[Meccanica Razionale] Coordinate lagrangiane
Buongiorno. Il Prof. ha appena "spiegato" le coordinate lagrangiane e consigliato un esercizio. La spiegazione (a lezione, detta "paro paro") è stata la seguente:
Tra l'altro, sono pure andato al ricevimento, ma forse avrei fatto prima a riascoltarmi la lezione al registratore, con il senno di poi... Ora, dico io: ma cosa posso averci mai capito!? Ho capito che sono coordinate che determinano univocamente lo stato del sistema, ma operativamente nulla. Adesso vediamo l'esercizio:
1) Si è scelta la coordinata lagrangiana $\sigma$, che non so cosa rappresenti;
2) Si è posto $\vec (OP)(t)=\psi(\sigma, t)$, e lo do per buono;
3) Si è asserito che la forza di Coriolis sia nulla, ma non so perché;
4) Si calcola la forza di trascinamento (OK, almeno questo...);
5) Si utilizza l'equazione di Lagrange, che sul libro non trovo (per lo meno, in questa forma);
6) Si calcola l'integrale primo, in un modo che non capisco.
Qualcuno mi aiuti, per favore! Il corso è da 6CFU (fino a qualche anno fa, era da 12CFU); il libro di 100 pagine, in cui, in pratica, non viene spiegato nulla, bensì riportato tutto a mo' di assiomi; le ore accademiche di lezione a settimana 6 (4 ore e mezza, che divengono facilmente 3, per scioperi vari, stando a Roma); essendo l'esame solo scritto, ma diviso in parti pratica (esercizi) e teorica (definizioni), molti compagni stanno quasi rinunciando a fare gli esercizi, puntando tutto sull'imparare a memoria le definizioni, per bilanciare, ma è inutile così!
Tra l'altro, sono pure andato al ricevimento, ma forse avrei fatto prima a riascoltarmi la lezione al registratore, con il senno di poi... Ora, dico io: ma cosa posso averci mai capito!? Ho capito che sono coordinate che determinano univocamente lo stato del sistema, ma operativamente nulla. Adesso vediamo l'esercizio:
1) Si è scelta la coordinata lagrangiana $\sigma$, che non so cosa rappresenti;
2) Si è posto $\vec (OP)(t)=\psi(\sigma, t)$, e lo do per buono;
3) Si è asserito che la forza di Coriolis sia nulla, ma non so perché;
4) Si calcola la forza di trascinamento (OK, almeno questo...);
5) Si utilizza l'equazione di Lagrange, che sul libro non trovo (per lo meno, in questa forma);
6) Si calcola l'integrale primo, in un modo che non capisco.
Qualcuno mi aiuti, per favore! Il corso è da 6CFU (fino a qualche anno fa, era da 12CFU); il libro di 100 pagine, in cui, in pratica, non viene spiegato nulla, bensì riportato tutto a mo' di assiomi; le ore accademiche di lezione a settimana 6 (4 ore e mezza, che divengono facilmente 3, per scioperi vari, stando a Roma); essendo l'esame solo scritto, ma diviso in parti pratica (esercizi) e teorica (definizioni), molti compagni stanno quasi rinunciando a fare gli esercizi, puntando tutto sull'imparare a memoria le definizioni, per bilanciare, ma è inutile così!
Risposte
Sto provando a darmi delle risposte utilizzando fonti in rete. In particolare, ho provato a rispondere ad alcuni dei 6 p.ti citati nel messaggio precedente.
1) Il punto è vincolato a muoversi su una curva, per cui avrà un unico grado di libertà, e quindi un'unica coordinata lagrangiana, che per me dovrebbe essere l'ascissa curvilinea, cioè $s$, mentre il Prof. introduce questa $\sigma$;
2) Dalla relazione $\vec(OP)(t)=\psi(\sigma, t)$, mi viene da pensare che effettivamente $\sigma=s$, anche perché, così non fosse, $\vec(OP)(t)=f(\sigma, t)$, con f generalmente diversa da $\psi$;
3, 6) Non saprei;
4) OK, già da prima;
5) All'indirizzo tra parentesi (http://www.dicar.units.it/mdp/tonti/Mec ... grange.pdf), ho trovato, come forma di equazione di Lagrange, "$Q_i=d/dt((\partialT)/(\partial dotq_i))-(\partialT)/(\partialq_i)$", che però parla di energia cinetica, che nell'esercizio non viene proprio menzionata.
Io ci sto provando. Se non ho le basi, è perché non ci vengono spiegate (o forse io sono un po' rinco, a 'sto punto...). Grazie.
