Metodo carica immagine: verifica carica totale

[nato_pigro1]

Coordinate cilindriche $(\rho,z)$, piano carico posto sul piano $z=0$ la carica reale posta in $(0,a)$.

Trovo che la densità del piano è $\sigma(\rho)=-(q*a)/(2*pi) * 1/(\rho^2+a^2)^(3/2)$

per verificare che è esatto mi calcolo la carica totale distribuita sul piano. Io farei $\int_{0}^{+oo} \sigma(\rho) d\rho$ invece la soluzione mi dice che c'è un fattore $2*pi*\rho$ nell'integrale. Perchè?

[Falco5x]

Se consideri una corona circolare di spessore infinitesimo centrata sull'asse di simmetria e giacente sul piano, la carica infinitesima su di essa è pari alla densità di carica moltiplicata per l'area infinitesima, cioè [tex]dq = \sigma \left( \rho \right) \cdot 2\pi \rho d\rho[/tex].
Dunque la carica totale si trova integrando questa $dq$ per $\rho$ che varia da 0 a infinito.

[goblinblue]

Verosimilmente a causa della distribuzione radiale del campo elettrico attorno alla carica posta in (o,a).
Tale carica è puntiforme o filiforme


p.s. scusa non avevo visto che avevano già risposto.

[nato_pigro1]

ecco, ma allora c'è una cosa che non mi torna:

se uso il teorema del cambiamento di varabili per gli integrali multipli e passo dalle coordiante cartesiane a quelle cilindriche con il diffeomorfismo canonico $\phi$ avrei che il fattore per cui devo moltiplicare è il modulo del determinante della Jacobiana $|J_(\phi)(\rho,z)|=\rho$, ma allora il $2pi$ da dove esce?

[Zkeggia]

Di getto ed a senso, forse dal fatto che nelle coordinate cilindriche compare anche l'angolo e data la simmetria del problema l'integrale dell'angolo diventa $int_0^(2pi) dphi = 2pi$?

[goblinblue]

@nato-pigro
mi sfugge il motivo per cui tu debba usare l'integrale multiplo.
non si tratta forse di integrare una funzione $\sigma(\rho)$ di una sola variabile sul piano ?