Metodo dei Nodi [FISICA MATEMATICA]
Salve a tutti!
Sto studiando il metodo di Ritter e dei Nodi per l'esame di Fisica Matematica, ma nonostante pensi di averli capiti, alcuni esercizi svolti mi sembrano molto strani e non so se, quindi, abbia capito a pieno i due metodi.
Ad esempio, questa figura:
La traccia trovata su internet chiede: " Dopo aver calcolato le reazioni esterne, calcolare gli sforzi delle aste 61, 42, 23, 43 con il metodo di Ritter. Tenendo conto della reazione dell'asta 16 sul nodo 6, calcolare la reazione dei nodi 6 e 5 sull'asta 65. Applicare il metodo dei nodi per calcolare lo sforzo dell'asta B3 sul nodo 3 e verificare l'equilibrio dell'asta B3" ( Il punto B sarebbe quella a destra in corrispondenza del doppio doppio pendolo).
Le reazioni le ho calcolate, ma preferirei chiamarle R $ R_(A_x) , R_(A_y) $ eccetera.
EDIT: Il metodo di Ritter l'ho compreso a pieno, ora però mi serve qualche dritto su quello dei nodi!
Ora, il metodo di Ritter: " Il metodo serve a calcolare un $ N_(AB) $ di una particolare asta scarica $ AB $. Applicabile se $ EE $ una corrispondente sezione di Ritter $ sigma $, cioè tale che disconnette $ S $ in due parti $ S' , S'' $ tagliando solo $ AB $ ed eventuali altre aste scariche $ P_hP_k $ che devono essere:
$ 1) $ O parallele tra loro, senza assere parallele a $ AB $
$ 2) $ O concorrenti in uno stesso punto $ T $ non appartenente a $ AB $ "
Nonostante la definizione sia abbastanza chiare a primo impatto, non sono sicuro di ciò che faccio.
Non mi è chiarissimo il concetto di asta scarica. Vediamo un po': Un'asta è detta "scarica" se NON è soggetta ad un certo sistema di forze attive piane. Quindi nella nostra figura tutte le aste sono scariche perché tutte le forze sono applicate ai nodi e perché i vincoli applicati direttamente all'asta impongono forze non attive? Per essere definita "carica" un'asta, allora deve esserci almeno una forza attiva o un momento applicato sull'asta stessa?
Chiarito questo, passerei alla sezione di Ritter. La mia "sezione", quindi, deve tagliare sia l'asta di cui voglio calcolare la reazione vincolare interna, sia almeno altre due aste, oppure mi basta tagliare anche una sola altra asta?
Ad esempio, nel calcolo per l'asta 61 ho provato a fare tre sezioni: . Quale va bene e quale non andrebbe bene? E perché?
Inoltre, se ad esempio considero la sezione $ sigma_1$, in teoria potrei considerare sia la struttura "fuori" la sezione, quindi quella con tutti i nodi tranne l' $ 1 $ , sia quella che comprende solo il nodo $ 1 $ ? Ovviamente sceglierei quella con calcoli più semplici se ho la scelta.
Per $ sigma_1 $ applicherei la seconda legge della statica con polo 5, per $ sigma_2 $ la prima legge e per $ sigma_3 $ la seconda con polo 5. In tutte e tre i casi mi viene $ p $, quindi credo che vada bene fare sezioni fintanto che le aste siano scariche e possa applicare con successo le leggi della statica. Se questo è vero, allora in realtà potrei dividere la struttura a mio piacimento, fintanto che non divida aste cariche? Se è così, allora direi di avere ampia scelta per le sezioni! Ho fatto qualche calcolo con varie sezioni diverse e mi trovo con le varie reazioni interne $ N_(AB) $ .
Se ho detto tutto bene riguardo il metodo di Ritter, allora passerei al metodo dei Nodi, che è quello che ho "capito" di meno.
