[Meccanica quantistica] Regola selezione del momento angolare per Effetto Stark

[dario.basile]

Ciao a tutti, non sto capendo un passaggio che ha fatto il professore in classe nel momento in cui stava spiegando la regola di selezione del momento angolare per l'Effetto Stark dell'atomo di idrogeno.

Premetto che dal Sakurai ho capito come la si ricava ma è proprio il seguente esempio che non capisco.

Ho $l=2$ e indico il polinomio omogeneo di grado $l+1$ come $r^lzY_l^m$ e sfrutto la decomposizione di polinomi per poter scrivere:
$r^2zY_2^m=r^3(\sum_{k}c_kY_3^k+\sum_{k}d_kY_1^k)$

Moltiplico tutto per $1/r^2$ e cambio notazione delle armoniche sferiche:
$z|2m>$ $=r(\sum_{k}c_k|3k>+\sum_{k}d_k|1k>)$

Ora scrivo:
$$ $=(\sum_{k}c_k+\sum_{k}d_k)$

Poi sugli appunti ho scritto la parte incriminata:
$$ $=0$ se $l'!=3$
$$ $=0$ se $l'!=1$

questo ha senso in quanto autovettori di autovalori differenti danno valore medio nullo. Però questo è in contraddizione con la regola di selezione nota che afferma $$$=0$ se $|l'-l|!=1$

Chi mi da una delucidazione? Vi ringrazio!