Meccanica statistica: gas e potenziale gravitazionale
Salve a tutti, ho un problema con alcuni esercizi di meccanica statistica. Questo, in particolare, mi crea gravi scompensi:
Ora, calcolando la funzione di partizione, ottengo \(\displaystyle \hat{Z} = (\frac{2 \pi m}{\beta})^{3N/2} (ab)^N (\frac{1 - e^{- \beta mgc}}{\beta mg})^N \)
I punti b e c non danno problemi.
Non riesco a capire la seconda parte del punto a, e il punto d.
Per trovare la densità in funzione della quota z, mi è stato suggerito dall'esercitatore del corso di utilizzare la densità di probabilità \(\displaystyle \rho = \frac{e^{- \beta H}}{\hat{Z}} \) e moltiplicarla per la massa, ma \(\displaystyle \rho \) è una densità nello spazio delle fasi 6N-dimensionale, quindi moltiplicare per la massa non avrebbe alcun senso fisico.
Sul punto d non so sinceramente neanche da dove cominciare...
Grazie in anticipo per le risposte
Un gas ideale costituito da \(\displaystyle N \) particelle di massa \(\displaystyle m \) è racchiuso da un parallelepipedo i cui spigoli nelle direzioni degli assi \(\displaystyle x \), \(\displaystyle y \) e \(\displaystyle z \) misurano rispettivamente \(\displaystyle a \),\(\displaystyle b \) e \(\displaystyle c \). Il contenitore è immerso in un campo gravitazionale diretto lungo l'asse \(\displaystyle z \) ed è in equilibrio termico alla temperatura \(\displaystyle T \).
a) Calcolare la funzione di partizione e l'andamento della densità del gas in funzione della quota \(\displaystyle z \).
b) Calcolare l'energia media del gas e la sua capacità termica.
c) Calcolare l'energia libera di Helmholtz
d) Osservando che il lavoro fatto dal gas per espandersi può essere scritto:
\(\displaystyle \delta L = p_1 (bc) da + p_2 (ac) db + p_3 (ab) dc \)
calcolare le pressioni \(\displaystyle p_1 , p_2 , p_3 \) che il gas esercita sulle pareti laterali e su quella superiore del contenitore.
Ora, calcolando la funzione di partizione, ottengo \(\displaystyle \hat{Z} = (\frac{2 \pi m}{\beta})^{3N/2} (ab)^N (\frac{1 - e^{- \beta mgc}}{\beta mg})^N \)
I punti b e c non danno problemi.
Non riesco a capire la seconda parte del punto a, e il punto d.
Per trovare la densità in funzione della quota z, mi è stato suggerito dall'esercitatore del corso di utilizzare la densità di probabilità \(\displaystyle \rho = \frac{e^{- \beta H}}{\hat{Z}} \) e moltiplicarla per la massa, ma \(\displaystyle \rho \) è una densità nello spazio delle fasi 6N-dimensionale, quindi moltiplicare per la massa non avrebbe alcun senso fisico.
Sul punto d non so sinceramente neanche da dove cominciare...
Grazie in anticipo per le risposte
Risposte
Ok, ho risolto dopo un ragionamento abbastanza "semplice" (e dopo un grosso aiuto 
), il punto d). Posso utilizzare l'energia libera di Helmholtz, \(\displaystyle F = U - TS \). Il differenziale è ovviamente \(\displaystyle dF = dU - TdS - SdT \), ovvero \(\displaystyle dF = p dV - S dT \). Ma \(\displaystyle p dV \) è proprio il lavoro fatto dal gas, per cui, essendo \(\displaystyle dF \) un differenziale esatto, posso derivare a temperatura costante rispetto alle tre variabili \(\displaystyle a \), \(\displaystyle b \) e \(\displaystyle c \).
Funziona? Ci sono falle nel ragionamento?
La seconda parte del punto a) ancora non mi è chiara, invece, dovrei trovare una funzione che leghi la massa all'asse \(\displaystyle z \), ma non saprei come arrivarci...
), il punto d). Posso utilizzare l'energia libera di Helmholtz, \(\displaystyle F = U - TS \). Il differenziale è ovviamente \(\displaystyle dF = dU - TdS - SdT \), ovvero \(\displaystyle dF = p dV - S dT \). Ma \(\displaystyle p dV \) è proprio il lavoro fatto dal gas, per cui, essendo \(\displaystyle dF \) un differenziale esatto, posso derivare a temperatura costante rispetto alle tre variabili \(\displaystyle a \), \(\displaystyle b \) e \(\displaystyle c \).Funziona? Ci sono falle nel ragionamento?
La seconda parte del punto a) ancora non mi è chiara, invece, dovrei trovare una funzione che leghi la massa all'asse \(\displaystyle z \), ma non saprei come arrivarci...
Ok, ho risolto. In pratica, la densità che intende il prof nel porre questa domanda è la densità di probabilità di trovare una particella nel volume fisico moltiplicata per il numero di particelle. A questo punto la risoluzione è banale
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