Meccanica Razionale, equazione del moto, implementazione al calcolatore.
Buongiorno ragazzi, ho un quesito da sottoporvi.
Siccome sto implementando una sorta di simulatore al calcolatore, e non sono espertissimo di meccanica, mi servirebbe capire come trattare una cosa.
Supponiamo di avere due aste omogenee (aste $A$ e $B$) di lunghezza $l$. L'asta $A$ ha estremi $P_1 P_2$, l'asta $B$ invece ha estremi $P_2 P_3$ (cioè hanno un estremo in comune). Il sistema costituito dalle due aste non presenta vincoli esterni, ma solo interni dovuto al contatto in $P_2$ (non ci sono momenti di attrito in tal punto, ne altro).
Il sistema $A \cup B$ giace su di un piano, e in $P_3$ viene applicata una forza $\vec{F}_e$. Vorrei scrivere le equazioni del moto da risolvere per via numerica.
Allora mi avvalgo delle equazioni cardinali della dinamica, che per un generico corpo rigido dicono che:
$\{(\dot{\vec{Q}} = \sum_s \vec{F}_s + \sum_s \vec{\Phi}_s),(\dot{\vec{K}}(O) = \sum_s \vec{M}(O) + \sum_s \vec{\Omega}(O)):}$
Pensavo il modo migliore è scrivere le equazioni cardinali della dinamica per l'asta $A$ e $B$ singolarmente, però mi sfugge sempre come fare a trattare il vincolo $\Phi$ che per il principio di azione e reazione dovrebbe essere $\Phi$ per un asta e $-\Phi$ per l'altra. In totale mi escono fuori 4 equazioni, e la mie incognite sono 4, vale a dire le velocità lineari e angolari.
Ma il mio problema è come determino passo per passo i vincoli?
Potreste suggerirmi come scrivere le equazioni che vi ho indicato per questo particolare sistema?
Siccome sto implementando una sorta di simulatore al calcolatore, e non sono espertissimo di meccanica, mi servirebbe capire come trattare una cosa.
Supponiamo di avere due aste omogenee (aste $A$ e $B$) di lunghezza $l$. L'asta $A$ ha estremi $P_1 P_2$, l'asta $B$ invece ha estremi $P_2 P_3$ (cioè hanno un estremo in comune). Il sistema costituito dalle due aste non presenta vincoli esterni, ma solo interni dovuto al contatto in $P_2$ (non ci sono momenti di attrito in tal punto, ne altro).
Il sistema $A \cup B$ giace su di un piano, e in $P_3$ viene applicata una forza $\vec{F}_e$. Vorrei scrivere le equazioni del moto da risolvere per via numerica.
Allora mi avvalgo delle equazioni cardinali della dinamica, che per un generico corpo rigido dicono che:
$\{(\dot{\vec{Q}} = \sum_s \vec{F}_s + \sum_s \vec{\Phi}_s),(\dot{\vec{K}}(O) = \sum_s \vec{M}(O) + \sum_s \vec{\Omega}(O)):}$
Pensavo il modo migliore è scrivere le equazioni cardinali della dinamica per l'asta $A$ e $B$ singolarmente, però mi sfugge sempre come fare a trattare il vincolo $\Phi$ che per il principio di azione e reazione dovrebbe essere $\Phi$ per un asta e $-\Phi$ per l'altra. In totale mi escono fuori 4 equazioni, e la mie incognite sono 4, vale a dire le velocità lineari e angolari.
Ma il mio problema è come determino passo per passo i vincoli?
Potreste suggerirmi come scrivere le equazioni che vi ho indicato per questo particolare sistema?
Risposte
PS. Anche usando le equazioni di lagrange ho gli stessi problemi.
[xdom="JoJo_90"]Il problema mi sembra più adatto per la sezione di Fisica. Sposto.[/xdom]
Ok, scusa. Pensavo che visto che era una cosa un pò mista (fisica/informatica) andasse messa in ingegneria.
Cmq in ogni caso penso di aver fatto un piccolo progresso in avanti.
Allora le equazioni cardinali della dinamica che ho riportato nel primo post devono necessariamente coinvolgere i vari vincoli.
Sotto le ipotesi di sistemi olonomi, vincoli bilaterali e perfetti posso applicare le equazioni di lagrange.
Sicuramente i vincolo sono bilaterali, visto che si traducono in:
$|| P_2(\vec{q}) - P_1(\vec{q}) || = || P_3(\vec{q}) - P_2(\vec{q}) || = l$
Sono anche olonomi perchè non dipendono dalle velocità, e si esprimono in forma finita.
