Metodo delle immagini - conduttore+carica
Ho una domanda, molto stupida e sicuramente semplice, ma non riesco a trovare soluzione da solo a questo tipo di esercizio in particolare:
"Dato un piano infinito e una carica Q a distanza D, determinare la posizione D'(sulla perpendicolare al piano e passante per la carica) in cui si può posizionare una carica -Q in equilibrio"
Vorrei capire come risolvere problemi di questo tipo, ho capito cosa ci dice il metodo delle immagini, ma non riesco ad applicarlo operativamente. Credo che capire questo esercizio mi aiuterebbe anche in tutti gli altri su cui non so muovermi.
"Dato un piano infinito e una carica Q a distanza D, determinare la posizione D'(sulla perpendicolare al piano e passante per la carica) in cui si può posizionare una carica -Q in equilibrio"
Vorrei capire come risolvere problemi di questo tipo, ho capito cosa ci dice il metodo delle immagini, ma non riesco ad applicarlo operativamente. Credo che capire questo esercizio mi aiuterebbe anche in tutti gli altri su cui non so muovermi.
Risposte
"GabriN7":
"Dato un piano infinito e una carica Q a distanza D, determinare la posizione D'(sulla perpendicolare al piano e passante per la carica) in cui si può posizionare una carica -Q in equilibrio"
Sicuro che il testo sia proprio quello? Non c'è una figura esplicativa? Perchè non vedo in che modo una carica -Q possa stare in equilibrio...
Il problema è posto male, dal testo e dal titolo l'ho inteso come "Supponiamo di avere una carica +q fissa a distanza D di fronte a un piano conduttore, in quale punto della perpendicolare al piano passante per la carica reale deve essere posta una carica immagine -q che risolve il problema di calcolare il campo elettrico nello spazio all'equilibrio?"
Poniamo il conduttore sul piano $xy$ e la carica $+q$ nel punto $A=(0,0,+D)$. Questa carica genera un campo elettrico che modifica la distribuzione di carica del piano conduttore. La distribuzione di carica alla fine sarà fatta in modo che la componente del campo elettrico tangente al piano sia nulla, infatti se essa fosse diversa da zero le cariche sul piano conduttore sentirebbero una forza che ne modificherebbe l'assetto fino a quando non si avrà una situazione di equilibrio.
Perciò $E_t=0$ in ogni punto $P=(x_p,y_p,0)$ del piano (questo equivale a dire che il potenziale è costante sul piano).
La componente del campo tangenete al piano,calcolata in un punto del piano, è
$E_t=((kq)/(r_1^2))sqrt(1-(D/r_1)^2)$
dove $r_1=sqrt(x_p^2+y_p^2+D^2)$
A questo punto se metto una carica immagine $-q$ in un punto punto $A'=(0,0,z)$ appartenente alla perpendicolare alla lastra passante per A,si vede che la componente tangente del campo elettrico della carica immagine è
$E'_t=-((kq)/r_2^2)sqrt(1-(D/r_2)^2)$
dove $r_2=sqrt(x_p^2+y_p^2+z^2)$
Se $E_t+E'_t=0$ allora per forza si deve avere $r_1=r_2$ e quindi $z=-D$ ovvero $A'=(0,0,-D)$ .
Quindi la carica immagine $-q$ deve essere nel punto simmetrico della carica reale rispetto al piano conduttore e il campo elettrico totale nello spazio sarà dato dalla somma dei campi elettrici generati dalle due cariche.
Poniamo il conduttore sul piano $xy$ e la carica $+q$ nel punto $A=(0,0,+D)$. Questa carica genera un campo elettrico che modifica la distribuzione di carica del piano conduttore. La distribuzione di carica alla fine sarà fatta in modo che la componente del campo elettrico tangente al piano sia nulla, infatti se essa fosse diversa da zero le cariche sul piano conduttore sentirebbero una forza che ne modificherebbe l'assetto fino a quando non si avrà una situazione di equilibrio.
Perciò $E_t=0$ in ogni punto $P=(x_p,y_p,0)$ del piano (questo equivale a dire che il potenziale è costante sul piano).
La componente del campo tangenete al piano,calcolata in un punto del piano, è
$E_t=((kq)/(r_1^2))sqrt(1-(D/r_1)^2)$
dove $r_1=sqrt(x_p^2+y_p^2+D^2)$
A questo punto se metto una carica immagine $-q$ in un punto punto $A'=(0,0,z)$ appartenente alla perpendicolare alla lastra passante per A,si vede che la componente tangente del campo elettrico della carica immagine è
$E'_t=-((kq)/r_2^2)sqrt(1-(D/r_2)^2)$
dove $r_2=sqrt(x_p^2+y_p^2+z^2)$
Se $E_t+E'_t=0$ allora per forza si deve avere $r_1=r_2$ e quindi $z=-D$ ovvero $A'=(0,0,-D)$ .
Quindi la carica immagine $-q$ deve essere nel punto simmetrico della carica reale rispetto al piano conduttore e il campo elettrico totale nello spazio sarà dato dalla somma dei campi elettrici generati dalle due cariche.
Se non dico una cavolata, porre la carica immagine in $(0, 0, -D)$ implica che il potenziale sul piano conduttore sia nullo $V(x, y, 0)=0$ (per esempio è collegato a terra). Nel caso ti venisse assegnato un valore diverso da zero del potenziale sul piano conduttore, il risultato penso dovrebbe essere diverso.
