Meccanica Relativistica

[Insubrico]

Salve,
L'equazione di Newton $F=m*dv/dt$ non è corretta relativisticamente.
Essa deve essere
$F=d/dt m\gammav$.
Differenziando otteniamo $F=m\gammadv/dt+mvd\gamma/dt=m\gammaa+mvd\gamma/dt$.
Sapendo che:
$d\gamma/dt=\gamma^3va$
otteniamo:
$m\gamma a=F-m\gamma^3 v(v a)$ $(5)$
Moltiplicando vettorialmente ambo i membri per v, otteniamo:
$m\gamma^3(v*a)=F*v$
In questo passaggio non mi è chiara l'eliminazione del membro di sinistra e una velocità nel membro di destra destra della $5$ .
Probabilmente non mi è chiaro il prodotto vettoriale o scalare tra $v$ e $a$ . Qualcuno può delucidarmi??

Nel caso in cui $a$ e $v$ siano parallele alla fine si ha:
$F=m\gamma^3a$.

Ciao a tutti.

[mathbells]

"Insubrico":Moltiplicando vettorialmente ambo i membri per v

In realtà moltiplichi scalarmente, non vettorialmente. Poi è semplice. Tenendo conto che il prodotto scalare è commutativo, basta raccogliere a fattor comune $\gamma m\vec a\cdot \vec v$ e ottieni $\vec F\cdot \vec v=\gamma m\vec a\cdot \vec v (\gamma^2\frac{v^2}{c^2}+1)$. Sviluppando i calcoli, la parentesi tonda ti dà $\gamma ^2$

[Sk_Anonymous]

Mi sembra che ci sia una $v$ di troppo in $(d\gamma)/(dt)$ .

[mathbells]

"navigatore":Mi sembra che ci sia una v di troppo in \(\displaystyle \frac{d\gamma}{dt} \).

"Insubrico":Sapendo che:
\(\displaystyle \frac{d\gamma}{dt}=\gamma^3va \)

Facendo i conti mi viene \(\displaystyle \frac{d\gamma}{dt}=\frac{\gamma^3}{c^2}\vec v\cdot \vec a\), quindi pare che manchi un $c^2$ al denominatore.

[Sk_Anonymous]

@ Insubrico

Avevo già fatto questi conti per un altro studente :

Supponiamo di essere in un caso di moto unidimensionale, perciò possiamo proiettare tutti i vettori (forza, velocità…) sull'asse $x$.

Allora, tenuto conto che la parte spaziale del 4-vettore energia impulso è data da : $m*\gamma(v)*v$ , dove il fattore $\gamma$ è appunto funzione della velocità variabile lungo $x$, si può scrivere la 2º legge della Dinamica così :

$F = d/(dt) [m*\gamma(v)*v] = m*d/(dt)[\gamma(v)*v] = m [(d\gamma)/(dt)*v + \gamma* (dv)/(dt)] $

Risulta :

$(d\gamma)/(dt) = -1/2(1-v^2/c^2)^(-3/2)*(-2v/c^2)*(dv)/(dt) = \gamma^3v/c^2(dv)/(dt) $

Perciò :

$F/m = \gamma^3v^2/c^2(dv)/(dt) + \gamma(dv)/(dt) = \gamma(dv)/(dt) ((v^2/c^2)/(1-(v^2)/c^2) + 1 ) =

\gamma (dv)/(dt) *1/(1-(v^2/c^2)) = \gamma^3 (dv)/(dt)$

come del resto ti aveva già detto mathbells.

Ma questi calcoli si fanno meglio, considerando i 4-vettori : 4-velocita, 4-accelerazione, 4-impulso, 4-forza di Minkowski.
Infatti, quella scritta alll'inizio è solo la parte "spaziale" del 4 vettore energia-impulso, che scritto completo è dato da :

$\vecP = (\gammamc, \gammamv)$ (il primo termine in parentesi è la parte temporale che poi si vede essere uguale a $E/c$ ).

Si arriva alla fine a definire la 4-forza di Minkowski : $\vecf = (\gamma\vecF*\vecv, \gamma\vecF) $ , dove $\vecF$ è la forza "tridimensionale" solita.
Fammi sapere se è stato utile.