Meccanica razionale(momento d'inerzia, matrice d'inerzia, operatore d'inerzia)
Buongiorno, avrei bisogno di alcuni chiarimenti per i quali ringrazio in anticipo.
Sono totalmente confusa in merito ad alcuni elementi fondamentali di meccanica razionale, ovvero l'operatore d'inerzia, il momento d'inerzia e la matrice d'inerzia.
Conosco numerose relazioni che legano queste grandezze tra loro, ma tuttavia spesso, mi trovo a far confusione.
In particolare avevo letto che il tensore di inerzia è tale per cui se inserito in un particolare sistema di riferimento, diventa una matrice applicata a tale sistema, tale matrice è la matrice d'inerzia?
Eppure esiste una relazione secondo cui il tensore d'inerzia moltiplicato per un certo vettore è uguale alla matrice d'inerzia moltiplicata per le componenti di tale vettore, ciò cosa mi rappresenta?
Invece per quanto riguarda il momento d'inerzia, so essere uno scalare. Ciò vuol dire che data una matrice d'inerzia rispetto ad un certo polo O, tutti gli elementi che fanno parte della matrice sono dei momenti d'inerzia calcolati rispetto agli assi della terna considerata per calcolare la matrice?
Inoltre, per quanto riguarda la seconda equazione cardinale riscrivibile mediante il tensore d'inerzia, come posso riscrivere il tensore d'inerzia in modo tale da renderla applicabile? Immagino che questo mio dubbio derivi dal fatto che non ho capito bene il concetto.
Scusate l'enorme confusione, grazie in anticipo.
Sono totalmente confusa in merito ad alcuni elementi fondamentali di meccanica razionale, ovvero l'operatore d'inerzia, il momento d'inerzia e la matrice d'inerzia.
Conosco numerose relazioni che legano queste grandezze tra loro, ma tuttavia spesso, mi trovo a far confusione.
In particolare avevo letto che il tensore di inerzia è tale per cui se inserito in un particolare sistema di riferimento, diventa una matrice applicata a tale sistema, tale matrice è la matrice d'inerzia?
Eppure esiste una relazione secondo cui il tensore d'inerzia moltiplicato per un certo vettore è uguale alla matrice d'inerzia moltiplicata per le componenti di tale vettore, ciò cosa mi rappresenta?
Invece per quanto riguarda il momento d'inerzia, so essere uno scalare. Ciò vuol dire che data una matrice d'inerzia rispetto ad un certo polo O, tutti gli elementi che fanno parte della matrice sono dei momenti d'inerzia calcolati rispetto agli assi della terna considerata per calcolare la matrice?
Inoltre, per quanto riguarda la seconda equazione cardinale riscrivibile mediante il tensore d'inerzia, come posso riscrivere il tensore d'inerzia in modo tale da renderla applicabile? Immagino che questo mio dubbio derivi dal fatto che non ho capito bene il concetto.
Scusate l'enorme confusione, grazie in anticipo.
Risposte
Fare un discorso serio sui tensori richiede molta dimestichezza con l'algebra lineare e non solo. Detto questo, procedendo in modo molto superficiale, poco rigoroso, ma non sbagliato possiamo dire che i tensori sono applicazioni multilineari (conoscerai le applicazioni lineari fatte ad algebra) definite su uno spazio che è prodotto di due spazi vettoriali (uno il duale dell'altro) a valori in un certo campo. In base alla dimensione di questi spazi il tensore avrà più o meno indici (anche di un certo tipo). A livello molto base, in cui non ci interessa il tipo di indici ed in cui il campo è quello dei numeri reali possiamo dire che il tensore ha una forma del tipo $T_(i,j,k,m,...)$ : il numero di indici mi definisce l'ordine del tensore che nel nostro ambiente semplificato significa che "dimensione" ha. Un tensore con zero indici è uno scalare $T$, con un solo indice è un vettore $T_i$ , con due indici è una matrice $T_(i,j)$, con tre indici è una matrice i cui elementi non sono numeri ma vettori etc.
Per quanto riguarda il tensore di inerzia ora puoi capire un po' che roba sia. E' un tensore a due indici, quindi una matrice. Ciò che si chiama momento di inerzia è uno degli elementi di questa matrice. Se dirigi gli assi lungo gli assi principali di inerzia ( che coincidono con quelli di simmetria se questa esiste) hai che gli unici elementi della matrice sono quelli diagonali, gli usuali momenti di inerzia rispetto a $x,y,z$
Per quanto riguarda il tensore di inerzia ora puoi capire un po' che roba sia. E' un tensore a due indici, quindi una matrice. Ciò che si chiama momento di inerzia è uno degli elementi di questa matrice. Se dirigi gli assi lungo gli assi principali di inerzia ( che coincidono con quelli di simmetria se questa esiste) hai che gli unici elementi della matrice sono quelli diagonali, gli usuali momenti di inerzia rispetto a $x,y,z$
Intanto grazie per la risposta, ho peró ancora che dubbi che forse chiarirei meglio con qualche esercizio.
In particolare ho trovato difficoltà con i seguenti(ho allegato le immagini di esercizio e risultato):
Non riesco assolutamente a capire come abbia calcolato la matrice d'inerzia della lamina rispetto ad una terna solidale con asse e1 posto lungo la diagonale posto nel baricentro H. Se conoscessi gli angoli di rotazione della terna rispetto alla terna posta in H con assi paralleli hai lati(per me nota), sfrutterei la matrice di rotazione per calcolarmi la matrice d'inerzia rispetto alla terna ruotata, eppure non conosco gli angoli. Allora come posso procedere?
