Meccanica Razionale: Stati cinetici di un corpo rigido
Salve a tutti,
Sono uno studente di ingegneria meccanica alle prese con l'esame di meccaniza razionale, ed ho un dubbio che non riesco a sciogliere:
Si parla di stati cinetici di un corpo rigido.
Dalla formula fondamentale della cinematica rigida, abbiamo che il moto di un generico punto P appartenente ad un corpo rigido è dato dalla formula:
Dp/dt = DO1/dt + $\vec \omega$ X (P-O1), con $\vec \omega$ vettore velocità angolare del corpo rigido e O1 generico punto dello spazio SOLIDALE con il corpo rigido (quindi possiamo intenderlo come un generico punto del corpo rigido stesso).
Riassumendo, per conoscere lo stato cinetico di un corpo rigido abbiamo bisogno di 2 informazioni: $\vec \omega$ e la velocità di un qualsiasi punto del corpo rigido (D01/dt).
Lo Stato cinetico di un corpo rigido C è il campo vettoriale delle velocità dei suoi punti in un dato istante t0.
In base ai valori di DO1/dt e $\vec \omega$ possiamo determinare lo stato cinetico del corpo rigido:
Se DO1/dt =0, $\vec \omega$ = 0 lo stato cinetico è NULLO.
Se DO1/dt $!=$ 0, $\vec \omega$ = 0 lo stato cinetico è ROTATORIO.
Se DO1/dt $!=$ 0, $\vec \omega$ $!=$ 0 abbiamo vari casi:
1) Se DO1/dt è perpendicolare ad $\vec \omega$ possiamo ricondurci ad uno stato cinetico ROTATORIO
2) Se DO1/dt è parallelo ad $\vec \omega$, possiamo ricondurci ad uno stato cinetico ELICOIDALE.
3) Se DO1/dt è nè parallelo nè perpendicolare ad $\vec \omega$, possiamo ricondurci ad uno stato cinetico ELICOIDALE.
Però c'è una cosa che non mi torna.
Consideriamo una trottola (in 3 dimensioni) vincolata sul piano Oxy (tavolo) (per intenderci, non può alzarsi nè abbassarsi di quota) che gira su sè stessa ed ha velocità angolare = $\vec \omega$ (che sarà perpendicolare al piano), e allo stesso tempo trasla anche sul piano.
Immaginiamo di fare una foto in un dato istante alla trottola e di visualizzarne il campo vettoriale delle velocità. La velocità di ogni punto è data dalla somma di due contributi: uno dato dalla velocità angolare, l'altro dalla velocità di traslazione.
I punti che stanno sull'asse di rotazione hanno velocità pari alla sola velocità di traslazione, che è perpendicolare ad $\vec \omega$.
Per studiare lo stato cinetico del corpo rigido (trottola) assumo quindi di conoscere la velocità di un punto sull'asse di rotazione (D01/dt), ed $\vec \omega$ vettore velocità angolare.
Ma siccome avrei D01/dt perpendicolare ad $\vec \omega$, la teoria mi dice che devo ricondurmi ad uno stato cinetico rotatorio, poichè esiste un punto O2 tale per cui DO1/dt = $\vec \omega$ X (O1-O2). Quindi lo stato cinetico sarebbe $\vec v$(p) = $\vec \omega$ X (P-O2)
Cioè questo vorrebbe dire che il campo vettoriale delle velocità generato in un dato istante da una trottola che ruota e trasla su un piano è uguale a quello che sarebbe generato dalla trottola stessa che ruota e basta attorno ad un altro asse (O2,$\vec \omega$) ?? Così a "naso" non mi sembra possibile.
Ci dev'essere qualcosa che non ho ben compreso, ma non capisco cosa.
Anche perchè, considerando un solido che rototrasla in uno spazio tridimensionale, vorrebbe dire che il campo vettoriale generato dalle velocità dei suoi punti è al più equivalente a quello generato dalle velocità dei punti dello stesso corpo che si muove di moto elicoidale ?!? Non mi sembra possibile.
