Meccanica razionale - Teorema di Konig
Sto studiando meccanica razionale su un libro scritto dalla mia prof che dà una formulazione diversa da quella comune del Primo teorema di Konig: "Per un qualunque sistema materiale S vale K(G) = K'(G), essendo K(G) il momento angolare del moto assoluto di S e K'(G) quello del suo moto relativo."
Moto assoluto e moto relativo sono riferiti ovviamente a due diversi riferimenti cartesiani, quello relativo ha origine in G (G è il baricentro del sistema).
Non riesco a capire il senso di questo teorema, nè come si collega alla formulazione comune del Teorema di Konig. Tra l'altro secondo me è impossibile che K(G) sia uguale a K'(G) (probabilmente sbaglio, però aiutatemi a capire).
Tra l'altro la dimostrazione del teorema si conclude così K(G) = ... = K'(G) + Σ m_i GP_i x v(G) = K(G)
per me completamente privo di senso.
Grazie a quanti vorranno rispondere e scusate per le formule!
Moto assoluto e moto relativo sono riferiti ovviamente a due diversi riferimenti cartesiani, quello relativo ha origine in G (G è il baricentro del sistema).
Non riesco a capire il senso di questo teorema, nè come si collega alla formulazione comune del Teorema di Konig. Tra l'altro secondo me è impossibile che K(G) sia uguale a K'(G) (probabilmente sbaglio, però aiutatemi a capire).
Tra l'altro la dimostrazione del teorema si conclude così K(G) = ... = K'(G) + Σ m_i GP_i x v(G) = K(G)
per me completamente privo di senso.
Grazie a quanti vorranno rispondere e scusate per le formule!
Risposte
[xdom="JoJo_90"]Spostato nella sezione di Fisica.[/xdom]
Ciao Neo92, prima di tutto ti faccio una piccola introduzione.
Definiamo sistema di riferimento del centro di massa, un sistema di riferimento (che in genere è di tipo non inerziale) con origine coincidente con il centro di massa del sistema di punti materiali e con gli assi fissi rispetto a un sistema di riferimento inerziale (in particolar modo gli assi possono essere presi paralleli agli assi di questultimo).
Le cose interessanti di questo sistema di riferimento sono sostanzialmente due:
\(i)\)la quantità di moto totale del sistema di punti materiali misurata in questo sistema di riferimento è nulla \[\vec{P'}=\vec{0}\]
\(ii)\) se utilizzo il centro di massa cioè l'origine di questo sistema di riferimento come polo, in questo stesso sistema di riferimento rimane valido il teorema del momento angolare\[\vec{M'}=\frac{d\vec{L'}}{dt}\]
Ora, i teoremi di Konig stabiliscono semplicemente le relazioni che esistono tra i momenti angolari e le energie cinetiche totali di un sistema di punti materiali calcolate in questi due sistemi di riferimento (un sistema di riferimento inerziale e il sistema di riferimento del centro di massa).
Ad esempio per il momento angolare, si ha che questo può essere scritto nel sistema di riferimento inerziale come somma del momento angolare dovuto al moto del centro di massa (che chiamiamo moto medio) e di quello dovuto al moto del sistema rispetto al centro di massa (che chiamiamo moto interno)\[\vec{L}=\vec{L}_{CM}+\vec{L}'\]
Ora se la quantità di moto totale del sistema misurata nel sistema di riferimento inerziale \(\vec{P}\) è nulla, al contrario di quello che accade nella dinamica del punto materiale, non significa che lo sia anche \(\vec{L}\), il sistema può essere mediamente fermo ma non internamente.
Per l'energia cinetica è valido un teorema simile.
Definiamo sistema di riferimento del centro di massa, un sistema di riferimento (che in genere è di tipo non inerziale) con origine coincidente con il centro di massa del sistema di punti materiali e con gli assi fissi rispetto a un sistema di riferimento inerziale (in particolar modo gli assi possono essere presi paralleli agli assi di questultimo).
Le cose interessanti di questo sistema di riferimento sono sostanzialmente due:
\(i)\)la quantità di moto totale del sistema di punti materiali misurata in questo sistema di riferimento è nulla \[\vec{P'}=\vec{0}\]
\(ii)\) se utilizzo il centro di massa cioè l'origine di questo sistema di riferimento come polo, in questo stesso sistema di riferimento rimane valido il teorema del momento angolare\[\vec{M'}=\frac{d\vec{L'}}{dt}\]
Ora, i teoremi di Konig stabiliscono semplicemente le relazioni che esistono tra i momenti angolari e le energie cinetiche totali di un sistema di punti materiali calcolate in questi due sistemi di riferimento (un sistema di riferimento inerziale e il sistema di riferimento del centro di massa).
Ad esempio per il momento angolare, si ha che questo può essere scritto nel sistema di riferimento inerziale come somma del momento angolare dovuto al moto del centro di massa (che chiamiamo moto medio) e di quello dovuto al moto del sistema rispetto al centro di massa (che chiamiamo moto interno)\[\vec{L}=\vec{L}_{CM}+\vec{L}'\]
Ora se la quantità di moto totale del sistema misurata nel sistema di riferimento inerziale \(\vec{P}\) è nulla, al contrario di quello che accade nella dinamica del punto materiale, non significa che lo sia anche \(\vec{L}\), il sistema può essere mediamente fermo ma non internamente.
Per l'energia cinetica è valido un teorema simile.
Innanzitutto ti ringrazio. Comunque credo di aver capito (più o meno) il teorema nella sua formulazione comune (quella che hai messo anche tu). Il mio problema era nel capire piuttosto la formulazione della mia professoressa, che ho scritto nel post iniziale. Nella formulazione della prof in pratica si afferma che K(G) = K'(G), con K indica il momento angolare che solitamente si indica con L e con G il baricentro (ossia CM). Per renderlo più chiaro sarebbe L (CM) = L' (CM).
