[Meccanica razionale] Trasformazione non canonica
E' data la trasformazione:
$\{(P=sqrt(p)-sqrt(q)),(Q=q):}$
1) dimostrare che non è canonica
2) sia data $H=1/2*p^2$. Dimostrare che la trasformazione data conserva la struttura canonica delle equazioni di Hamilton.
3) sia data $H=1/2*p^2+1/2*q^2$. Dimostrare che la trasformazione data non conserva la struttura canonica delle equazioni di Hamilton.
Per il primo punto, osservato che ${P,P}={Q,Q}=0$ per l'antisimmetria delle parentesi di Poisson, ho calcolato ${Q,P}\neq 1$, quindi la trasformazione non è canonica.
Per il secondo punto, ho esplicitato e ho trovato $H=1/2*(P+sqrt(Q))^4$. Come vado avanti, adesso?
EDIT: mi scuso per il dollaro in più che scombinava la formattazione
$\{(P=sqrt(p)-sqrt(q)),(Q=q):}$
1) dimostrare che non è canonica
2) sia data $H=1/2*p^2$. Dimostrare che la trasformazione data conserva la struttura canonica delle equazioni di Hamilton.
3) sia data $H=1/2*p^2+1/2*q^2$. Dimostrare che la trasformazione data non conserva la struttura canonica delle equazioni di Hamilton.
Per il primo punto, osservato che ${P,P}={Q,Q}=0$ per l'antisimmetria delle parentesi di Poisson, ho calcolato ${Q,P}\neq 1$, quindi la trasformazione non è canonica.
Per il secondo punto, ho esplicitato e ho trovato $H=1/2*(P+sqrt(Q))^4$. Come vado avanti, adesso?
EDIT: mi scuso per il dollaro in più che scombinava la formattazione
Risposte
Dai un'occhiata alle condizioni di canonicità mostrate qui. Tieni però conto che nel punto 2) non devono essere tutte soddisfatte, poichè hai ${\delH}/{\delq}=0$.
Scusa, ma non riesco a cogliere il collegamento tra quello che mi hai linkato e il mio problema: viene spiegato come verificare se una trasformazione è canonica, ma io so già che non lo è. 
"matths87":
Scusa, ma non riesco a cogliere il collegamento tra quello che mi hai linkato e il mio problema: viene spiegato come verificare se una trasformazione è canonica, ma io so già che non lo è.
Infatti come ti dicevo non devono essere soddisfatte tutte le condizioni, nel qual caso la trasformazione sarebbe canonica, ma solo quelle che relative alla tua particolare hamiltoniana. Comunque senza utilizzare quei risultati ti scrivo esplicitamente i passaggi per la verifica diretta, che tuttavia in questo caso non torna.
Dire che una trasformazione conserva la struttura canonica vuol dire che valgono $\dotP = -(\delH)/(\delQ)$ e $\dotQ = (\delH)/(\delP)$.
Consideriamo $H = p^2/2$, allora $\dotp = -(\delH)/(\delq) = 0$ e $\dotq = (\delH)/(\delp) = p$. Verifichiamo se vale $\dotP = -(\delH)/(\delQ)$.
Abbiamo $\dotP = (\delP)/(\delp)\dotp + (\delP)/(\delq)\dotq = (\delP)/(\delq)\dotq = -p/(2 \sqrt q)$. Calcoliamo poi $(\delH)/(\delQ) = (\delH)/(\delp)(\delp)/(\delQ) + (\delH)/(\delq)(\delq)/(\delQ) = (\delH)/(\delp)(\delp)/(\delQ) = p(1 + P/(\sqrt Q)) = p(1 + (\sqrt p - \sqrt q)/(\sqrt q)) = (p \sqrt p)/(\sqrt q)$.
Non mi sembra quindi che torni il risultato del secondo punto, ho qualche dubbio sul testo dell'esercizio.
scusate completo OT, ma è normale che solo in sto post (l'ultimo di eredir) non si legga il codice?
"fu^2":
scusate completo OT, ma è normale che solo in sto post (l'ultimo di eredir) non si legga il codice?
Su Firefox io non vedo nessuna formula da "Per il primo punto" del post iniziale, mentre su Chrome vedo tutto correttamente. In effetti c'è un dollaro di troppo dopo "parentesi di Poisson", probabilmente è quello che fa sballare tutta la formattazione.
Grazie per la risposta, Eredir. Adesso vado a discuterne col docente (non sarebbe la prima volta che sbaglia a scrivere un esercizio ).
).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo