Meccanica Statistica - Huang
Spero di non aver sbagliato sezione. In caso, chiedo venia. 
Leggendo il libro Meccanica Statistica di Huang, ho la costante sensazione che diversi passaggi siano omessi. Di quel poco che ho letto, sono, bene o male, riuscito a venirne a capo. La dimostrazione della proprietà additiva dell'entropia a partire dall'ensemble microcanonico, però, non riesco a digerirla.
Si definisce entropia $ S(E, V) = klog\Gamma(E) $, dove $ E $ energia, $ V $ volume, $ \Gamma(E) $ funzione di partizione microcanonica.
Consideriamo un sistema di energia $E$ e volume $V$, e suddividiamolo in due sottosistemi: il sistema 1 avrà $ E_1 $, $V_1$ e $ \Gamma_1(E_1) $, il sistema 2 $ E_2 $,$V_2$ e $ \Gamma_2(E_2) $. Attraverso una serie di passaggi, si ottiene che l'entropia del sistema composto dal sistema 1 + sistema 2 è $ S(E, V) = klog\sum_{i=1}^(E/\Delta) \Gamma_1(E_i)\Gamma_2(E-E_i) $.
Chiamando $ \Gamma(E) $ la funzione di partizione microcanonica del sistema composto e $ E $ l'energia totale posseduta dal sistema, è chiaro che
$ \Gamma_1(\bar E_1)\Gamma_2(\bar E_2) <= \Gamma(E) <= E/\Delta\Gamma_1(\bar E_1)\Gamma_2(\bar E_2) $,
dove $ \bar E_1 $ e $ \bar E_2 $ sono quei valori che massimizzano il prodotto $ \Gamma_1(\bar E_1)\Gamma_2(\bar E_2) $.
Si ha, dunque,
$ klog\Gamma_1(\bar E_1)\Gamma_2(\bar E_2) <= S(E, V) <= klog\Gamma_1(\bar E_1)\Gamma_2(\bar E_2) + klog(E/\Delta) $
$ S_1(\bar E_1, V_1) + S_2(\bar E_2, V_2) <= S(E, V) <= S_1(\bar E_1, V_1) + S_2(\bar E_2, V_2) + klog(E/\Delta) $. $\ast$
Ed ecco il problema: si afferma che, se numero di molecole ($ N $) tende a $oo$, allora
$ log\Gamma_1 prop N_1 $, $ log\Gamma_2 prop N_2 $, $ E prop N_1+N_2 (= N) $
e, dunque, essendo $\Delta$ una costante rispetto a $ N $, l'ultimo termine a destra della $\ast$ può essere trascurato, ottenendo la tesi:
$ S(E, V) = S_1(\bar E_1, V_1) + S_2(\bar E_2, V_2) + O(logN) $.
Non capisco: se $ E $ è proporzionale a $ N $ e $ N rarr oo $, mentre $\Delta$ (che, in pratica, rappresenta l'imprecisione nella determinazione dell'energia del sistema) è costante rispetto a $ N $, dovrebbe essere $log(E/\Delta) rarr oo$. E poi, quel O-grande da dove spunta fuori?!
Ringranzio chiunque avrà la pazienza di rispondermi.
Leggendo il libro Meccanica Statistica di Huang, ho la costante sensazione che diversi passaggi siano omessi. Di quel poco che ho letto, sono, bene o male, riuscito a venirne a capo. La dimostrazione della proprietà additiva dell'entropia a partire dall'ensemble microcanonico, però, non riesco a digerirla.
Si definisce entropia $ S(E, V) = klog\Gamma(E) $, dove $ E $ energia, $ V $ volume, $ \Gamma(E) $ funzione di partizione microcanonica.
Consideriamo un sistema di energia $E$ e volume $V$, e suddividiamolo in due sottosistemi: il sistema 1 avrà $ E_1 $, $V_1$ e $ \Gamma_1(E_1) $, il sistema 2 $ E_2 $,$V_2$ e $ \Gamma_2(E_2) $. Attraverso una serie di passaggi, si ottiene che l'entropia del sistema composto dal sistema 1 + sistema 2 è $ S(E, V) = klog\sum_{i=1}^(E/\Delta) \Gamma_1(E_i)\Gamma_2(E-E_i) $.
Chiamando $ \Gamma(E) $ la funzione di partizione microcanonica del sistema composto e $ E $ l'energia totale posseduta dal sistema, è chiaro che
$ \Gamma_1(\bar E_1)\Gamma_2(\bar E_2) <= \Gamma(E) <= E/\Delta\Gamma_1(\bar E_1)\Gamma_2(\bar E_2) $,
dove $ \bar E_1 $ e $ \bar E_2 $ sono quei valori che massimizzano il prodotto $ \Gamma_1(\bar E_1)\Gamma_2(\bar E_2) $.
Si ha, dunque,
$ klog\Gamma_1(\bar E_1)\Gamma_2(\bar E_2) <= S(E, V) <= klog\Gamma_1(\bar E_1)\Gamma_2(\bar E_2) + klog(E/\Delta) $
$ S_1(\bar E_1, V_1) + S_2(\bar E_2, V_2) <= S(E, V) <= S_1(\bar E_1, V_1) + S_2(\bar E_2, V_2) + klog(E/\Delta) $. $\ast$
Ed ecco il problema: si afferma che, se numero di molecole ($ N $) tende a $oo$, allora
$ log\Gamma_1 prop N_1 $, $ log\Gamma_2 prop N_2 $, $ E prop N_1+N_2 (= N) $
e, dunque, essendo $\Delta$ una costante rispetto a $ N $, l'ultimo termine a destra della $\ast$ può essere trascurato, ottenendo la tesi:
$ S(E, V) = S_1(\bar E_1, V_1) + S_2(\bar E_2, V_2) + O(logN) $.
Non capisco: se $ E $ è proporzionale a $ N $ e $ N rarr oo $, mentre $\Delta$ (che, in pratica, rappresenta l'imprecisione nella determinazione dell'energia del sistema) è costante rispetto a $ N $, dovrebbe essere $log(E/\Delta) rarr oo$. E poi, quel O-grande da dove spunta fuori?!
Ringranzio chiunque avrà la pazienza di rispondermi.
Risposte
Ciao!
Basta pensare al fatto che :
$ lim_(x -> oo) (logx)/x=0 $
Il logaritmo di una quantità che tende all'infinito viene trascurato rispetto alla quantità stessa.
Quell' o-grande sta proprio ad indicare che si trascurano termine dell'ordine del logaritmo.
Basta pensare al fatto che :
$ lim_(x -> oo) (logx)/x=0 $
Il logaritmo di una quantità che tende all'infinito viene trascurato rispetto alla quantità stessa.
Quell' o-grande sta proprio ad indicare che si trascurano termine dell'ordine del logaritmo.
Tutto chiaro. Grazie mille!
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