[meccanica razionale] legge oraria
Buongiorno a tutti,
ho qualche problema ne comprendere come, data l'equazione polare di una curva piana (ed esempio $\r(varphi)=e^(-varphi)$) si possa ricavare legge oraria e spazio percorso (per generico valore di $\varphi$). Mi conviene passare alle coordinate $\x,y$ o effettuare il ragionamento rimanendo "nel campo" delle $\r,varphi$?
Mi consigliate un metodo rapido per la risoluzione di questi esercizi? Voi come vi muovete?
Grazie mille...
ho qualche problema ne comprendere come, data l'equazione polare di una curva piana (ed esempio $\r(varphi)=e^(-varphi)$) si possa ricavare legge oraria e spazio percorso (per generico valore di $\varphi$). Mi conviene passare alle coordinate $\x,y$ o effettuare il ragionamento rimanendo "nel campo" delle $\r,varphi$?
Mi consigliate un metodo rapido per la risoluzione di questi esercizi? Voi come vi muovete?
Grazie mille...
Risposte
ovviamente dall'equazione polare non si può ottenere la legge oraria perchè la prima ti dà la traiettoria ma non ti dice come varia al passare del tempo
quello che si può fare è calcolare la distanza percorsa in funzione di $varphi$ con un integrale curvilineo,tenendo conto che una parametrizzazione della curva è
$x=e^(-varphi)cosvarphi$
$y=e^(-varphi)senvarphi$
con $[0,2pi]$
per quanto riguarda la traiettoria,è facile vedere che è una curva limitata spiraliforme
quello che si può fare è calcolare la distanza percorsa in funzione di $varphi$ con un integrale curvilineo,tenendo conto che una parametrizzazione della curva è
$x=e^(-varphi)cosvarphi$
$y=e^(-varphi)senvarphi$
con $[0,2pi]$
per quanto riguarda la traiettoria,è facile vedere che è una curva limitata spiraliforme
ok... quindi io avrei:
$dot x=-e^(-varphi)cos(varphi)-e^(-varphi)*dot varphi*sin(varphi)$
$dot y=-e^(-varphi)sin(varphi)+e^(-varphi)*dot varphi*cos(varphi)$
$dot s= sqrt(dot x^2+dot y^2)=sqrt(1/(e^(2*varphi))+1/(e^(2*varphi))*dot varphi^2))=1/(e^varphi)*sqrt(1+dot varphi^2)$
$dot x=-e^(-varphi)cos(varphi)-e^(-varphi)*dot varphi*sin(varphi)$
$dot y=-e^(-varphi)sin(varphi)+e^(-varphi)*dot varphi*cos(varphi)$
$dot s= sqrt(dot x^2+dot y^2)=sqrt(1/(e^(2*varphi))+1/(e^(2*varphi))*dot varphi^2))=1/(e^varphi)*sqrt(1+dot varphi^2)$
... ma poi come arrivo alla legge orario che è $s(t)=vt$? o alla legge $varphi(t)$?
so che è una cavolata di passaggio... ma è un po' che ci sbatto la testa contro e vorrei trovare una regola con tutte le giustificazioni del caso per motivare questi passaggi con coordinate polari...
so che è una cavolata di passaggio... ma è un po' che ci sbatto la testa contro e vorrei trovare una regola con tutte le giustificazioni del caso per motivare questi passaggi con coordinate polari...
come già detto,
ad esempio,un punto si può muovere su una circonferenza con moto uniforme,con moto uniformemente accelerato,può fermarsi e poi ripartire,ecc...
oltre all'equazione polare bisogna quantomeno conoscere la legge oraria di $varphi$,cioè $varphi(t)$
"stormy":
dall'equazione polare non si può ottenere la legge oraria perchè la prima ti dà la traiettoria ma non ti dice come varia al passare del tempo
ad esempio,un punto si può muovere su una circonferenza con moto uniforme,con moto uniformemente accelerato,può fermarsi e poi ripartire,ecc...
oltre all'equazione polare bisogna quantomeno conoscere la legge oraria di $varphi$,cioè $varphi(t)$
si, ok. ma non riesco a capire come avviene il passaggio da x,y così come le ho calcolate a s(t)...
conosci qualche sito in cui posso trovare degli esercizi di questo tipo svolti? così almeno riesco a vedere i vari passaggi e ricollegarli alla teoria che ho studiato (libro e dispense dei corso sono veramente lacunose su questi argomenti di coordinate polari).
conosci qualche sito in cui posso trovare degli esercizi di questo tipo svolti? così almeno riesco a vedere i vari passaggi e ricollegarli alla teoria che ho studiato (libro e dispense dei corso sono veramente lacunose su questi argomenti di coordinate polari).
dovrei esserci quasi:
Come dato del problema mi davano $v$ costante.
La legge oraria allora, espressa in funzione del tempo, è $s(t)=v*t$
Lo spazio percorso al valore generico di $varphi$ è...
$ds=sqrt((dot r)^2+(r*dot varphi)^2)=sqrt(((dr)/(dvarphi))^2+r^2)*d varphi$
integro tutto tra $0$ e $varphi$ è ottengo $s(varphi)=sqrt(2)*(1-e^(-varphi))$
però non riesco a capire come faccio a fare il passaggio successivo per ottenere $varphi(t)$... che so essere monotona crescente.