Il metodo dei nodi: "Il metodo si basa sulla applicazione della prima equazione della statica ai nodi, in una successione saggiamente scelta in modo che in ogni nuovo nodo $ P_i $ concorrano:
$ \cdot $ Al più due aste scariche esercitanti sforzi incogniti;
$ \cdot $ Oppure al più un'asta carica esercitante una reazione incognita
Da quanto ho capito bisogna calcolare gli sforzi $ phi_x ,phi_y $ dei nodi. In alcuni casi, però, gli sforzi del nodo sono nulli, perché gli altri sforzi si bilanciano. Ad esempio, per il nodo 6, io farei così:
$ I_x=N_(65)+p=0=>N_(65)=-p $
$ I_y=N_(61)-p=0=>N_(61)=p $
In un esercizio svolto che ho, però, non scrive $ N_61 $ , ma scrive $ phi_x $ . Perché? Cosa cambia? Sono molto confuso a riguardo =S Non sono riuscito a trovare un testo che spiegasse bene.
Grazie in anticipo per qualsiasi aiuto!
Sto studiando il metodo di Ritter e dei Nodi per l'esame di Fisica Matematica, ma nonostante pensi di averli capiti, alcuni esercizi svolti mi sembrano molto strani e non so se, quindi, abbia capito a pieno i due metodi.
Ad esempio, questa figura:
La traccia trovata su internet chiede: " Dopo aver calcolato le reazioni esterne, calcolare gli sforzi delle aste 61, 42, 23, 43 con il metodo di Ritter. Tenendo conto della reazione dell'asta 16 sul nodo 6, calcolare la reazione dei nodi 6 e 5 sull'asta 65. Applicare il metodo dei nodi per calcolare lo sforzo dell'asta B3 sul nodo 3 e verificare l'equilibrio dell'asta B3" ( Il punto B sarebbe quella a destra in corrispondenza del doppio doppio pendolo).
Le reazioni le ho calcolate, ma preferirei chiamarle R $ R_(A_x) , R_(A_y) $ eccetera.
EDIT: Il metodo di Ritter l'ho compreso a pieno, ora però mi serve qualche dritto su quello dei nodi!
Ora, il metodo di Ritter: " Il metodo serve a calcolare un $ N_(AB) $ di una particolare asta scarica $ AB $. Applicabile se $ EE $ una corrispondente sezione di Ritter $ sigma $, cioè tale che disconnette $ S $ in due parti $ S' , S'' $ tagliando solo $ AB $ ed eventuali altre aste scariche $ P_hP_k $ che devono essere:
$ 1) $ O parallele tra loro, senza assere parallele a $ AB $
$ 2) $ O concorrenti in uno stesso punto $ T $ non appartenente a $ AB $ "
Nonostante la definizione sia abbastanza chiare a primo impatto, non sono sicuro di ciò che faccio.
Non mi è chiarissimo il concetto di asta scarica. Vediamo un po': Un'asta è detta "scarica" se NON è soggetta ad un certo sistema di forze attive piane. Quindi nella nostra figura tutte le aste sono scariche perché tutte le forze sono applicate ai nodi e perché i vincoli applicati direttamente all'asta impongono forze non attive? Per essere definita "carica" un'asta, allora deve esserci almeno una forza attiva o un momento applicato sull'asta stessa?
Chiarito questo, passerei alla sezione di Ritter. La mia "sezione", quindi, deve tagliare sia l'asta di cui voglio calcolare la reazione vincolare interna, sia almeno altre due aste, oppure mi basta tagliare anche una sola altra asta?
Ad esempio, nel calcolo per l'asta 61 ho provato a fare tre sezioni: . Quale va bene e quale non andrebbe bene? E perché?
Inoltre, se ad esempio considero la sezione $ sigma_1$, in teoria potrei considerare sia la struttura "fuori" la sezione, quindi quella con tutti i nodi tranne l' $ 1 $ , sia quella che comprende solo il nodo $ 1 $ ? Ovviamente sceglierei quella con calcoli più semplici se ho la scelta.
