Meccanica razionale!!!!!!!!un piccolo chiarimento
Salve a tutti!!!!! a breve ho l'esame di meccanica razionale ma ho bisogno di un chiarimento su puro rotolamento! Ad esempio se ho una lamina circolare che rotola senza strisciare su un asta rigida inclinata rispetto all' orizzontale come impongo l'equazione di puro rotolamento????? Aiutatemi vi pregoooooooo 
Risposte
Per lamina circolare intendi un cilindro?
Se qualcosa di tondo rotola utilizza $ sum \vecF=m_(c.m)\veca_(c.m.) $ e legge momento angolare delle forze $M_(c.m.)^e=I_(c.m.)dot \omega_(c.m.)$
Per il rotolamento il polo prendilo sul punto di contatto dell'oggetto che rotola con la superficie di contatto..Aggiungi la condizione del rotolamento:$v_(c.m.)=\omegar$
e $a_(c.m.)=dot \omegar$. $c.m.$ e' il centro di massa
Per il rotolamento il polo prendilo sul punto di contatto dell'oggetto che rotola con la superficie di contatto..Aggiungi la condizione del rotolamento:$v_(c.m.)=\omegar$
e $a_(c.m.)=dot \omegar$. $c.m.$ e' il centro di massa
potrei sbagliare,
in teoria avresti due parametri lagrangiani (ma legati), (preso un sistema con l'asse x lungo il piano inclinato) hai la distanza dall'origine del centro di massa del disco, $x$ e l'angolo $theta$ che il disco forma per esempio con la verticale,
ma hai anche un vincolo, imponi il puro rotolamento imponendo $x=rtheta$ (infatti la lo spostamento elementare del centro di massa $dx$ poichè c'è puro rotolomento è uguale alla distanza percorsa sulla circonferenza $ds=r*d theta$ => $x=rtheta$)
questo vincolo ti dice che il sistema ha un solo grado di libertà e l'equazione del moto la devi quindi esprimere in funzione di $theta$
edit: poichè hai un grado di libertà puoi usare la conservazione dell'energia, tenendo conto che l'e cinetica di un corpo che rotola $T=1/2mVg^2 + 1/2Iomega^2$
in teoria avresti due parametri lagrangiani (ma legati), (preso un sistema con l'asse x lungo il piano inclinato) hai la distanza dall'origine del centro di massa del disco, $x$ e l'angolo $theta$ che il disco forma per esempio con la verticale,
ma hai anche un vincolo, imponi il puro rotolamento imponendo $x=rtheta$ (infatti la lo spostamento elementare del centro di massa $dx$ poichè c'è puro rotolomento è uguale alla distanza percorsa sulla circonferenza $ds=r*d theta$ => $x=rtheta$)
questo vincolo ti dice che il sistema ha un solo grado di libertà e l'equazione del moto la devi quindi esprimere in funzione di $theta$
edit: poichè hai un grado di libertà puoi usare la conservazione dell'energia, tenendo conto che l'e cinetica di un corpo che rotola $T=1/2mVg^2 + 1/2Iomega^2$
Se chiami [tex]$H[/tex] il punto di contatto tra disco e asta, imponi che la velocità di [tex]$H[/tex] sull'asta, sia uguale alla velocità di [tex]$H[/tex] sul disco:
Cioè:
[tex]$\underline{v} (H)_{\text{asta}} = \underline{v} (H)_{\text{disco}}[/tex]
ove (se l'asta trasla):
[tex]$\underline{v} (H)_{\text{asta}} = \ddot{x}_A \underline{i}$[/tex]
dove [tex]$A[/tex] è un estremo dell'asta, [tex]$i$[/tex] il versore dell'asse [tex]$x$[/tex])
[tex]$\underline{v} (H)_{\text{disco}} = \underline{v} (O) + (O-H) \wedge \dot{\theta} \underline{k}$[/tex]
dove [tex]$O[/tex] è il centro del disco.
Cioè, l'equazione che ti descrive il vincolo è :
[tex]$\ddot{x}_A \underline{i} = \underline{v} (O) + (O-H) \wedge \dot{\theta} \underline{k}$[/tex]
E' un'equazione completa che ti include la perfetta aderenza, che, ovviamente, deve esserci tra disco e asta (a meno che tu stia affrontando un problema complesso, ma non credo.)
Cioè:
[tex]$\underline{v} (H)_{\text{asta}} = \underline{v} (H)_{\text{disco}}[/tex]
ove (se l'asta trasla):
[tex]$\underline{v} (H)_{\text{asta}} = \ddot{x}_A \underline{i}$[/tex]
dove [tex]$A[/tex] è un estremo dell'asta, [tex]$i$[/tex] il versore dell'asse [tex]$x$[/tex])
[tex]$\underline{v} (H)_{\text{disco}} = \underline{v} (O) + (O-H) \wedge \dot{\theta} \underline{k}$[/tex]
dove [tex]$O[/tex] è il centro del disco.
Cioè, l'equazione che ti descrive il vincolo è :
[tex]$\ddot{x}_A \underline{i} = \underline{v} (O) + (O-H) \wedge \dot{\theta} \underline{k}$[/tex]
E' un'equazione completa che ti include la perfetta aderenza, che, ovviamente, deve esserci tra disco e asta (a meno che tu stia affrontando un problema complesso, ma non credo.)
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