[Meccanica] Urto contro una parete incernierata al terreno
Una pallina di massa $m=0.100 kg$ viene lanciata con velocità iniziale $v_0=5.00 m/s $ ed alzo $ \alpha=35.0°$ da un dispositivo ad altezza del terreno. Ad una distanza $L=1.00 m$ dal punto di lancio, la pallina urta la superficie di una lastra di massa $M=0.500 kg$ ed altezza $ l=0.500 m$. La superficie della lastra è disposta perpendicolarmente al piano che contiene il moto della pallina ed il punto dell’urto è a metà larghezza della lastra. La lastra è verticale e può ruotare attorno al lato di contatto col terreno per effetto di una cerniera. Si trascurino tutti gli attriti e si consideri l’urto completamente elastico.
Calcolare:
1) l’altezza dell’impatto tra la pallina e la lastra;
2) la componente parallela al terreno della velocità della pallina dopo l’urto.
Ho calcolato 1) usando che $ y(x)=(tan( \alpha))x- \frac{g*x^2}{2*v_0*cos^2(\alpha)} $ e trovo che $y(d)=0.408 m$ (risultato confermato dal testo).
Per quanto riguarda (2) ho imposto che $ { (- l_{imp}mv_i=-I \omega+l_{imp}mv_f ),( 1/2mv_i^2=1/2I \omega^2+1/2mv_f^2 ):} $ , dove $l_{imp}$ è il punto del muro dove la pallina va a colpire, che ho calcolato essere $l_{imp}=0.411 m$.
Il problema è che risolvendo per $v_f$ trovo poi dei risultati errati per $v_{f_{par}}$.
Qualcuno sa dirmi dove sbaglio?
Grazie
Calcolare:
1) l’altezza dell’impatto tra la pallina e la lastra;
2) la componente parallela al terreno della velocità della pallina dopo l’urto.
Ho calcolato 1) usando che $ y(x)=(tan( \alpha))x- \frac{g*x^2}{2*v_0*cos^2(\alpha)} $ e trovo che $y(d)=0.408 m$ (risultato confermato dal testo).
Per quanto riguarda (2) ho imposto che $ { (- l_{imp}mv_i=-I \omega+l_{imp}mv_f ),( 1/2mv_i^2=1/2I \omega^2+1/2mv_f^2 ):} $ , dove $l_{imp}$ è il punto del muro dove la pallina va a colpire, che ho calcolato essere $l_{imp}=0.411 m$.
Il problema è che risolvendo per $v_f$ trovo poi dei risultati errati per $v_{f_{par}}$.
Qualcuno sa dirmi dove sbaglio?
Grazie
Risposte
Hai svolto esattamente la prima parte, determinando il punto di impatto, e, suppongo, la velocità con cui la pallina urta la parete.
Immagino che tale velocità di impatto sia un vettore con due componenti, una orizzontale e una verticale. Non ho verificato, ma penso appunto che il vettore velocità nel punto di impatto non sia completamente orizzontale.
LA componente che interessa ai fini dell'applicazione della conservazione del momento angolare e della energia cinetica (urto elastico) è la sola componente orizzontale della velocità. LA componente verticale non interessa. Infatti l'impulso in direzione verticale che la parete subisce viene assorbito dal vincolo.
Inoltre, mi sembra che $y(d)$ e $l_(imp)$ siano la stessa cosa, no? E cioè l'altezza da terra dove la pallina urta la lastra.
Perciò, detta $v$ la componente orizzontale della velocità di $m$ nel punto di impatto prima dell'urto, e detta $v'$ quella dopo l'urto, io scriverei così le due equazioni :
1) conservazione del momento angolare rispetto alla cerniera :
$mvl = mv'l + I\omega$
2) conservazione dell'energia cinetica (con la precisazione detta) :
$1/2mv^2 = 1/2mv'^2 + 1/2I\omega^2$
ricavando $v'$ dall prima equazione e sostituendola nella seconda, trovo che : $\omega = 2v*(ml)/(I + ml^2)$
e quindi : $v' = v ( 1 - 2/(1 +(ml^2)/I))$
Da notare che se la parete è ferma , e quindi $I \rightarrow \infty$ , risulta : $\omega = 0 $ e $v' = -v$, cioè la pallina inverte semplicemente la componente orizzontale della velocità.
Prova a fare i calcoli, e fammi sapere se va bene, altrimenti ci ragioniamo ancora su. Anch'io posso sbagliare, ovviamente.
Immagino che tale velocità di impatto sia un vettore con due componenti, una orizzontale e una verticale. Non ho verificato, ma penso appunto che il vettore velocità nel punto di impatto non sia completamente orizzontale.
LA componente che interessa ai fini dell'applicazione della conservazione del momento angolare e della energia cinetica (urto elastico) è la sola componente orizzontale della velocità. LA componente verticale non interessa. Infatti l'impulso in direzione verticale che la parete subisce viene assorbito dal vincolo.
Inoltre, mi sembra che $y(d)$ e $l_(imp)$ siano la stessa cosa, no? E cioè l'altezza da terra dove la pallina urta la lastra.
Perciò, detta $v$ la componente orizzontale della velocità di $m$ nel punto di impatto prima dell'urto, e detta $v'$ quella dopo l'urto, io scriverei così le due equazioni :
1) conservazione del momento angolare rispetto alla cerniera :
$mvl = mv'l + I\omega$
2) conservazione dell'energia cinetica (con la precisazione detta) :
$1/2mv^2 = 1/2mv'^2 + 1/2I\omega^2$
ricavando $v'$ dall prima equazione e sostituendola nella seconda, trovo che : $\omega = 2v*(ml)/(I + ml^2)$
e quindi : $v' = v ( 1 - 2/(1 +(ml^2)/I))$
Da notare che se la parete è ferma , e quindi $I \rightarrow \infty$ , risulta : $\omega = 0 $ e $v' = -v$, cioè la pallina inverte semplicemente la componente orizzontale della velocità.
Prova a fare i calcoli, e fammi sapere se va bene, altrimenti ci ragioniamo ancora su. Anch'io posso sbagliare, ovviamente.
I risultati sono esatti, grazie.
Un'ultima cosa: $v_{y_i}=v_{y_f}$? (la componente y della velocità della pallina prima dell'urto è uguale a quella dopo l'urto?)
Un'ultima cosa: $v_{y_i}=v_{y_f}$? (la componente y della velocità della pallina prima dell'urto è uguale a quella dopo l'urto?)
"fafnir39":
I risultati sono esatti, grazie.
Un'ultima cosa: $ v_{y_i}=v_{y_f} $? (la componente y della velocità della pallina prima dell'urto è uguale a quella dopo l'urto?)
Sí certo, la componente $v_y$ non cambia.
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