Per $ sigma_1 $ applicherei la seconda legge della statica con polo 5, per $ sigma_2 $ la prima legge e per $ sigma_3 $ la seconda con polo 5. In tutte e tre i casi mi viene $ p $, quindi credo che vada bene fare sezioni fintanto che le aste siano scariche e possa applicare con successo le leggi della statica. Se questo è vero, allora in realtà potrei dividere la struttura a mio piacimento, fintanto che non divida aste cariche? Se è così, allora direi di avere ampia scelta per le sezioni! Ho fatto qualche calcolo con varie sezioni diverse e mi trovo con le varie reazioni interne $ N_(AB) $ .
Se ho detto tutto bene riguardo il metodo di Ritter, allora passerei al metodo dei Nodi, che è quello che ho "capito" di meno.
Il metodo dei nodi: "Il metodo si basa sulla applicazione della prima equazione della statica ai nodi, in una successione saggiamente scelta in modo che in ogni nuovo nodo $ P_i $ concorrano:
$ \cdot $ Al più due aste scariche esercitanti sforzi incogniti;
$ \cdot $ Oppure al più un'asta carica esercitante una reazione incognita
Da quanto ho capito bisogna calcolare gli sforzi $ phi_x ,phi_y $ dei nodi. In alcuni casi, però, gli sforzi del nodo sono nulli, perché gli altri sforzi si bilanciano. Ad esempio, per il nodo 6, io farei così:
$ I_x=N_(65)+p=0=>N_(65)=-p $
$ I_y=N_(61)-p=0=>N_(61)=p $
In un esercizio svolto che ho, però, non scrive $ N_61 $ , ma scrive $ phi_x $ . Perché? Cosa cambia? Sono molto confuso a riguardo =S Non sono riuscito a trovare un testo che spiegasse bene.
Grazie in anticipo per qualsiasi aiuto!
Risposte
Provo a darti qualche suggerimento:
Quante aste tagliare con la sezione di Ritter? in linea di principio, quando si applica il metodo di Ritter, si tende a tagliare 3 aste non concorrenti nel medesimo punto.
La sezione di Ritter divide la struttura originaria in due semistrutture $S'$ ed $S"$. Per determinare le sollecitazioni nelle aste sezionate basta applicare le equazioni cardinali della statica ad una sola di queste semistrutture (chiaramente si sceglie quella più semplice da calcolare).
Nulla vieta di operare sezioni di Ritter di qualunque altro tipo, ovvero sezionando un numero diverso di aste. Il procedimento funziona sempre!
Nel tuo caso, la sezione $sigma_1$ mi sembra la più conveniente per calcolare la caratteristica $N_16$ (che risulta essere una forza P di trazione)
La sezione $sigma_2$ è anche accettabile a patto che tu abbia già calcolato la reazione vincolare della cerniera in 1
La sezione $sigma_3$ è anch'essa valida per calcolare $N_16$. In questo caso $N_16$ lo si calcola, come giustamente hai evidenziato, applicando l'equilibrio alla rotazione rispetto al nodo 5
Se hai una struttura molto complessa, potrai usare le sezioni di Ritter per determinare le sollecitazioni solo in alcune delle aste, ma, man mano che applichi il metodo ti si “sbloccheranno” sempre più sezioni, fino ad arrivare alla totale determinazione delle sollecitazioni interne.
Quante aste tagliare con la sezione di Ritter? in linea di principio, quando si applica il metodo di Ritter, si tende a tagliare 3 aste non concorrenti nel medesimo punto.
La sezione di Ritter divide la struttura originaria in due semistrutture $S'$ ed $S"$. Per determinare le sollecitazioni nelle aste sezionate basta applicare le equazioni cardinali della statica ad una sola di queste semistrutture (chiaramente si sceglie quella più semplice da calcolare).
Nulla vieta di operare sezioni di Ritter di qualunque altro tipo, ovvero sezionando un numero diverso di aste. Il procedimento funziona sempre!