1) Il punto è vincolato a muoversi su una curva, per cui avrà un unico grado di libertà, e quindi un'unica coordinata lagrangiana, che per me dovrebbe essere l'ascissa curvilinea, cioè $s$, mentre il Prof. introduce questa $\sigma$;
2) Dalla relazione $\vec(OP)(t)=\psi(\sigma, t)$, mi viene da pensare che effettivamente $\sigma=s$, anche perché, così non fosse, $\vec(OP)(t)=f(\sigma, t)$, con f generalmente diversa da $\psi$;
3, 6) Non saprei;
4) OK, già da prima;
5) All'indirizzo tra parentesi (http://www.dicar.units.it/mdp/tonti/Mec ... grange.pdf), ho trovato, come forma di equazione di Lagrange, "$Q_i=d/dt((\partialT)/(\partial dotq_i))-(\partialT)/(\partialq_i)$", che però parla di energia cinetica, che nell'esercizio non viene proprio menzionata.
Io ci sto provando. Se non ho le basi, è perché non ci vengono spiegate (o forse io sono un po' rinco, a 'sto punto...). Grazie.
No, non sei rinco.
Lo sto guardando e studiando anche io. Purtroppo ti e' toccato il solito professore che si riempie la bocca di teoria senza applicarla.
A me era successo a Scienza delle Costruzioni: 24,457 tipi di tensore, e poi andavi a risolvere una travatura e non sapevi come farla. Praticamente era super-analisi, ma nessuna base pratica. Vabbe'.
Facci guardare, magari qualcuno piu' veloce di me ci arriva, io ho mollato la teoria anni fa (a parte i prinicipi fondamnetali).
L'equazione di lagrange scritta sopra e' corretta. E' un modo molto veloce per trovare la legge del moto quandi hai tanti gradi di liberta', ma non ti interessano le reazioni vincolari. Quello si che' un metodo pratico e molto potente.
Aspettiamo altri input
Lo sto guardando e studiando anche io. Purtroppo ti e' toccato il solito professore che si riempie la bocca di teoria senza applicarla.
A me era successo a Scienza delle Costruzioni: 24,457 tipi di tensore, e poi andavi a risolvere una travatura e non sapevi come farla. Praticamente era super-analisi, ma nessuna base pratica. Vabbe'.
Facci guardare, magari qualcuno piu' veloce di me ci arriva, io ho mollato la teoria anni fa (a parte i prinicipi fondamnetali).
L'equazione di lagrange scritta sopra e' corretta. E' un modo molto veloce per trovare la legge del moto quandi hai tanti gradi di liberta', ma non ti interessano le reazioni vincolari. Quello si che' un metodo pratico e molto potente.
Aspettiamo altri input
Allora, cerchiamo di fare un po' di chiarezza, che forse è il caso...
Intanto puoi notare che il sistema di assi di versori $(\bb(u)_1,\bb(u)_2,\bb(u)_3)$ si ottiene dal solito $(\bb(e)_1,\bb(e)_2,\bb(e)_3)$, con una rotazione di $\omegat$ attorno all'asse $\bb(e)_3$. Infatti la matrice di rotazione di un angolo $\omegat$ ha questa forma:
Questo è un modo come un altro per dire che il sistema $\bb(u)_i$ sta ruotando con velocità angolare costante, infatti $\dot(\omegat)=\omega$.
Dato che la curva $\psi$ giace esclusivamente su $(\bb(u)_1,\bb(u)_2)$ è chiaro che questo benedetto punto sta percorrendo una qualche traiettoria, descritta appunto dalla $\psi$, solamente sul piano orizzontale.
Detto questo, possiamo dire subito che l'energia potenziale del punto (quella gravitazionale, cioè quella dovuta al fatto che il punto sia ad una certa altezza) è $0$, dato che il punto è inchiodato a terra. L'unico contributo del potenziale è quindi quello dovuto alla forza costante applicata che è sempre $-$ la forza scalar il punto in cui essa è applicata. Quindi avrai che l'energia potenziale viene:
dove $\bbx_P$ è la posizione del punto.
Anche se è pleonastico da dire, la posizione di questo punto è esattamente data dalla $\psi$, dato che il punto può muoversi solo lungo questa curva che giace sul piano orizzontale. Quindi, in generale, la posizione del punto è:
L'energia cinetica è come sempre $T=1/2m||\bb(v)_P||^2$, con $\bb(v)_P$ velocità del punto.