Come dato del problema mi davano $v$ costante.
La legge oraria allora, espressa in funzione del tempo, è $s(t)=v*t$
Lo spazio percorso al valore generico di $varphi$ è...
$ds=sqrt((dot r)^2+(r*dot varphi)^2)=sqrt(((dr)/(dvarphi))^2+r^2)*d varphi$
integro tutto tra $0$ e $varphi$ è ottengo $s(varphi)=sqrt(2)*(1-e^(-varphi))$
però non riesco a capire come faccio a fare il passaggio successivo per ottenere $varphi(t)$... che so essere monotona crescente.
Scusa, ma perche' non posti il problema? E' meglio che far lavorare la gente al buio! 
Magari uno un po' piu' smaliziato nota qualcosa che a te sfugge dal testo.
Magari uno un po' piu' smaliziato nota qualcosa che a te sfugge dal testo.
Eccolo qui:
Il punto P sia in moto con velocità costante $v$ lungo la curva piana di equazione polare $r(varphi)=e^(-varphi)$. All'istante $t=0$ sia $varphi=0$ e la $varphi(t)$ monotona crescente. Determinare legge oraria, spazio percorso a generico valore $varphi$, $varphi(t)$, componenti radiali, trasverse e cartesiane dei vettori velocità e accelerazione sia in funzione di $varphi$ che di $t$.
Il punto P sia in moto con velocità costante $v$ lungo la curva piana di equazione polare $r(varphi)=e^(-varphi)$. All'istante $t=0$ sia $varphi=0$ e la $varphi(t)$ monotona crescente. Determinare legge oraria, spazio percorso a generico valore $varphi$, $varphi(t)$, componenti radiali, trasverse e cartesiane dei vettori velocità e accelerazione sia in funzione di $varphi$ che di $t$.
io ragionerei dicendo che in un dato istante $t$, $s(t)$ e $s(varphi)$ devono coincidere:
$s(t) = v*t = sqrt(2)*(1-e^(-varphi))=s(varphi)$
il che mi porta ad avere
$varphi=-ln(1-sqrt(2)/2*v*t)$
ok?
$s(t) = v*t = sqrt(2)*(1-e^(-varphi))=s(varphi)$
il che mi porta ad avere
$varphi=-ln(1-sqrt(2)/2*v*t)$
ok?
Lascio rispondere a Stormy, non mi intrometto. Pero' conviene sempre postare il testo come hai fatto, rende la vita' piu' facile a chi ti risponde.
come detto giustamente da professorkappa,è sempre meglio scrivere esattamente il testo
come vedi,oltre all'equazione polare sappiamo che il modulo della velocità è costante
essendo
$(dr)/(dt)=e^(-varphi) (-dot(varphi)) $
$r(dvarphi)/(dt)=e^(-varphi) dot(varphi)$,
si ha
$v=sqrt(2e^(-2varphi)( dot(varphi))^2) $
essendo $varphi$ monotona crescente,si ha $sqrt( (dot(varphi))^2)=dot(varphi)$
quindi ,per ricavare $varphi(t)$ devi risolvere il seguente problema di Cauchy
$ { ( sqrt(2)e^(-varphi)dot(varphi)=v ),( varphi(0)=0 ):} $
come vedi,oltre all'equazione polare sappiamo che il modulo della velocità è costante
essendo
$(dr)/(dt)=e^(-varphi) (-dot(varphi)) $
$r(dvarphi)/(dt)=e^(-varphi) dot(varphi)$,
si ha
$v=sqrt(2e^(-2varphi)( dot(varphi))^2) $
essendo $varphi$ monotona crescente,si ha $sqrt( (dot(varphi))^2)=dot(varphi)$
quindi ,per ricavare $varphi(t)$ devi risolvere il seguente problema di Cauchy
$ { ( sqrt(2)e^(-varphi)dot(varphi)=v ),( varphi(0)=0 ):} $
Ok
quindi mi faccio l'integrale di entrambi i membri dell'uguaglianza: $int e^(-varphi)*dot varphi*dt=int v/sqrt(2) * dt$
$e^(-varphi) =-(v*t)/sqrt(2)+c$
per uguagliare $varphi(0)=1$ ottengo $c=1$
$varphi=-ln(-v*t*sqrt(2)/2+1)$
quindi mi faccio l'integrale di entrambi i membri dell'uguaglianza: $int e^(-varphi)*dot varphi*dt=int v/sqrt(2) * dt$
$e^(-varphi) =-(v*t)/sqrt(2)+c$
per uguagliare $varphi(0)=1$ ottengo $c=1$
$varphi=-ln(-v*t*sqrt(2)/2+1)$
"malgracio":
io ragionerei dicendo che in un dato istante $t$, $s(t)$ e $s(varphi)$ devono coincidere:
$s(t) = v*t = sqrt(2)*(1-e^(-varphi))=s(varphi)$
il che mi porta ad avere
$varphi=-ln(1-sqrt(2)/2*v*t)$
ok?
ma il ragionamento che avevo utilizzato qui (forse in maniera fortuita) è corretto?
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