Nel tuo caso, la sezione $sigma_1$ mi sembra la più conveniente per calcolare la caratteristica $N_16$ (che risulta essere una forza P di trazione)
La sezione $sigma_2$ è anche accettabile a patto che tu abbia già calcolato la reazione vincolare della cerniera in 1
La sezione $sigma_3$ è anch'essa valida per calcolare $N_16$. In questo caso $N_16$ lo si calcola, come giustamente hai evidenziato, applicando l'equilibrio alla rotazione rispetto al nodo 5
Se hai una struttura molto complessa, potrai usare le sezioni di Ritter per determinare le sollecitazioni solo in alcune delle aste, ma, man mano che applichi il metodo ti si “sbloccheranno” sempre più sezioni, fino ad arrivare alla totale determinazione delle sollecitazioni interne.
Grazie mille 
Credo di aver risolto i miei problemi con il metodo di Ritter allora! Ora vorrei provare a capire di più sul metodo dei nodi =/
Credo di aver risolto i miei problemi con il metodo di Ritter allora! Ora vorrei provare a capire di più sul metodo dei nodi =/
Da quello che scrivi, direi che hai ben inquadrato il metodo.
Sostanzialmente si applicano gli'equilibri alla traslazione (orizzontale e verticale) ai singoli nodi. Tali equilibri ti permettono di scrivere 2 equazioni per ogni nodo (quelle che hai scritto per il nodo 6 direi che vanno bene). Chiaramente, avendo a disposizione 2 sole equazioni puoi ammettere al più due sole incognite, quindi, puoi scegliere, di volta in volta, i nodi che hanno al più due aste incognite. Mano mano che risolvi l'esercizio, le aste "note" andrano a sbloccarti i nodi successivi, fino alla completa risoluzione della struttura.
Sostanzialmente si applicano gli'equilibri alla traslazione (orizzontale e verticale) ai singoli nodi. Tali equilibri ti permettono di scrivere 2 equazioni per ogni nodo (quelle che hai scritto per il nodo 6 direi che vanno bene). Chiaramente, avendo a disposizione 2 sole equazioni puoi ammettere al più due sole incognite, quindi, puoi scegliere, di volta in volta, i nodi che hanno al più due aste incognite. Mano mano che risolvi l'esercizio, le aste "note" andrano a sbloccarti i nodi successivi, fino alla completa risoluzione della struttura.
Grazie ancora. Ma nel caso in cui avessi un'asta carica? Ad esempio, ho un nodo tra due aste: di una conosco lo sforzo, l'altra invece è carica ed è soggetta ad un momento m. In questo caso come farei?
Sia il metodo delle sezioni di Ritter che l'equilibrio ai nodi si usano per la risoluzione di travature reticolari, ovvero travature formate dall'unione di travi “scariche”.
Ogni trave costituente la travatura, in genere chiamata asta, presenta alle estremità uno snodo “cerniera”. Affinche si abbia una travatura reticolare occorre che sia i carichi sia i vincoli esterni siano applicati ai soli nodi; quindi, nelle singole aste non può esserci un momento flettente.
Gli esercizi che hai postato presentano travature che solo parzialmente posseggono i requisiti di cui sopra. Sono piuttosto una composizione di travature reticolari e travi generiche.
Tu, potrai applicare il metodo di ritter e dell'equilibro ai nodi solo alle parti della struttura inquadrabili come “travature reticolari”; per la restante parte della struttura devi ragionare, sempre in termini di equilibrio, ma senza poter applicare i metodi in modo standard.
Ogni trave costituente la travatura, in genere chiamata asta, presenta alle estremità uno snodo “cerniera”. Affinche si abbia una travatura reticolare occorre che sia i carichi sia i vincoli esterni siano applicati ai soli nodi; quindi, nelle singole aste non può esserci un momento flettente.
Gli esercizi che hai postato presentano travature che solo parzialmente posseggono i requisiti di cui sopra. Sono piuttosto una composizione di travature reticolari e travi generiche.
