[Meccanica Razionale] Rotazione completa di un'asta

[marco.ceccarelli]

Buonasera. Non capisco come risolvere (e come viene risolto) il quesito numero 2 del seguente esercizio, di cui ho allegato solo le parti essenziali, avendo saputo risolvere il resto.





Sul fatto che l'asta debba avere una velocità angolare iniziale maggiore, in modulo, di un dato valore sono d'accordo, però non capisco i passaggi algebrici.

Qualcuno può darmi una mano?

Grazie.

[professorkappa]

Su quale parte???

[marco.ceccarelli]

Grazie della risposta, PK.

Ho svolto quasi tutto l'esercizio correttamente, ma non capisco il quesito numero 2: "Dare una condizione sui dati iniziali perché l'asta, nel suo moto, compia una rotazione completa.". Ho allegato: la consegna dell'esercizio; le equazioni di Lagrange che ho ottenuto (giuste); la soluzione del quesito numero 2, appunto. Sul fatto che l'asta debba avere una velocità angolare iniziale maggiore, in modulo, di un dato valore sono d'accordo, però non capisco i passaggi algebrici.

[professorkappa]

Integra per parti: \( \int_{}^{} f'g = fg-\int_{}^{} fg' \)

\( \int_{}^{} \dot \varphi \ddot \varphi = \dot\varphi ^2- \int_{}^{} \dot \varphi \ddot \varphi \)

da cui psostando l'integrale dal secondo al primo membro:

\( 2\int_{}^{} \dot \varphi \ddot \varphi = \dot\varphi ^2 \)

Da cui: \( \int_{}^{} \dot \varphi \ddot \varphi = \frac{1}2\dot\varphi ^2+\dot\varphi^2(0) \)

Stessa cosa con il termine in coseno.

[professorkappa]

Oppure se preferisci:

\( \int_{}^{} \dot{\varphi}\ddot{\varphi}= \int_{}^{} \dot{\varphi}\cdot d\dot{\varphi}= \frac{1}2\dot\varphi^2 \)

[marco.ceccarelli]

$1/2Idotvarphi^2=1/2Idotvarphi^2(0)+1/2kL^2(cos(2varphi)-cos(2varphi(0))$

Rotazione completa ($dotvarphi>0$): $1/2Idotvarphi^2(0)+1/2kL^2(cos(2varphi)-cos(2varphi(0))>0$

$dotvarphi^2(0)> -(kL^2)/I(cos(2varphi)-cos(2varphi(0)))>=2(kL^2)/I$

In definitiva, $dotvarphi^2(0)>2(kL^2)/I$

Grazie 1000!