[Meccanica Razionale]Posizione di equilibrio del sistema.
Mi potete spiegare per favore quando è consigliato utilizzare (per trovare le posizioni di equilibrio del sistema) il "p.l.v." o il "Principio di stazionarietà del potenziale"?
Grazie mille
Grazie mille
Risposte
[xdom="JoJo_90"]Sposto nella sezione di Fisica.[/xdom]
io credo che non siano due cose distinte. nel caso di sole forze conservative il plv diventa quel principio che dici.
Quindi è la stessa cosa?
Allora perché esistono queste due metodologie?
Allora perché esistono queste due metodologie?
il plv è il principio generale, che si specializza in quell'altro in particolari circostanze , che dopo dico
non è la prima volta che un caso particolare di una legge diventa una legge a sua volta. non c'è da stupirsi
cmq guarda, prendendo spunto dagli appunti di Mattei di meccanica raz.
nel caso di vincoli olonomi e indipendenti dal tempo o di puro rotolamento il plv dice che se (userò la convenzione di einstein della somma su indici ripetuti)
$\delta L^a = \vec F_i ^a * \delta \vec P_i =0$ cioè il lavoro virtuale di tutte le forze attive è uguale a 0 per ogni spostamento virtuale concesso dai vincoli si ha equilibrio, con $\delta \vec P_i$ spostamento virtuale del punto di applicazione della forza $\vec F_i$
quindi se si introducono l coordinate lagrangiane si ha (h sarà l'indice che va da 1 a l e indica le coordinate lagrangiane)
$\delta L^a = (\vec F_i ^a * (\partial OP_i)/(\partial \q_h))\delta q_h$ quindi chiamando la roba tra parentesi $Q_h ^a$
$\delta L^a = Q_h ^a \delta q_h$ dove le $\q_h$ sono le coordinate lagrangiane. si ottiene così la formulazione del lavoro virtuale in funzione delle coordinate lagrangiane
siccome il fatto che il lavoro virtuale deve essere 0 per ogni spostamento per avere equilibrio, si ha che $Q_h ^a = 0$
se le forze attive son tutte conservative si può definire un potenziale U in ogni punto dello spazio come somma dei potenziali di tutte le forze e si ha quindi
$\delta L^a = -\delta U = - (partial U)/(\partial q_h) \delta q_h$
per confronto con quello che ho scritto prima il termine moltiplicato per $\delta q_h$ deve essere nullo
quindi $(\partial U)/(\partial q_h) = 0$ e si ha equilibrio
se però le ipotesi all'inizio non sono rispettate non hai equilibrio per il minimo del potenziale!!!!!
come ho detto puoi trovare questo sul Mattei.
non è la prima volta che un caso particolare di una legge diventa una legge a sua volta. non c'è da stupirsi
cmq guarda, prendendo spunto dagli appunti di Mattei di meccanica raz.
nel caso di vincoli olonomi e indipendenti dal tempo o di puro rotolamento il plv dice che se (userò la convenzione di einstein della somma su indici ripetuti)
$\delta L^a = \vec F_i ^a * \delta \vec P_i =0$ cioè il lavoro virtuale di tutte le forze attive è uguale a 0 per ogni spostamento virtuale concesso dai vincoli si ha equilibrio, con $\delta \vec P_i$ spostamento virtuale del punto di applicazione della forza $\vec F_i$
quindi se si introducono l coordinate lagrangiane si ha (h sarà l'indice che va da 1 a l e indica le coordinate lagrangiane)
$\delta L^a = (\vec F_i ^a * (\partial OP_i)/(\partial \q_h))\delta q_h$ quindi chiamando la roba tra parentesi $Q_h ^a$
$\delta L^a = Q_h ^a \delta q_h$ dove le $\q_h$ sono le coordinate lagrangiane. si ottiene così la formulazione del lavoro virtuale in funzione delle coordinate lagrangiane
siccome il fatto che il lavoro virtuale deve essere 0 per ogni spostamento per avere equilibrio, si ha che $Q_h ^a = 0$
se le forze attive son tutte conservative si può definire un potenziale U in ogni punto dello spazio come somma dei potenziali di tutte le forze e si ha quindi
$\delta L^a = -\delta U = - (partial U)/(\partial q_h) \delta q_h$
per confronto con quello che ho scritto prima il termine moltiplicato per $\delta q_h$ deve essere nullo
quindi $(\partial U)/(\partial q_h) = 0$ e si ha equilibrio
se però le ipotesi all'inizio non sono rispettate non hai equilibrio per il minimo del potenziale!!!!!
come ho detto puoi trovare questo sul Mattei.