Che i vincoli siano perfetti lo assumo io stesso dicendo i vincoli sul giunto non compiono lavoro quando le aste ruotano rispetto giunto.
Allora per questo sistema dovrebbe valere l'equazione
$ \frac{d}{dt} ( \frac{\partial T}{ \partial \dot{q}_k} ) - \frac{\partial T}{\partial q_k} = Q_k$
Dove $Q_k$ è la forza generalizzata di lagrange sul parametro $q_k$, e quindi per definizione è dovuto a sole forze attive.
Questa equazione dovrebbe quindi permettermi di trascurare le reazioni vincolari (che secondo me comunque dovrei riuscire a trattare in qualche modo con le equazioni della dinamica).
Ricordando che $Q_k$ è dato da
$Q_k = \sum_s \vec{F}_s \cdot \frac{\partial P_s}{\partial q_k}$,
Nel mio caso particolare ho solo una forza attiva si riduce quindi a 4 forze generalizzate di lagrange, una per parametro lagrangiano. Ho quindi che se considero $\vec{q} = (x,y,\alpha,\beta)$ ($x,y$ posizione del giunto $\alpha, \beta$ angolazione delle aste) ho che:
$\{ (Q_\x = \vec{F}_e \cdot \hat{i}),(Q_\y = \vec{F}_e \cdot \hat{j}),(Q_\alpha = \vec{F}_e \cdot ( -sin(\alpha) \hat{i} + cos(\alpha) \hat{j})),(Q_\beta = 0):}$
Rimane come ultimo problema l'energia cinetica che dovrebbe essere la somma delle energie cinetiche delle aste. Cmq una volta scritta l'energia cinetica, eseguo le derivate del caso, ottengo un sistema del secondo ordine, risolvo per via numerica e dovrei ottenere passo passo i vari parametri.
Che ne dite? come impostazione come va?
Cmq in ogni caso penso di aver fatto un piccolo progresso in avanti.
Allora le equazioni cardinali della dinamica che ho riportato nel primo post devono necessariamente coinvolgere i vari vincoli.
Sotto le ipotesi di sistemi olonomi, vincoli bilaterali e perfetti posso applicare le equazioni di lagrange.
Sicuramente i vincolo sono bilaterali, visto che si traducono in:
$|| P_2(\vec{q}) - P_1(\vec{q}) || = || P_3(\vec{q}) - P_2(\vec{q}) || = l$
Sono anche olonomi perchè non dipendono dalle velocità, e si esprimono in forma finita.
Che i vincoli siano perfetti lo assumo io stesso dicendo i vincoli sul giunto non compiono lavoro quando le aste ruotano rispetto giunto.
Allora per questo sistema dovrebbe valere l'equazione
$ \frac{d}{dt} ( \frac{\partial T}{ \partial \dot{q}_k} ) - \frac{\partial T}{\partial q_k} = Q_k$
Dove $Q_k$ è la forza generalizzata di lagrange sul parametro $q_k$, e quindi per definizione è dovuto a sole forze attive.
Questa equazione dovrebbe quindi permettermi di trascurare le reazioni vincolari (che secondo me comunque dovrei riuscire a trattare in qualche modo con le equazioni della dinamica).
Ricordando che $Q_k$ è dato da
$Q_k = \sum_s \vec{F}_s \cdot \frac{\partial P_s}{\partial q_k}$,
Nel mio caso particolare ho solo una forza attiva si riduce quindi a 4 forze generalizzate di lagrange, una per parametro lagrangiano. Ho quindi che se considero $\vec{q} = (x,y,\alpha,\beta)$ ($x,y$ posizione del giunto $\alpha, \beta$ angolazione delle aste) ho che:
$\{ (Q_\x = \vec{F}_e \cdot \hat{i}),(Q_\y = \vec{F}_e \cdot \hat{j}),(Q_\alpha = \vec{F}_e \cdot ( -sin(\alpha) \hat{i} + cos(\alpha) \hat{j})),(Q_\beta = 0):}$
Rimane come ultimo problema l'energia cinetica che dovrebbe essere la somma delle energie cinetiche delle aste. Cmq una volta scritta l'energia cinetica, eseguo le derivate del caso, ottengo un sistema del secondo ordine, risolvo per via numerica e dovrei ottenere passo passo i vari parametri.
Che ne dite? come impostazione come va?
No idea?... :'(
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