Spero di essere riuscito a farmi capire, se qualcuno riuscisse ad aiutarmi gliene sarei enormemente grato...
Sono uno studente di ingegneria meccanica alle prese con l'esame di meccaniza razionale, ed ho un dubbio che non riesco a sciogliere:
Si parla di stati cinetici di un corpo rigido.
Dalla formula fondamentale della cinematica rigida, abbiamo che il moto di un generico punto P appartenente ad un corpo rigido è dato dalla formula:
Dp/dt = DO1/dt + $\vec \omega$ X (P-O1), con $\vec \omega$ vettore velocità angolare del corpo rigido e O1 generico punto dello spazio SOLIDALE con il corpo rigido (quindi possiamo intenderlo come un generico punto del corpo rigido stesso).
Riassumendo, per conoscere lo stato cinetico di un corpo rigido abbiamo bisogno di 2 informazioni: $\vec \omega$ e la velocità di un qualsiasi punto del corpo rigido (D01/dt).
Lo Stato cinetico di un corpo rigido C è il campo vettoriale delle velocità dei suoi punti in un dato istante t0.
In base ai valori di DO1/dt e $\vec \omega$ possiamo determinare lo stato cinetico del corpo rigido:
Se DO1/dt =0, $\vec \omega$ = 0 lo stato cinetico è NULLO.
Se DO1/dt $!=$ 0, $\vec \omega$ = 0 lo stato cinetico è ROTATORIO.
Se DO1/dt $!=$ 0, $\vec \omega$ $!=$ 0 abbiamo vari casi:
1) Se DO1/dt è perpendicolare ad $\vec \omega$ possiamo ricondurci ad uno stato cinetico ROTATORIO
2) Se DO1/dt è parallelo ad $\vec \omega$, possiamo ricondurci ad uno stato cinetico ELICOIDALE.
3) Se DO1/dt è nè parallelo nè perpendicolare ad $\vec \omega$, possiamo ricondurci ad uno stato cinetico ELICOIDALE.
Però c'è una cosa che non mi torna.
Consideriamo una trottola (in 3 dimensioni) vincolata sul piano Oxy (tavolo) (per intenderci, non può alzarsi nè abbassarsi di quota) che gira su sè stessa ed ha velocità angolare = $\vec \omega$ (che sarà perpendicolare al piano), e allo stesso tempo trasla anche sul piano.
Immaginiamo di fare una foto in un dato istante alla trottola e di visualizzarne il campo vettoriale delle velocità. La velocità di ogni punto è data dalla somma di due contributi: uno dato dalla velocità angolare, l'altro dalla velocità di traslazione.
I punti che stanno sull'asse di rotazione hanno velocità pari alla sola velocità di traslazione, che è perpendicolare ad $\vec \omega$.
Per studiare lo stato cinetico del corpo rigido (trottola) assumo quindi di conoscere la velocità di un punto sull'asse di rotazione (D01/dt), ed $\vec \omega$ vettore velocità angolare.
Ma siccome avrei D01/dt perpendicolare ad $\vec \omega$, la teoria mi dice che devo ricondurmi ad uno stato cinetico rotatorio, poichè esiste un punto O2 tale per cui DO1/dt = $\vec \omega$ X (O1-O2). Quindi lo stato cinetico sarebbe $\vec v$(p) = $\vec \omega$ X (P-O2)
Cioè questo vorrebbe dire che il campo vettoriale delle velocità generato in un dato istante da una trottola che ruota e trasla su un piano è uguale a quello che sarebbe generato dalla trottola stessa che ruota e basta attorno ad un altro asse (O2,$\vec \omega$) ?? Così a "naso" non mi sembra possibile.
Ci dev'essere qualcosa che non ho ben compreso, ma non capisco cosa.