Inoltre se la diagonale é asse di simmetria perché la matrice ottenuta non é principale?
In particolare ho trovato difficoltà con i seguenti(ho allegato le immagini di esercizio e risultato):
Non riesco assolutamente a capire come abbia calcolato la matrice d'inerzia della lamina rispetto ad una terna solidale con asse e1 posto lungo la diagonale posto nel baricentro H. Se conoscessi gli angoli di rotazione della terna rispetto alla terna posta in H con assi paralleli hai lati(per me nota), sfrutterei la matrice di rotazione per calcolarmi la matrice d'inerzia rispetto alla terna ruotata, eppure non conosco gli angoli. Allora come posso procedere?
Inoltre se la diagonale é asse di simmetria perché la matrice ottenuta non é principale?
@Daniela
è inutile risponderti in maniera complicata, meglio una risposta semplice, visto che hai le idee confuse. Ti consiglio di lasciar perdere i tensori, nessuno di noi ha imparato i momenti di inerzia e la matrice di inerzia con i tensori, credo.
Data una distribuzione di masse, che può essere discreta o continua , ad esempio un corpo rigido, e preso un punto qualunque O , anche fuori del corpo, metti in O una terna cartesiana ortogonale. La matrice di inerzia è una matrice 3x3 simmetrica; gli elementi della diagonale principale sono i momenti di inerzia del sistema rispetto ai tre assi; gli elementi fuori diagonale sono gli opposti dei momenti centrifughi rispetto ai tre piani coordinati. Ci sono ovviamente solo sei valori indipendenti, vista la simmetria della matrice. Se i tre assi sono principali di inerzia, i momenti centrifughi sono nulli (condizione necessaria e sufficiente) e i momenti principali di inerzia, sulla diagonale principale, possono essere anche tutti e tre diversi.
Che ci facciamo con la matrice di inerzia? Per esempio, il momento angolare rispetto ad O è dato da :
$vecL = vecomega$
Basta così. Usa la funzione “cerca “ , tasto in alto a destra, e troverai varie discussioni al riguardo, e anche esercizi. Scusa, ma per me quello che hai pubblicato è illeggibile, non mi metto a interpretarlo. Sappi che esistono le formule per calcolare i momenti di inerzia e centrifughi rispetto ad assi ruotati.
è inutile risponderti in maniera complicata, meglio una risposta semplice, visto che hai le idee confuse. Ti consiglio di lasciar perdere i tensori, nessuno di noi ha imparato i momenti di inerzia e la matrice di inerzia con i tensori, credo.
Data una distribuzione di masse, che può essere discreta o continua , ad esempio un corpo rigido, e preso un punto qualunque O , anche fuori del corpo, metti in O una terna cartesiana ortogonale. La matrice di inerzia è una matrice 3x3 simmetrica; gli elementi della diagonale principale sono i momenti di inerzia del sistema rispetto ai tre assi; gli elementi fuori diagonale sono gli opposti dei momenti centrifughi rispetto ai tre piani coordinati. Ci sono ovviamente solo sei valori indipendenti, vista la simmetria della matrice. Se i tre assi sono principali di inerzia, i momenti centrifughi sono nulli (condizione necessaria e sufficiente) e i momenti principali di inerzia, sulla diagonale principale, possono essere anche tutti e tre diversi.
Che ci facciamo con la matrice di inerzia? Per esempio, il momento angolare rispetto ad O è dato da :
$vecL = vecomega$
Basta così. Usa la funzione “cerca “ , tasto in alto a destra, e troverai varie discussioni al riguardo, e anche esercizi. Scusa, ma per me quello che hai pubblicato è illeggibile, non mi metto a interpretarlo. Sappi che esistono le formule per calcolare i momenti di inerzia e centrifughi rispetto ad assi ruotati.
Io volevo semplicemente capire: ho un rettangolo e conosco la matrice di inerzia relativa al suo baricentro calcolata sugli assi paralleli ai lati. Ora considero un altra terna nel baricentro e la ruoto finché uno degli assi non coincide con la diagonale. Come posso calcolare la matrice di inerzia rispetto a questa nuova terna ruotata senza conoscere gli angoli di rotazione? É possibile?
Se conosci i lati , conosci pure gli angoli. La diagonale del rettangolo non è un asse di simmetria , però.
Scrivi una matrice di rotazione antioraria, anche $2X2$ nel sottospazio del piano $xy$. Ti serve il $cos\theta$ e $sin\theta$. Analizzando il rettangolo scoprirai che $R cos\theta =l/2$ e $(R sin\theta)^2 = R^2-(l/2)^2$. Ho provato a calcolare ad occhio il primo elemento e mi sembra venga, comunque fai tutti i conti e facci sapere. Resta il fatto che dopo aver allineato un asse con la diagonale, l'altro asse non prende l'altra diagonale quindi perdi la simmetria totale che avresti solo con un quadrato.
Grazie veramente, finalmente ho capito questo esercizio, ci sbattevo la testa da un po', era tutta una questione di geometria ma pensavo proprio di sbagliare tutt'altro. Grazie ancora.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo