Meccanica razionale, disco che rotola senza strisciare
Problema:
Una particella $P$ di massa $m$ si muove su una guida orizzontale liscia di velocità costante $v$ finchè al punto $O$ cade da un dislivello di altezza $h$ fino ad incontrare il punto di appoggio nel punto $c_1$. La particella è seguita da un disco di stessa massa e raggio $r$ che rotola senza strisciare sulla guida con la stessa velocità $v$. Giunta nel punto $O$ la ruota inizia un moto di caduta che la porta nel punto $c_2$. Determinare la distanza tra $c_1$ e $c_2$ in funzione di $v$,$h$,$r$.
Dato che è un problema di meccanica classica è da risolvere con la lagrangiana. Per la particella non ho problemi; con il metodo del lavoro di Lagrange e compagnia bella mi vengono le equazioni del moto di un proiettile vale a dire:
$y=frac{1}{2}gt^2+v_{y,0}+y_0$
$x=v_{x,0}t+x_0$
dove $v_{y,0}$ e $v_{x,0}$ sono le componenti della velocità sugli assi cartesiani considerando l'origine in $O$. Ricavando il tempo dalla prima equazione si trova la $x$ dalla seconda e con essa il punto $c_1$.
Tutti i miei dubbi arrivano ripetendo il procedimento con la ruota: l'energia cinetica che prima era solo $frac{1}{2}mv^2$ adesso sarà $frac{1}{2}mv^2 + frac{1}{2}Iw^2$ dove $I$ è il momento di inerzia ed è $frac{1}{2}mr^2$. La mia prima domanda è: la quantità di moto risente anche della velocità angolare? quando calcolo la quantità di moto devo scrivere $mv_x + mv_y+mw$?
Io ho provato a risolvere con l'espressione precedente ma le equazioni del moto vengono uguali a quelle di prima. Ho trovato un esercizio risolto in classe dal professore che dimostrava che il centro di un disco che rotola senza strisciare si muove come una particella di massa $frac{3}{2}m$. Dato che nel moto del proiettile la massa non conta mi viene da pensare che se la velocità con cui la particella e la ruota arrivano al gradino è costante, esse cadano nello stesso punto.
Ho sbagliato qualcosa? mi sembra che ci sia qualcosa che mi sfugge ma non capisco cosa.
Una particella $P$ di massa $m$ si muove su una guida orizzontale liscia di velocità costante $v$ finchè al punto $O$ cade da un dislivello di altezza $h$ fino ad incontrare il punto di appoggio nel punto $c_1$. La particella è seguita da un disco di stessa massa e raggio $r$ che rotola senza strisciare sulla guida con la stessa velocità $v$. Giunta nel punto $O$ la ruota inizia un moto di caduta che la porta nel punto $c_2$. Determinare la distanza tra $c_1$ e $c_2$ in funzione di $v$,$h$,$r$.
Dato che è un problema di meccanica classica è da risolvere con la lagrangiana. Per la particella non ho problemi; con il metodo del lavoro di Lagrange e compagnia bella mi vengono le equazioni del moto di un proiettile vale a dire:
$y=frac{1}{2}gt^2+v_{y,0}+y_0$
$x=v_{x,0}t+x_0$
dove $v_{y,0}$ e $v_{x,0}$ sono le componenti della velocità sugli assi cartesiani considerando l'origine in $O$. Ricavando il tempo dalla prima equazione si trova la $x$ dalla seconda e con essa il punto $c_1$.
Tutti i miei dubbi arrivano ripetendo il procedimento con la ruota: l'energia cinetica che prima era solo $frac{1}{2}mv^2$ adesso sarà $frac{1}{2}mv^2 + frac{1}{2}Iw^2$ dove $I$ è il momento di inerzia ed è $frac{1}{2}mr^2$. La mia prima domanda è: la quantità di moto risente anche della velocità angolare? quando calcolo la quantità di moto devo scrivere $mv_x + mv_y+mw$?
Io ho provato a risolvere con l'espressione precedente ma le equazioni del moto vengono uguali a quelle di prima. Ho trovato un esercizio risolto in classe dal professore che dimostrava che il centro di un disco che rotola senza strisciare si muove come una particella di massa $frac{3}{2}m$. Dato che nel moto del proiettile la massa non conta mi viene da pensare che se la velocità con cui la particella e la ruota arrivano al gradino è costante, esse cadano nello stesso punto.
Ho sbagliato qualcosa? mi sembra che ci sia qualcosa che mi sfugge ma non capisco cosa.
Risposte
non sono molto "ferrata" in materia, quindi alcune cose ho fatto fatica a seguirle. ti vorrei solo dire un paio di cose:
controlla "quantità di moto di un sistema di particelle": si dovrebbe capire che la quantità di moto di un sistema è quella del centro di massa considerato come punto materiale in cui è concentrata tutta la massa...
inoltre $omega$ se non sbaglio è perpendicolare al piano xy...
ciao.
controlla "quantità di moto di un sistema di particelle": si dovrebbe capire che la quantità di moto di un sistema è quella del centro di massa considerato come punto materiale in cui è concentrata tutta la massa...
inoltre $omega$ se non sbaglio è perpendicolare al piano xy...
ciao.
E' più che vietato duplicare i topic, questo l'ho trovato anche in università.
Questo è il primo ed ultimo avvertimento, la prossima volta la mia ira si abbatterà su di te!
Paola
Questo è il primo ed ultimo avvertimento, la prossima volta la mia ira si abbatterà su di te!
Paola
eh ok, basta saperlo...dato che i matematici non mi hanno dato cenno di risposta ho provato con i fisici..
Non si ripeterà più.
Non si ripeterà più.
L'equazione che hai scritto per quanto riguarda la presunta conservazione della quantità di moto è assurda anche perchè le unità di misura nemmeno tornano...
Inoltre il disco e la particella hanno la stessa velocità... ma di quale punto? del centro del disco?
Inoltre se così fosse e se ho capito bene il problema...allora le traiettorie seguite dal punto P e dal baricentro del disco sono coincidenti, anche se $c_1\nec_2$ infatti il baricentro non arriva a toccare terra, ma rimane ad altezza r dalla stessa, quindi la proiezione di G a terra sta leggermente prima del punto di caduta di P...
Inoltre il disco e la particella hanno la stessa velocità... ma di quale punto? del centro del disco?
Inoltre se così fosse e se ho capito bene il problema...allora le traiettorie seguite dal punto P e dal baricentro del disco sono coincidenti, anche se $c_1\nec_2$ infatti il baricentro non arriva a toccare terra, ma rimane ad altezza r dalla stessa, quindi la proiezione di G a terra sta leggermente prima del punto di caduta di P...
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