Anche perchè, considerando un solido che rototrasla in uno spazio tridimensionale, vorrebbe dire che il campo vettoriale generato dalle velocità dei suoi punti è al più equivalente a quello generato dalle velocità dei punti dello stesso corpo che si muove di moto elicoidale ?!? Non mi sembra possibile.
Spero di essere riuscito a farmi capire, se qualcuno riuscisse ad aiutarmi gliene sarei enormemente grato...
Risposte
Dove hai trovato scritto che la velocità dei punti solidali al corpo rigido e appartenenti (istantaneamente) all'asse istantaneo di rotazione possono avere velocità perpendicolare alla velocità angolare?
Come ci si può immaginare una trottola, come un corpo rigido che ha una estremità appuntita?
Come ci si può immaginare una trottola, come un corpo rigido che ha una estremità appuntita?
Ciao nnsoxke,
Il piano nel quale immaginiamo che la trottola sia appoggiata è quello lungo il quale si svolge il movimento, sia rotatorio che traslatorio, quindi il vettore omega, che sappiamo essere perpendicolare al piano lungo il quale si svolge la rotazione (e in questo caso anche la traslazione), è perpendicolare alla velocità traslatoria.
Grazie mille per l'interessamento, sono cmq riuscito a risolvere il mio dubbio...
Il piano nel quale immaginiamo che la trottola sia appoggiata è quello lungo il quale si svolge il movimento, sia rotatorio che traslatorio, quindi il vettore omega, che sappiamo essere perpendicolare al piano lungo il quale si svolge la rotazione (e in questo caso anche la traslazione), è perpendicolare alla velocità traslatoria.
Grazie mille per l'interessamento, sono cmq riuscito a risolvere il mio dubbio...
Ti riferisci forse al caso particolare di piano orizzontale e rotazione attorno ad un asse fisso verticale, in cui il punto di contatto tra la trottola e il piano, come punto geometrico, rimane fermo.
Nel punto di contatto si suppone che sia presente un vincolo di cerniera sferica, se la forza di attrito lo permette.
In questo caso il punto di contatto come punto solidale alla trottola è fermo anche esso, non solo istantaneamente, così come tutti i punti solidali alla trottola e appartenenti all'asse di rotazione.
Se la trottola è inclinata si può dire che il punto di contatto con il piano, come punto solidale alla trottola, è istantaneamente fermo e che l'asse istantaneo di rotazione passa sicuramente per questo punto.
Si suppone che la punta della trottola non finisca proprio in un punto ma in una superficie approssimabile localmente (cioè in un intorno del punto appartenete all'asse di simmetria della trottola) con una superficie sferica di un certo raggio, quindi dalla rotazione della trottola e dal tipo di vincolo ne risulta che il punto di contatto, come punto geometrico, si sposta sul piano, con velocità dipendente dalla rotazione della trottola, dalla inclinazione del sua asse rispetto alla verticale e dal raggio di tale superficie sferica (per "piccole" inclinazioni della trottola).
Nel punto di contatto si suppone che sia presente un vincolo di cerniera sferica, se la forza di attrito lo permette.
In questo caso il punto di contatto come punto solidale alla trottola è fermo anche esso, non solo istantaneamente, così come tutti i punti solidali alla trottola e appartenenti all'asse di rotazione.
Se la trottola è inclinata si può dire che il punto di contatto con il piano, come punto solidale alla trottola, è istantaneamente fermo e che l'asse istantaneo di rotazione passa sicuramente per questo punto.
Si suppone che la punta della trottola non finisca proprio in un punto ma in una superficie approssimabile localmente (cioè in un intorno del punto appartenete all'asse di simmetria della trottola) con una superficie sferica di un certo raggio, quindi dalla rotazione della trottola e dal tipo di vincolo ne risulta che il punto di contatto, come punto geometrico, si sposta sul piano, con velocità dipendente dalla rotazione della trottola, dalla inclinazione del sua asse rispetto alla verticale e dal raggio di tale superficie sferica (per "piccole" inclinazioni della trottola).
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