Scrivendo esplicitamente i potenziali:
$V_1=-(kQ)/sqrt(x^2+y^2+(z-D)^2)+C_1$
$V_2=(kQ)/sqrt(x^2+y^2+(z+D)^2)+C_2$
$V=V_1+V_2=-(kQ)/sqrt(x^2+y^2+(z-D)^2)+(kQ)/sqrt(x^2+y^2+(z+D)^2)+C$
con $C=C_1+C_2$
a questo punto se voglio che sulla lastra($z=0$) il potenziale sia $V_o$ deve essere che
$V_0=-(kQ)/sqrt(x^2+y^2+D^2)+(kQ)/sqrt(x^2+y^2+D^2)+C$
$V_0=C$
Quindi la costante è uguale al potenziale sulla lastra. Di solito il potenziale si pone zero all'infinito (per convenzione) però dato che anche la lastra si estende all'infinito ( in tutto il piano xy) allora per forza di cose il potenziale all'infinito deve avere il valore del potenziale che ha la lastra.
$V_1=-(kQ)/sqrt(x^2+y^2+(z-D)^2)+C_1$
$V_2=(kQ)/sqrt(x^2+y^2+(z+D)^2)+C_2$
$V=V_1+V_2=-(kQ)/sqrt(x^2+y^2+(z-D)^2)+(kQ)/sqrt(x^2+y^2+(z+D)^2)+C$
con $C=C_1+C_2$
a questo punto se voglio che sulla lastra($z=0$) il potenziale sia $V_o$ deve essere che
$V_0=-(kQ)/sqrt(x^2+y^2+D^2)+(kQ)/sqrt(x^2+y^2+D^2)+C$
$V_0=C$
Quindi la costante è uguale al potenziale sulla lastra. Di solito il potenziale si pone zero all'infinito (per convenzione) però dato che anche la lastra si estende all'infinito ( in tutto il piano xy) allora per forza di cose il potenziale all'infinito deve avere il valore del potenziale che ha la lastra.
Hai ragione.
Comunque penso che ragionare sul potenziale poteva essere più diretto, ma non so... dipende un po' dalla tua "intuizione". Il fatto è che se riesci a "indovinare" un potenziale con le stesse condizioni al contorno (ma la geometria può essere totalmente diversa!!), il teo di unicità della soluzione dell'equazione di Laplace per il potenziale elettrostatico ($\nabla^2 V = 0$) ti assicura che la soluzione che hai trovato è l'unica (e quindi quella giusta!).
In questo caso se $V_0=0$ allora è banale trovare la soluzione. Perché due cariche poste in simmetria rispetto a un piano hanno $V_0 = 0$ e hanno $V_{\infty} = 0$. Mi hai poi mostrato che anche per un potenziale assegnato basta traslare di una costante quindi penso che questo sia il metodo più "semplice".
Comunque penso che ragionare sul potenziale poteva essere più diretto, ma non so... dipende un po' dalla tua "intuizione". Il fatto è che se riesci a "indovinare" un potenziale con le stesse condizioni al contorno (ma la geometria può essere totalmente diversa!!), il teo di unicità della soluzione dell'equazione di Laplace per il potenziale elettrostatico ($\nabla^2 V = 0$) ti assicura che la soluzione che hai trovato è l'unica (e quindi quella giusta!).
In questo caso se $V_0=0$ allora è banale trovare la soluzione. Perché due cariche poste in simmetria rispetto a un piano hanno $V_0 = 0$ e hanno $V_{\infty} = 0$. Mi hai poi mostrato che anche per un potenziale assegnato basta traslare di una costante quindi penso che questo sia il metodo più "semplice".
ora leggo le risposte, intanto vi lascio uno screen del testo dell'esercizio che ci ha lasciato il nostro professore:
(spero si veda)
(spero si veda)
"ondine":
Il problema è posto male, dal testo e dal titolo l'ho inteso come "Supponiamo di avere una carica +q a distanza D di fronte a un piano conduttore, in quale punto della perpendicolare al piano passante per la carica reale deve essere posta una carica immagine -q che risolve il problema di calcolare il campo elettrico nello spazio all'equilibrio?"
quasi, ma è solo la carica -q aggiunta che deve stare in equilibrio (ferma, insomma la somma delle forze agenti su -Q deve essere 0)
"GabriN7":
"Dato un piano infinito e una carica Q a distanza D, determinare la posizione D'(sulla perpendicolare al piano e passante per la carica) in cui si può posizionare una carica -Q in equilibrio"
in effetti sono stato impreciso, il piano è conduttore complessivamente neutro chiaramente, però il resto era corretto.
Non pensavo potesse creare tanti dubbi, 10 giorni che pensavo di essere stupido io a non saperlo risolvere
Ok, anche se il testo del problema era diverso, adesso puoi risolverlo tranquillamente. La prima carica è fissa ed essa ha associata una carica immagine(con le caratteristiche trovate nei calcoli precedenti), quando vai a collocare la carica $-Q$ dovrai associare anche ad essa una carica immagine. La somma vettoriale dei tre campi elettrici generati dalle due cariche immagine e dalla carica fissa $+Q$ deve essere nulla nel punto in cui si trova la carica $-Q$.
Esatto!
BTW Se non ho fatto male i conti, il risultato dovrebbe essere $y ~~ 0.361\ l$, non $y ~~ 0.306 \ l$.
BTW Se non ho fatto male i conti, il risultato dovrebbe essere $y ~~ 0.361\ l$, non $y ~~ 0.306 \ l$.
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