Inoltre la dimostrazione che fornisce il libro e di cui ho riportato il passaggio non chiaro la trovo priva di senso.
Inoltre la dimostrazione che fornisce il libro e di cui ho riportato il passaggio non chiaro la trovo priva di senso.
"Neo92":
Per un qualunque sistema materiale S vale K(G) = K'(G), essendo K(G) il momento angolare del moto assoluto di S e K'(G) quello del suo moto relativo."
Prima di tutto non esiste un moto assoluto, quello che intendevi forse è che \(K(G)\) è il momento angolare totale del sistema misurato nel sistema di riferimento inerziale; e \(K′(G)\) è il momento angolare totale del sistema misurato nel sistema di riferimento del centro di massa.
Se così fosse come chiami il momento angolare del centro di massa? La notazione a mio avviso è ambigua in quanto compare il centro di massa in entrambe le grandezze, quindi prima chiariamo questo punto e poi andiamo avanti.
Il pezzo che hai evidenziato è riportato parola per parola da quello che sta scritto sul libro: lì parla di moto assoluto. Sinceramente non so quanto sia rigoroso essendo il libro di dispense scritto dalla mia professoressa. La premessa al teorema è: "dati due riferimenti, il primo cartesiano ortogonale, il secondo con origine nel baricentro G di S e in moto traslatorio rispetto al primo: S si muoverà rispetto al primo di moto assoluto e rispetto al secondo di moto relativo."
Per quello che ho capito io, K(G) è il momento angolare rispetto al baricentro nel primo sistema, mentre K'(G) è il momento angolare rispetto al baricentro nel secondo sistema. Effettivamente sono molto perplesso anche io.
Per quello che ho capito io, K(G) è il momento angolare rispetto al baricentro nel primo sistema, mentre K'(G) è il momento angolare rispetto al baricentro nel secondo sistema. Effettivamente sono molto perplesso anche io.
Allora quello che ti ho detto sul moto assoluto era solo una precisazione (importante e che devi sempre ricordare), ovviamente il libro intendeva che "chiamiamo moto assoluto" quello studiato nel sistema di riferimento inerziale.
Quindi secondo quello che mi dici tu, la parentesi corrisponde al polo utilizzato per il calcolo dei momenti, mentre l'apice corrisponde al sistema di riferimento rispetto al quale calcoliamo gli stessi momenti.
Uso \(K(G)=L\), \(K'(G)=L'\) ed elimino i simboli di vettore per fare più in fretta.
\[L=\sum_{i}r'_{i}\times m_{i}v_{i}\]ora i raggi vettori sono con l'apice perchè sono quelli che partono dal polo (cioè il CM) e individuano i punti materiali, mentre le velocità sono senza apice perchè misurate nel sistema di riferimento inerziale.
Dal teorema delle velocità relative (considerato che il moto di trascinamento è puramente traslatorio) \(v_{i}=v'_{i}+v_{cm}\)
si ottiene che \[L=\sum_{i}r'_{i}\times m_{i}(v'_{i}+v_{cm})=\sum_{i}r'_{i}\times m_{i}v'_{i}+(\sum_{i}m_{i}r'_{i})\times v_{cm}=L'\]
Cioè se calcolo il momento angolare totale nel sistema di riferimento inerziale rispetto al polo (CM), questo è uguale al momento angolare calcolato nel sistema di riferimento del centro di massa rispetto all'origine dello stesso sistema (cioè sempre CM).
Il secondo termine della seconda uguaglianza è nullo perchè è nulla la sommatoria in parentesi, infatti questa rappresenta la massa totale del sistema per la posizione del centro di massa rispetto al sistema di riferimento del centro di massa, ma questa posizione è nulla in quanto il CM sta sempre nell'origine di questo sistema di riferimento.
Quindi secondo quello che mi dici tu, la parentesi corrisponde al polo utilizzato per il calcolo dei momenti, mentre l'apice corrisponde al sistema di riferimento rispetto al quale calcoliamo gli stessi momenti.
Uso \(K(G)=L\), \(K'(G)=L'\) ed elimino i simboli di vettore per fare più in fretta.
\[L=\sum_{i}r'_{i}\times m_{i}v_{i}\]ora i raggi vettori sono con l'apice perchè sono quelli che partono dal polo (cioè il CM) e individuano i punti materiali, mentre le velocità sono senza apice perchè misurate nel sistema di riferimento inerziale.
Dal teorema delle velocità relative (considerato che il moto di trascinamento è puramente traslatorio) \(v_{i}=v'_{i}+v_{cm}\)
si ottiene che \[L=\sum_{i}r'_{i}\times m_{i}(v'_{i}+v_{cm})=\sum_{i}r'_{i}\times m_{i}v'_{i}+(\sum_{i}m_{i}r'_{i})\times v_{cm}=L'\]
Cioè se calcolo il momento angolare totale nel sistema di riferimento inerziale rispetto al polo (CM), questo è uguale al momento angolare calcolato nel sistema di riferimento del centro di massa rispetto all'origine dello stesso sistema (cioè sempre CM).
Il secondo termine della seconda uguaglianza è nullo perchè è nulla la sommatoria in parentesi, infatti questa rappresenta la massa totale del sistema per la posizione del centro di massa rispetto al sistema di riferimento del centro di massa, ma questa posizione è nulla in quanto il CM sta sempre nell'origine di questo sistema di riferimento.
Perfetto! Ora mi è tutto più chiaro, grazie mille!
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