Meccanica Razionale- Calcolo del periodo

[squalllionheart]

Salve rega devo calcolare il periodo datte le condizioni iniziali. Mi spiegate come funziona e cosa determina $x_-$ e $x_+$ dove, $x_-$ e $x_+$ sono gli estremi dell'intervallo da considerare per massimi e minimi della derivata seconda del potenziale.
Esempio $V(x)=(cos^3x)+(9/4)cosx$ il dato iniziale è $x(0)=pi/8$ $x'(0)=0$. Grazie e a presto.

[antrope]

Combattendo sullo stesso esame... Ti dico: ricorda l'esistenza dell'integrale primo che permette di risolvere tutti i problemi: l'energia meccanica. I dati iniziali fissano un determinato livello di energia, poichè:

$ H(x,v) = 1/2 * v^2 + U(x) = E $ , quindi sostituendo i tuoi dati iniziali intanto ricaverai il livello di E in questione. $ x_- $ e $ x_+ $ sono gli estremi massimali nei quali è definita $ v(x) $ poichè essa è uguale a $ sqrt(2/m * (E - U(x)) $ e quindi a te il resto

[squalllionheart]

Fino a li ci sono poi na vola che mi trovo il livello di energia grazie alle conzioni iniziali mi blocco per trovare il benedetto periodo.
Esempio pratico così sono più chiara.
$V(x)=x^6-3x^2$ il problema di dice di stimare il periodo dato come $x(0)=3/4$ e $x'(0)=0$.
la velocità è nulla quindi l'energia meccanica è pari alla potenziale mi calcolo $V(3/4)$= 0.3 circa e dal grafico del potenziale possiamo vedere effettivamente che il moto per quel livello di energia è periodico. $x_-$ a mio avviso sarà proprio 3/4 ma dato che la funzione è simmetriaca l'altro estemo sarà -3/4 .
Ma facendo la derivata seconda il massimo è in 3/4 e il minimo in 0.... Segue che la relazione $sqrt(((m)/( MAX in [x_-,x_+] V''(x))))

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[Cmax1]

Per i sistemi come quelli indicati negli esempi, il periodo è dato da $T=sqrt(2m) \int_{x_1}^{x_2} \frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}$, dove $x_1$ e $x_2$ sono radici dell'equazione $E-U(x)=0$ che individuano un intervallo in cui $E \ge U(x)$. Nel primo esempio, vista la periodicità di $U(x)$, verifichi facilmente che, poichè $x_1=pi/8$, $x_2=15/8pi$. Nel secondo caso, i problemi nascono dal fatto che nell'intervallo $[-3/4, 3/4]$ la condizione $E \ge U(x)$ non è sempre soddisfatta. Se ne disegni il grafico e tracci l'energia determinata dalle condizioni iniziali te ne convinci facilmente, ed in effetti l'intervallo di oscillazione è un altro.