Tu, potrai applicare il metodo di ritter e dell'equilibro ai nodi solo alle parti della struttura inquadrabili come “travature reticolari”; per la restante parte della struttura devi ragionare, sempre in termini di equilibrio, ma senza poter applicare i metodi in modo standard.
Ora mi sto esercitando su questo esercizio: http://postimg.org/image/h2ajs5or9/
L'esercizio dice: trovare la reazione di $ 8-9 $ sul nodo $ 8 $ con il metodo dei nodi. ( Ho già usato Ritter per calcolare $ N_(81) $ e $ N_(87) $ )
Se ho capito bene, nel caso abbia aste scariche, mi basta applicare la 1 ECS per X e per Y nel nodo, senza considerare gli sforzi di reazione $ phi_x $ e $ phi_y $ del nodo. Ma nel caso abbia una cosa del genere?
Inoltre, anche se sarebbe fuori argomento, mi potresti aiutare a trovare i centri di questa struttura? Credo che $ C_(12) $ e $ C_(23) $ si trovino rispettivamente nei nodi $ 7 $ e $ 6 $, ma non riesco a capire gli altri centri dove possano essere... Il fatto che nel corpo 2 ci siano due pendoli che mi dicono che il centro è nell'intersezione dei loro assi e un doppio doppio pendolo che mi dice che il centro è improprio in una qualsiasi direzione non è contraddittorio? In quale direzione è questo centro improprio?
Io penso che il corpo 3, a destra, abbia 2 centri, quindi è fermo. Il corpo 1 ha il centro nel nodo 9 e il corpo 2 nel nodo 6. E' corretto?
L'esercizio dice: trovare la reazione di $ 8-9 $ sul nodo $ 8 $ con il metodo dei nodi. ( Ho già usato Ritter per calcolare $ N_(81) $ e $ N_(87) $ )
Se ho capito bene, nel caso abbia aste scariche, mi basta applicare la 1 ECS per X e per Y nel nodo, senza considerare gli sforzi di reazione $ phi_x $ e $ phi_y $ del nodo. Ma nel caso abbia una cosa del genere?
Inoltre, anche se sarebbe fuori argomento, mi potresti aiutare a trovare i centri di questa struttura? Credo che $ C_(12) $ e $ C_(23) $ si trovino rispettivamente nei nodi $ 7 $ e $ 6 $, ma non riesco a capire gli altri centri dove possano essere... Il fatto che nel corpo 2 ci siano due pendoli che mi dicono che il centro è nell'intersezione dei loro assi e un doppio doppio pendolo che mi dice che il centro è improprio in una qualsiasi direzione non è contraddittorio? In quale direzione è questo centro improprio?
Io penso che il corpo 3, a destra, abbia 2 centri, quindi è fermo. Il corpo 1 ha il centro nel nodo 9 e il corpo 2 nel nodo 6. E' corretto?
Partiamo con i centri di rotazione. Tanto per fissare le idee:
corpo $1$: nodi $9$,$8$,$7$,$1$
corpo $2$: nodi $7$,$6$
corpo $3$: nodi $6$,$5$,$4$,$2$,$3$
Il corpo $3$ in teoria ha centro di rotazione nell'intersezione dell'asse dei pendoli, la presenza del quadripendolo implica che il centro di rotazione sia un punto improprio. Siccome i due pendoli si incontrano in un punto proprio ne segue che il corpo $3$ non ha centri di istantanea rotazione. Quindi $C_3$ $C_13$ e $C_23$ non esistono.
Il corpo $2$ ruota attorno al nodo $6$ che quindi è $C_2$. (sarebbe stato $C_23$ se il corpo $3$ non fosse bloccato).
A questo punto è immediato dedurre che $7$ è $C_12$ e $9$ é $C_1$.
$C_1$, $C_12$ e $C_2$ sono allineati quindi la struttura dell'esercizio è un cinematismo.