Quindi se ho capito bene il p.l.v. lo posso utilizzare sempre, invece il Principio di stazionarietà del potenziale solo se è conservativo.
Non è vero il contrario esatto?
Non è vero il contrario esatto?
io non avevo mai sentito di quello come un principio. per cui ho immaginato tu ti riferissi a quello che prima ti ho esposto
se è quello...sono stato poco chiaro??
se è quello...sono stato poco chiaro??
Sisi è quello e sei stato chiarissimo e gentilissimo.
Vorrei comunque come conferma sapere se è vero ciò che ho scritto poc'anzi (ripeto):
Quindi se ho capito bene il p.l.v. ($ \delta L^a = \vec F_i ^a * \delta \vec P_i =0 $) lo posso utilizzare sempre (vincoli olonomi, indipendenti dal tempo o di puro rotolamento e sistemi conservativi) , invece il Principio di stazionarietà del potenziale ($ (\partial U)/(\partial q_h) = 0 $) solo se è conservativo.
Non è vero il contrario esatto?
Almeno questo è quello che ho dedotto però non so se è corretto.
Vorrei comunque come conferma sapere se è vero ciò che ho scritto poc'anzi (ripeto):
Quindi se ho capito bene il p.l.v. ($ \delta L^a = \vec F_i ^a * \delta \vec P_i =0 $) lo posso utilizzare sempre (vincoli olonomi, indipendenti dal tempo o di puro rotolamento e sistemi conservativi) , invece il Principio di stazionarietà del potenziale ($ (\partial U)/(\partial q_h) = 0 $) solo se è conservativo.
Non è vero il contrario esatto?
Almeno questo è quello che ho dedotto però non so se è corretto.
se sono stato chiarissimo non dovrebbero esserci ulteriori dubbi
cmq è come dici te. te l'avevo detto già due volte
un'ulteriore precisazione
$\delta L^a = 0$, vale quindi l'uguaglianza nelle condizioni che ho detto (vincoli olonomi indipendenti dal tempo e/o di rotolamento senza strisciamento)
nel caso in cui quelle condizioni non vengano rispettate vale $\delta L^a <= 0$, e deve essere quindi verificata la disuguaglianza.
cmq è come dici te. te l'avevo detto già due volte
un'ulteriore precisazione
$\delta L^a = 0$, vale quindi l'uguaglianza nelle condizioni che ho detto (vincoli olonomi indipendenti dal tempo e/o di rotolamento senza strisciamento)
nel caso in cui quelle condizioni non vengano rispettate vale $\delta L^a <= 0$, e deve essere quindi verificata la disuguaglianza.
Bene bene adesso dopo i miei vari quesiti giungiamo al perché di tutte queste mie domande (sono interessato solo alla prima domanda):
Premessa la forza a distanza 1/4 quando la scompongo è:
$F*(cos(30-x);sin(30-x))$ il resto si capisce leggendo.
Lo svolgo effettuando l'equilibrio alla rotazione e con il p.l.v e ottengo questo risultato in entrambi i casi:
$F/8-(mg)/2*cos(x)+2F*sin(x)=0$
Arrivato qui devo dire che non riesco a trovare x.
Dopo lo svolgo con il "Principio di stazionarietà del potenziale"
$U=mglsin(x)+2Flcos(x)+(√3)/8*FL$
Derivo rispetto a x divido per cos(x) e ottengo:
$x=Arctang((mg)/(4F))$
Sono fissato con questo esercizio perché a parte la sua relativa semplicità se mi capitasse a un esame io proverei subito con il p.l.v. che risulta essere sbagliato o meglio mi fermo a quel l'equazione.
Quindi mi chiedo voi come lo avreste risolto?
I risultati vi combaciano?
Premessa la forza a distanza 1/4 quando la scompongo è:
$F*(cos(30-x);sin(30-x))$ il resto si capisce leggendo.
Lo svolgo effettuando l'equilibrio alla rotazione e con il p.l.v e ottengo questo risultato in entrambi i casi:
$F/8-(mg)/2*cos(x)+2F*sin(x)=0$
Arrivato qui devo dire che non riesco a trovare x.
Dopo lo svolgo con il "Principio di stazionarietà del potenziale"
$U=mglsin(x)+2Flcos(x)+(√3)/8*FL$
Derivo rispetto a x divido per cos(x) e ottengo:
$x=Arctang((mg)/(4F))$
Sono fissato con questo esercizio perché a parte la sua relativa semplicità se mi capitasse a un esame io proverei subito con il p.l.v. che risulta essere sbagliato o meglio mi fermo a quel l'equazione.
Quindi mi chiedo voi come lo avreste risolto?
I risultati vi combaciano?
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