Meccanica quantistica spin 1/ 2
ciao a tutti, mi serve aiuto con questo esercizio
Si considerino due particelle distinguibili di spin $1/2 $interagenti attraverso l'hamiltoniana:
$H = A S1*S2 + B S1x*S2x$
dove A e B sono costanti e $S1x$, $S2x$ indicano rispettivamente gli operatori di spin della prima e della
seconda particella.
1) Si trovino autovalori e autoket dell'hamiltoniana.
ho pensato di usare la base $|1 0> $ , $|11>$ ... e non $|++>$ $|+ ->$ ... perchè ho $S1*S2$
Al posto di $S1*S2$ scrivo $A/2(S^2-S1^2-S2^2)$.
mi potete aiutare con il procedimento , o almeno mi potete scrivere quando vi danno l'hamiltoniana, gli autovalori e gli autovettori ? In particolare è per gli autovettori che non so proprio come procedere .
grazie a tutti
Si considerino due particelle distinguibili di spin $1/2 $interagenti attraverso l'hamiltoniana:
$H = A S1*S2 + B S1x*S2x$
dove A e B sono costanti e $S1x$, $S2x$ indicano rispettivamente gli operatori di spin della prima e della
seconda particella.
1) Si trovino autovalori e autoket dell'hamiltoniana.
ho pensato di usare la base $|1 0> $ , $|11>$ ... e non $|++>$ $|+ ->$ ... perchè ho $S1*S2$
Al posto di $S1*S2$ scrivo $A/2(S^2-S1^2-S2^2)$.
mi potete aiutare con il procedimento , o almeno mi potete scrivere quando vi danno l'hamiltoniana, gli autovalori e gli autovettori ? In particolare è per gli autovettori che non so proprio come procedere .
grazie a tutti
Risposte
"silstar":
In particolare è per gli autovettori che non so proprio come procedere .
Scusa la domanda apparentemente sciocca, ma riesci a scrivere l'hamiltoniana (per es. come matrice) nella base che hai scelto?
ciao, allora per la parte $S1*S2 $non ho problemi
ottengo $A/2*(2h^2-3/4-3/4h^2)$ per $|1,1>$, $|1,0>$, $|1,-1>$
mentre ottengo $A/2*(0-3/4-3/4h^2)$ per $|00>$ stato di singoletto
per la restante parte $BS1xS2x$ devo usare gli operatori di salita e di discesa
$Jx= (J++J-)/2$ , quindi uso la formula
$J+|jm>= a |j, m+1>$
e $J-|jm>= a |j, m-1>$
una volta ottenuta la matrice dovrei porre il determinante uguale a zero e per gli autovettori usare il procedimento dei corsi di geometria....ma praticamente non riesco a fare l'esercizio perchè non ho nemmeno il risultato per potere confrontare se quelllo che ho fatto è giusto....inoltre per trovare gli autovettori ho dubbi perchè non ho esempi svolti....
grazie mille e buon natale!
ottengo $A/2*(2h^2-3/4-3/4h^2)$ per $|1,1>$, $|1,0>$, $|1,-1>$
mentre ottengo $A/2*(0-3/4-3/4h^2)$ per $|00>$ stato di singoletto
per la restante parte $BS1xS2x$ devo usare gli operatori di salita e di discesa
$Jx= (J++J-)/2$ , quindi uso la formula
$J+|jm>= a |j, m+1>$
e $J-|jm>= a |j, m-1>$
una volta ottenuta la matrice dovrei porre il determinante uguale a zero e per gli autovettori usare il procedimento dei corsi di geometria....ma praticamente non riesco a fare l'esercizio perchè non ho nemmeno il risultato per potere confrontare se quelllo che ho fatto è giusto....inoltre per trovare gli autovettori ho dubbi perchè non ho esempi svolti....
grazie mille e buon natale!
"silstar":
per la restante parte $B S_{1x}S_{2x}$ devo usare gli operatori di salita e di discesa
$J_x= \frac{J_++J_-}{2}$
E perche' non diagonalizzare $S_x$ invece di $S_z$?
buon natale!
Grazie, anche a te!
scua non ho capito cosa vuoi dire...in che senso diagonalizzare Sz?
"silstar":
scua non ho capito cosa vuoi dire...in che senso diagonalizzare Sz?
Nel senso che, invece di usare come base gli autovettori simultanei (per ogni spin) di $S^2$ e $S_z$, puoi usare gli autovettori simultanei di $S^2$ e $S_x$. Tanto per semplificare i conti (non e' indispensabile).
ciao, scusa se ti disturbo....mi potresti scrivere quanto ti dà l'hamiltoniana e come devo fare per trovare gli autovettori?..perchè non avendo esempi svolti sto trovando delle difficoltà ..grazie mille
"silstar":
ciao, scusa se ti disturbo....
Ma no
Scherzi a parte, no problem, in altre giornate ti avrei risposto anche prima.
mi potresti scrivere quanto ti dà l'hamiltoniana e come devo fare per trovare gli autovettori?..
Nel sottospazio in cui [tex]\ell=0,1[/tex] (con [tex]\ell(\ell+1)[/tex] autovalore di $\mathbf{S}^2$) mi viene (ma potrebbero anche essere i postumi da crapula
):[tex]H |\ell m\rangle = \frac{1}{2}\left(A \ell(\ell+1) + B m^2 -\frac{3 A + B}{2}\right)|\ell m\rangle[/tex]
tenendo conto che ho usato come base gli stati [tex]|\ell m\rangle[/tex] autostati di $\mathbf{S}$ e $S_x$:
[tex]\mathbf{S}^2 |\ell m\rangle = \ell(\ell+1) |\ell m\rangle[/tex]
[tex]S_x |\ell m\rangle = m |\ell m\rangle[/tex]
Praticamente l'unico punto un po' meno lineare e' quando devi calcolare il termine $B$ dell'hamiltoniana, perche' devi esplicitare momentaneamente la struttura degli stati di tripletto e singoletto come combinazione lineare di prodotti di stati a una particella.
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