Ora ti metti li con tanta pazienza, magari prima reciti un Padre Nostro, e calcoli la derivata della posizione $\dot{\bbx_P}=\bb(v)_P$. Ottieni una schifezza di roba piena di punti sopra, dato che devi lavorare con funzioni composte.
Fatto l'immenso sacrificio, calcoli la norma quadra della velocità, che, se hai pregato bene, ti farà sparire un bel po' di roba, sfruttando il fatto che $sin^2x+cos^2x=1$.
Al solito, la Lagrangiana è definita come energia cinetica meno energia potenziale, quindi:
Fatto questo hai praticamente finito perché poi ti resta da calcolare una derivata parziale che fornisce l'equazione del moto per la coordinata.
Intanto puoi notare che il sistema di assi di versori $(\bb(u)_1,\bb(u)_2,\bb(u)_3)$ si ottiene dal solito $(\bb(e)_1,\bb(e)_2,\bb(e)_3)$, con una rotazione di $\omegat$ attorno all'asse $\bb(e)_3$. Infatti la matrice di rotazione di un angolo $\omegat$ ha questa forma:
$R=((cos\omegat,sin\omegat,0),(-sin\omegat,cos\omegat,0),(0,0,1))$.
Questo è un modo come un altro per dire che il sistema $\bb(u)_i$ sta ruotando con velocità angolare costante, infatti $\dot(\omegat)=\omega$.
Dato che la curva $\psi$ giace esclusivamente su $(\bb(u)_1,\bb(u)_2)$ è chiaro che questo benedetto punto sta percorrendo una qualche traiettoria, descritta appunto dalla $\psi$, solamente sul piano orizzontale.
Detto questo, possiamo dire subito che l'energia potenziale del punto (quella gravitazionale, cioè quella dovuta al fatto che il punto sia ad una certa altezza) è $0$, dato che il punto è inchiodato a terra. L'unico contributo del potenziale è quindi quello dovuto alla forza costante applicata che è sempre $-$ la forza scalar il punto in cui essa è applicata. Quindi avrai che l'energia potenziale viene:
$V=-\bb(F)\cdot\bbx_(P)=-\lambda(cos\omegat\bb(e)_1+sin\omegat\bb(e)_2)\cdot\bbx_P$,
dove $\bbx_P$ è la posizione del punto.
Anche se è pleonastico da dire, la posizione di questo punto è esattamente data dalla $\psi$, dato che il punto può muoversi solo lungo questa curva che giace sul piano orizzontale. Quindi, in generale, la posizione del punto è:
$\bb(x)_P=(cos\omegat-sin\omegat)\psi_1(s)\bb(e)_1+(cos\omegat+sin\omegat)\psi_2(s)\bb(e)_2$.
L'energia cinetica è come sempre $T=1/2m||\bb(v)_P||^2$, con $\bb(v)_P$ velocità del punto.
Ora ti metti li con tanta pazienza, magari prima reciti un Padre Nostro, e calcoli la derivata della posizione $\dot{\bbx_P}=\bb(v)_P$. Ottieni una schifezza di roba piena di punti sopra, dato che devi lavorare con funzioni composte.
Fatto l'immenso sacrificio, calcoli la norma quadra della velocità, che, se hai pregato bene, ti farà sparire un bel po' di roba, sfruttando il fatto che $sin^2x+cos^2x=1$.
Al solito, la Lagrangiana è definita come energia cinetica meno energia potenziale, quindi:
$L=T-V=1/2m||\bb(v)_P||^2+\bb(F)\cdot\bbx_(P)$ (vedi sopra).
Fatto questo hai praticamente finito perché poi ti resta da calcolare una derivata parziale che fornisce l'equazione del moto per la coordinata.
Grazie ad entrambi per le risposte. Così ottengo (se ho pregato bene!):
$T=1/2m[\psi_1^2\omega^2(1+2sincos)+dot \psi_1^2dot s^2(1-2sincos)+2\psi_1dot \psi_1dot s\omega(sin^2-cos^2)]$
$V=-\lambda(\psi_1cos^2-\psi_1sincos+\psi_2sincos+\psi_2sin^2)$
Ho semplificato il semplificabile, ma mi viene così...
$T=1/2m[\psi_1^2\omega^2(1+2sincos)+dot \psi_1^2dot s^2(1-2sincos)+2\psi_1dot \psi_1dot s\omega(sin^2-cos^2)]$
$V=-\lambda(\psi_1cos^2-\psi_1sincos+\psi_2sincos+\psi_2sin^2)$
Ho semplificato il semplificabile, ma mi viene così...
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