[meccanica razionale] Hamiltoniana e trasformazione canonica

[Sk_Anonymous]

Ho un sistema con la seguente hamiltoniana:

$H(p,q,t)=p^2/(2m)+mgq$, dove $m$ e $g$ sono costanti.
Mi è inoltre data la seguente trasformazione:

$\{(Q=-p),(P=q+cp^2):}$

Ho già verificato che è canonica, usando le parentesi di Poisson. Mi viene chiesto di ricavare le equazioni di Hamilton a partire da $H(p,q,t)$ e in secondo luogo di riscrivere $H$ usando la trasformazione in maniera tale da semplificare il sistema.

Le equazioni di H. sono:

$\{(\dot(p)=mg),(\dot(q)=p/m):}$

Non riesco a vedere come usare la trasformazione per semplificare l'hamiltoniana e quindi le equazioni di Hamilton. Qualche suggerimento?

[wedge]

c è una costante a piacere?
se si, interpreto così l'esercizio
la trasformazione canonica può essere scritta (p,q)->(P,Q)

$p=-Q$
$q=P-cp^2=P-cQ^2$

sostituendo in H
$H(P,Q,t) =Q^2 / (2m) + mgP - mgcQ^2$
quindi scegliendo opportunamente c puoi far diventare l'Hamiltoniana lineare in P, cancellando la quadraticità su Q... e di conseguenza non comparendo più Q, il momento canonico P si conserva.

[Sk_Anonymous]

Sì, $c$ è una costante arbitraria, mentre $m$ è fissata.
Basta porre $c=1/(2m^2g)$. Le equzioni di Hamilton diventano:

$\{(dot(P)=0),(dot(Q)=mg):}$

Grazie per l'aiuto e scusami per la dimenticanza nel mio precedente posto.