Meccanica Razionale: tensore di inerzia
Salve a tutti, premetto che è la prima volta che mi trovo ad affrontare questo argomento e non mi è ancora del tutto chiaro quindi c'è la possibilità che quello che vi chiederò possa sembrarvi banale.
Ho un dubbio riguardo alla trasposizione del tensore di inerzia (non so se trasposizione è il termine giusto), cioè se è noto il tensore di inerzia in una terna baricentrale come faccio a trovarmi il tensore per una terna generica?
io pensavo di effettuare un semplice cambio di base, cioè trovare la matrice del cambio di base dalla terna baricentrale verso la generica terna e moltiplicarla per la matrice nota del tensore nella terna baricentrale. E qui mi sorge un ulteriore dubbio. a lezione appunto mi era sembrato di capire che nota la matrice di un tensore bastasse moltiplicarla per la matrice tensore e ottenere cosi la matrice nel nuovo sistema di riferimento e negli appunti ho scritto $A'=L^T*A*L$ dove L è la matrice del cambio di variabile (che a quanto pare deve essere ortonormale). la matrice L che mi trovo io però non viene ortonormale. E' sbagliato tutto il procedimento e quindi non è adeguato affrontare in quel modo l'esercizio oppure faccio errori nello svolgimento? grazie in anticipo!
Ho un dubbio riguardo alla trasposizione del tensore di inerzia (non so se trasposizione è il termine giusto), cioè se è noto il tensore di inerzia in una terna baricentrale come faccio a trovarmi il tensore per una terna generica?
io pensavo di effettuare un semplice cambio di base, cioè trovare la matrice del cambio di base dalla terna baricentrale verso la generica terna e moltiplicarla per la matrice nota del tensore nella terna baricentrale. E qui mi sorge un ulteriore dubbio. a lezione appunto mi era sembrato di capire che nota la matrice di un tensore bastasse moltiplicarla per la matrice tensore e ottenere cosi la matrice nel nuovo sistema di riferimento e negli appunti ho scritto $A'=L^T*A*L$ dove L è la matrice del cambio di variabile (che a quanto pare deve essere ortonormale). la matrice L che mi trovo io però non viene ortonormale. E' sbagliato tutto il procedimento e quindi non è adeguato affrontare in quel modo l'esercizio oppure faccio errori nello svolgimento? grazie in anticipo!
Risposte
Pagina 6, "Teorema di trasposizione".
Google è tuo amico, sempre!
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Mmmmm... Non penso che sia proprio quello che cercavo però.. A cosa è riferita quella velocità angolare? Io non ho nessuna velocita angolare. Sono noti solo il tensore nella terna baricentrale e la distanza fra le origini delle due terne.. Se usassi il teorema di Huyghens?
Normalmente le terne baricentrali aiutano nei conti. In alternativa, se proprio vuoi servirti di un'altra terna, puoi ricorrere alla definizione, cioè:
Ripeto che comunque il variare dell'operatore di inerzia rispetto ad una terna, quindi rispetto ad un polo, è determinato da quella legge. Per altro mi sorprende che tu non abbia a che fare con $\bb\omega$, dato che fondamentalmente tale operatore è proprio applicato alla velocità angolare.
$I_(ij)=\int\mu(\bbx)(||\bbx||^2-x_ix_j)dv$.
Ripeto che comunque il variare dell'operatore di inerzia rispetto ad una terna, quindi rispetto ad un polo, è determinato da quella legge. Per altro mi sorprende che tu non abbia a che fare con $\bb\omega$, dato che fondamentalmente tale operatore è proprio applicato alla velocità angolare.
Ti ringrazio molto dell'aiuto, riguardero un po la teoria perche mi rendo conto di non essere molto ferrato su questo argomento e poi vedro di cavarne fuori qualcosa.
P.S.: il testo dell'esercizio che cercavo di risolvere è il seguente:
Dato un sistema S di punti $P_i$di masse $m_i$, sia $T_G$ una terna baricentrale principale di inerzia. Sia $P_i=(x,y,z)$ un generico punto in questa terna e siano A, B e C i momenti principali di inerzia. Consideriamo una terna $T_O$ di origine O=(x,y,z) (x, y, z cordinate di O nella terna $T_G$) e gli assi paralleli ed equiversi a quelli di $T_G$. Determinare il tensore di inerzia nella terna $T_O$.
P.S.: il testo dell'esercizio che cercavo di risolvere è il seguente:
Dato un sistema S di punti $P_i$di masse $m_i$, sia $T_G$ una terna baricentrale principale di inerzia. Sia $P_i=(x,y,z)$ un generico punto in questa terna e siano A, B e C i momenti principali di inerzia. Consideriamo una terna $T_O$ di origine O=(x,y,z) (x, y, z cordinate di O nella terna $T_G$) e gli assi paralleli ed equiversi a quelli di $T_G$. Determinare il tensore di inerzia nella terna $T_O$.
Si, puoi tranquillamente usare il Teorema di Huyghens-Steiner 
perfetto, grazie mille di tutto 
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