Meccanica Razionale: sto impazzendo
Ciao! Sto studiando per l'esame di Fisica Matematica II che avrò a breve (giovedì prossimo). Ho degli appunti e il professore ha messo a nostra disposizione delle dispense nel sito http://www.dm.unibo.it/fismat/didattica.html (primo e secondo pdf, sotto il titolo Appunti dalla lezioni di Fisica matematica II del prof.Sandro Graffi ).
Tuttavia alcuni dubbi mi tormentano e spero potrete aiutarmi!!
Come riferimento nelle domande che porrò uso la 2° delle dispense di cui ho parlato prima [ link diretto: http://www.dm.unibo.it/fismat/pub/MainBDinL.pdf .
1. A pag. 40 parla di 3 gradienti del potenziale V, ovvero il gradiente di V rispetto a $P_1$, rispetto a $P_2$ e rispetto a $P$. Qual è la relazione esatta tra questi 3 gradienti?
2. A pag. 45 ad un certo punto dice "Pertanto possiamo applicare tutte le formule precedenti facendo m=1". Perchè m=1? Non è restrittivo?? [m è definita così: $m= (m_1 m_2 )/(m_1 + m_2)$
3. A pag. 46 nell'ultimo passaggio dell'integralone, quando ottiene la primitiva alla fine secondo me dimentica un "-" che ci eravamo trascinanti dietro fin dalla prima sostituzione $p = 1/x$. Mi sbaglio? Dopo non è che questo va influire su tutto il resto?
Infine vi chiederei di aiutarmi con un esercizio. Abbiamo studiato i parametri lagrangiani: se sono in $R^2$ e come vincolo ho che il mio punto pesante P (diciamo con massa m) si debba muovere sulla parabola $y= -x^2$ cosa uso come parametro lagrangiano? Qualcuno potrebbe mostrarmi con che sistema di equazioni descriverebbe questo moto, usando il parametro scelto?
Grazie a chi mi risponderà, avrà il merito di avermi restituito il sonno !!
Paola
Tuttavia alcuni dubbi mi tormentano e spero potrete aiutarmi!!
Come riferimento nelle domande che porrò uso la 2° delle dispense di cui ho parlato prima [ link diretto: http://www.dm.unibo.it/fismat/pub/MainBDinL.pdf .
1. A pag. 40 parla di 3 gradienti del potenziale V, ovvero il gradiente di V rispetto a $P_1$, rispetto a $P_2$ e rispetto a $P$. Qual è la relazione esatta tra questi 3 gradienti?
2. A pag. 45 ad un certo punto dice "Pertanto possiamo applicare tutte le formule precedenti facendo m=1". Perchè m=1? Non è restrittivo?? [m è definita così: $m= (m_1 m_2 )/(m_1 + m_2)$
3. A pag. 46 nell'ultimo passaggio dell'integralone, quando ottiene la primitiva alla fine secondo me dimentica un "-" che ci eravamo trascinanti dietro fin dalla prima sostituzione $p = 1/x$. Mi sbaglio? Dopo non è che questo va influire su tutto il resto?
Infine vi chiederei di aiutarmi con un esercizio. Abbiamo studiato i parametri lagrangiani: se sono in $R^2$ e come vincolo ho che il mio punto pesante P (diciamo con massa m) si debba muovere sulla parabola $y= -x^2$ cosa uso come parametro lagrangiano? Qualcuno potrebbe mostrarmi con che sistema di equazioni descriverebbe questo moto, usando il parametro scelto?
Grazie a chi mi risponderà, avrà il merito di avermi restituito il sonno
!!Paola
Risposte
Per quanto riguarda il segno "-" , quest'ultimo effettivamente
manca davanti all'integrale che il testo trasforma
in $acos(b//C)-acos(a//C)$ ma il risultato e' giusto,
dato che $int 1/(sqrt(C^2-u^2))du=-acos(u//C)$.
Per l'ultimo punto si puo' fare come segue.
Il punto (pesante) ha coordinate (x,y) legate dalla relazione
$y=-x^2$ e dunque il sistema ha un solo grado di liberta'
e servono quindi una sola coordinata generalizzata (parametro)
ed una sola equazione.
Benche' la scelta sia in qualche modo arbitraria,nel nostro caso conviene
scegliere come parametro l'ascissa x del punto materiale.
La Lagrangiana L del sistema sara' allora:
L=energia cinetica+energia potenziale=$1/2m(dotx^2+doty^2)+mgy$
Ma $y=-x^2,doty=-2xdotx $ e quindi:
$L=1/2m(dotx^2+4x^2dotx^2)-mgx^2$ da cui:
$(delL)/(delx)=4mxdotx^2-2mgx, (delL)/(deldotx)=mdotx+4mx^2dotx,d/(dt)((delL)/(deldotx))=mddotx+8mxdotx^2+4mx^2ddotx$
Ora L'equazione canonica del sistema e':
$d/(dt)((delL)/(deldotx))-(delL)/(delx)=0$
e sostituendo le formule trovate si ha:
$(1+4x^2)ddotx+4xdotx^2=-2gx$
che e' l'equazione richiesta.
Tieni presente che il formalismo lagrangiano di cui sopra e' applicabile solo nei casi
(come il nostro ) in cui le forze agenti derivino da un potenziale.In caso contrario
occorre introdurre le cosiddette forze generalizzate.
Per gli altri punti, a seguire.
karl
manca davanti all'integrale che il testo trasforma
in $acos(b//C)-acos(a//C)$ ma il risultato e' giusto,
dato che $int 1/(sqrt(C^2-u^2))du=-acos(u//C)$.
Per l'ultimo punto si puo' fare come segue.
Il punto (pesante) ha coordinate (x,y) legate dalla relazione
$y=-x^2$ e dunque il sistema ha un solo grado di liberta'
e servono quindi una sola coordinata generalizzata (parametro)
ed una sola equazione.
Benche' la scelta sia in qualche modo arbitraria,nel nostro caso conviene
scegliere come parametro l'ascissa x del punto materiale.
La Lagrangiana L del sistema sara' allora:
L=energia cinetica+energia potenziale=$1/2m(dotx^2+doty^2)+mgy$
Ma $y=-x^2,doty=-2xdotx $ e quindi:
$L=1/2m(dotx^2+4x^2dotx^2)-mgx^2$ da cui:
$(delL)/(delx)=4mxdotx^2-2mgx, (delL)/(deldotx)=mdotx+4mx^2dotx,d/(dt)((delL)/(deldotx))=mddotx+8mxdotx^2+4mx^2ddotx$
Ora L'equazione canonica del sistema e':
$d/(dt)((delL)/(deldotx))-(delL)/(delx)=0$
e sostituendo le formule trovate si ha:
$(1+4x^2)ddotx+4xdotx^2=-2gx$
che e' l'equazione richiesta.
Tieni presente che il formalismo lagrangiano di cui sopra e' applicabile solo nei casi
(come il nostro ) in cui le forze agenti derivino da un potenziale.In caso contrario
occorre introdurre le cosiddette forze generalizzate.
Per gli altri punti, a seguire.
karl
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