Per quanto riguarda l'azione che l'asta $8-9$ scarica sul nodo $8$ tieni conto che la presenza del momento nell'asta $8-9$ fa sì che lo sforzo in tale asta non sia una forza assiale. La strada che vedo più semplice è quella di applicare la sovrapposizione degli effetti tra la struttura priva del momento $m$ e la struttura caricata dal solo momento $m$. La prima condizione di carico la risolvi con il metodo dell'equilibro al nodo classico, la seconda la risolvi tenendo conto che la presenza del solo momento $m$ contribuisce con una forza verticale verso il basso di intensità $m/l$ all'azione cercata.
corpo $1$: nodi $9$,$8$,$7$,$1$
corpo $2$: nodi $7$,$6$
corpo $3$: nodi $6$,$5$,$4$,$2$,$3$
Il corpo $3$ in teoria ha centro di rotazione nell'intersezione dell'asse dei pendoli, la presenza del quadripendolo implica che il centro di rotazione sia un punto improprio. Siccome i due pendoli si incontrano in un punto proprio ne segue che il corpo $3$ non ha centri di istantanea rotazione. Quindi $C_3$ $C_13$ e $C_23$ non esistono.
Il corpo $2$ ruota attorno al nodo $6$ che quindi è $C_2$. (sarebbe stato $C_23$ se il corpo $3$ non fosse bloccato).
A questo punto è immediato dedurre che $7$ è $C_12$ e $9$ é $C_1$.
$C_1$, $C_12$ e $C_2$ sono allineati quindi la struttura dell'esercizio è un cinematismo.
Per quanto riguarda l'azione che l'asta $8-9$ scarica sul nodo $8$ tieni conto che la presenza del momento nell'asta $8-9$ fa sì che lo sforzo in tale asta non sia una forza assiale. La strada che vedo più semplice è quella di applicare la sovrapposizione degli effetti tra la struttura priva del momento $m$ e la struttura caricata dal solo momento $m$. La prima condizione di carico la risolvi con il metodo dell'equilibro al nodo classico, la seconda la risolvi tenendo conto che la presenza del solo momento $m$ contribuisce con una forza verticale verso il basso di intensità $m/l$ all'azione cercata.
Grazie mille. Un'ultimissima cosa ( sperando di ricevere la risposta entro stasera): come calcolo nel PLV il lavoro del momento? Ad esempio in questo caso: http://postimg.org/image/f4mpwi6qd/
Come calcolo nel PLV il lavoro del momento $ m $ ? So che bisogna vedere l'angolo $ alpha $, ma il problema è che se esamino l'angolo sotto l'asse x esso sarà negativo, quindi avrei $ -m*(-tgalpha)=+mtgalpha $ , mentre se considero l'angolo sull'asse y esso è $ alpha $ , quindi mi verrebbe $ -mtgalpha $, che è il valore corretto. ( Ho calcolato il PLV per trovare $ R_(P1) $ che equivale a $ -p - m/l $ dalle ECS).
Grazie ancora e spero in una risposta velocissima
Come calcolo nel PLV il lavoro del momento $ m $ ? So che bisogna vedere l'angolo $ alpha $, ma il problema è che se esamino l'angolo sotto l'asse x esso sarà negativo, quindi avrei $ -m*(-tgalpha)=+mtgalpha $ , mentre se considero l'angolo sull'asse y esso è $ alpha $ , quindi mi verrebbe $ -mtgalpha $, che è il valore corretto. ( Ho calcolato il PLV per trovare $ R_(P1) $ che equivale a $ -p - m/l $ dalle ECS).
Grazie ancora e spero in una risposta velocissima
L'angolo $alpha$ va visto in termini assoluti, in relazione alla convenzione dei segni che hai adottato all'inizio del tuo esercizio. Il momento compie lavoro per l'angolo di rotazione del tratto di struttura dove è esso è applicato (per l'angolo, non per la sua tangente); se il cinematismo che stai considerando presenta una rotazione concorde al momento il lavoro sarà positivo (entrambi orari o entrambi antiorari); viceversa sarà negativo.
Perfetto, grazie infinite. Non ti romperò più. Mi hai aiutato davvero tanto e non so come ringraziarti...
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