m_1+m_2" "$si trova:
quindi la punta del vettore$" "vec(p)_1" "$è ancora variabile su una circonferenza, di centro$" "(m_1/Mp, 0)" "$e raggio$" "m_2/Mp" "$.
Ad esempio, se:$" "m_2=2m_1" "$la situazione è all'incirca quella della circonferenza tratteggiata nel grafico.
Nel caso particolare (il tuo):$" "m_1=m_2" "$diventa quella che ha l'intero vettore$" "vec(p)_(1,0)" "$come diametro.
Ti torna?
Nel seguito, metto:
- $" "vec(p)_(1,0)" "$ la q.d.m. della biglia proiettile prima dell'urto, e per brevità indico con$" "p" "$il suo modulo;
- $" "vec(p)_1" "$e$" "vec(p)_2" "$ le rispettive q.d.m. della biglia proiettile e della biglia bersaglio dopo l'urto, e indico con$" "p_1$ e $p_2" "$i rispettivi moduli.
I tre vettori devono, per conservazione della Q.d.M., disporsi come nel grafico:
e quindi per le rispettive componenti vale:
- $" "vec(p)_1=(x,y)" "$;
- $" "vec(p)_2=(p-x,-y)" "$.
Per la conservazione dell'energia cinetica dev'essere:
$p_1^2/(2m_1)+p_2^2/(2m_2)=p^2/(2m_1)" "$,
che con le componenti diventa:
$(x^2+y^2)/m_1+((p-x)^2+y^2)/m_2=p^2/m_1" "$;
con qualche passaggio e ponendo$" "M=m_1+m_2" "$si trova:
$(x-m_1/Mp)^2+y^2=m_2^2/M^2p^2" "$,
quindi la punta del vettore$" "vec(p)_1" "$è ancora variabile su una circonferenza, di centro$" "(m_1/Mp, 0)" "$e raggio$" "m_2/Mp" "$.
Ad esempio, se:$" "m_2=2m_1" "$la situazione è all'incirca quella della circonferenza tratteggiata nel grafico.
Nel caso particolare (il tuo):$" "m_1=m_2" "$diventa quella che ha l'intero vettore$" "vec(p)_(1,0)" "$come diametro.
Ti torna?
Grazie della collaborazione, Palliit! Appena ho un momento ci guardo, ma a occhio mi pare ok 
"Palliit":
Ciao, giochino interessante! Ho provato a generalizzarlo.
Ci avevo pensato anche io ieri senza alcuna idea utile, prima di essere vinto dal sonno.
Avevo pensato ad un'ellisse, ma in effetti la tua e' l'idea giusta. Elegante e breve.
Grazie, @Quinzio.
@Palliit, perfetto!
Come corollario della tua formula, si ricava che perchè si possa avere un rimbalzo indietro della prima biglia occorre che l'ascissa del centro sia minore del raggio, ossia che $m_1 < m_2$, che la biglia vada ad urtarne una più pesante. Abbastanza intuitivo, ma qui abbiamo una dimostrazione.
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