Meccanica Quantistica, problema su buca infinita di potenziale?
Salve, non riesco a risolvere il seguente problema:
"Si ha una particella di massa $ m $ vincolata su un segmento di lunghezza $ L $. Al tempo $ t = 0 $ una misura di energia può fornire un valore $ E <= (h/(2pi))^2 /(2m) ((2pi)/(L))^2 $:
-Determinare lo stato al tempo $ t = 0 $ tale che la probabilità di trovare la particella tra $ 0 $ ed $ L/2 $ sia massima.
-Determinare la probabilità di trovare la particella tra $ 0 $ ed $ L/2 $ al tempo $ t $."
Tentativo di soluzione:
Lo stato al tempo iniziale è una combinazione lineare dello stato fondamentale e del primo stato eccitato della particella nella buca di potenziale infinita, essendo gli unici che soddisfano la condizione. In generale:
$ |Psi,0> = c_1 |1>+e^(itheta)c_2|2> $ con $c_1$,$c_2$ $in R$, e $|$$ n> dot= Psi_n(x)=sqrt(2/L) sin(k_nx) $ con $ k_n = ((npi)/L) $.
La probabilità di trovare la particella tra $ 0 $ ed $ L/2 $ è $ P =int_(0)^(L/2) |Psi(x)|^2 dx $.
Dovrei dunque imporre che questa sia "massima" e trovare i rispettivi coefficienti.
Supponendo che lo stato sia normalizzato avevo pensato di imporre $ |Psi(x)|^2 = 2/L $ così che $ P = 1 $, ma così facendo mi ritrovo un'equazione sola con due incognite (i coefficienti). Come potrei fare?
P.S. Mi scuso in anticipo per la $h$ tagliata scritta male
, il simbolo corretto mi dava un messaggio di errore!
"Si ha una particella di massa $ m $ vincolata su un segmento di lunghezza $ L $. Al tempo $ t = 0 $ una misura di energia può fornire un valore $ E <= (h/(2pi))^2 /(2m) ((2pi)/(L))^2 $:
-Determinare lo stato al tempo $ t = 0 $ tale che la probabilità di trovare la particella tra $ 0 $ ed $ L/2 $ sia massima.
-Determinare la probabilità di trovare la particella tra $ 0 $ ed $ L/2 $ al tempo $ t $."
Tentativo di soluzione:
Lo stato al tempo iniziale è una combinazione lineare dello stato fondamentale e del primo stato eccitato della particella nella buca di potenziale infinita, essendo gli unici che soddisfano la condizione. In generale:
$ |Psi,0> = c_1 |1>+e^(itheta)c_2|2> $ con $c_1$,$c_2$ $in R$, e $|$$ n> dot= Psi_n(x)=sqrt(2/L) sin(k_nx) $ con $ k_n = ((npi)/L) $.
La probabilità di trovare la particella tra $ 0 $ ed $ L/2 $ è $ P =int_(0)^(L/2) |Psi(x)|^2 dx $.
Dovrei dunque imporre che questa sia "massima" e trovare i rispettivi coefficienti.
Supponendo che lo stato sia normalizzato avevo pensato di imporre $ |Psi(x)|^2 = 2/L $ così che $ P = 1 $, ma così facendo mi ritrovo un'equazione sola con due incognite (i coefficienti). Come potrei fare?
P.S. Mi scuso in anticipo per la $h$ tagliata scritta male
, il simbolo corretto mi dava un messaggio di errore!
Risposte
Ciao !
Prima di tutto vedo che non hai scritto la relazione fondamentale:
$ |c_1|^2+|c_2|^2=1 $ , da qui qualcosa la ricavi.
Non capisco poi come ti calcoli $|Psi(x)|^2 $ ,
magari se scrivi i passaggi è più facile per me darti una mano
.
Prima di tutto vedo che non hai scritto la relazione fondamentale:
$ |c_1|^2+|c_2|^2=1 $ , da qui qualcosa la ricavi.
Non capisco poi come ti calcoli $|Psi(x)|^2 $ ,
magari se scrivi i passaggi è più facile per me darti una mano
.
"Ayanami_00":
Lo stato al tempo iniziale è una combinazione lineare dello stato fondamentale e del primo stato eccitato della particella nella buca di potenziale infinita, essendo gli unici che soddisfano la condizione. In generale:
$ |Psi,0> = c_1 |1>+e^(itheta)c_2|2> $ con $c_1$,$c_2$ $in R$, e $|$$ n> dot= Psi_n(x)=sqrt(2/L) sin(k_nx) $ con $ k_n = ((npi)/L) $.
perchè $c_1$ e $c_2$ ?
@Light_ in quel risultato del modulo quadro credo di aver scritto una stupidaggine 
Passando alla rappresentazione delle $x$ (e sostituendo $k_2 = 2k_1$), ho impostato l'integrale come $P = 2/L int_(0)^(L/2) [c_1^2sin^2(k_1x)+c_2^2sin^2(2k_1x)+c_1c_2e^(itheta)sin(k_1 x)sin(2k_1x)+c_1c_2e^(-itheta)sin(k_1x)sin(2k_1x)] dx $ e appunto per la condizione di normalizzazione che hai scritto, pensavo di porre questo uguale ad $1$.
@ludwigZero poichè non conosco le ampiezze di probabilità, suppongo di dover lavorare proprio su queste per trovare il particolare stato che massimizzi la probabilità
Passando alla rappresentazione delle $x$ (e sostituendo $k_2 = 2k_1$), ho impostato l'integrale come $P = 2/L int_(0)^(L/2) [c_1^2sin^2(k_1x)+c_2^2sin^2(2k_1x)+c_1c_2e^(itheta)sin(k_1 x)sin(2k_1x)+c_1c_2e^(-itheta)sin(k_1x)sin(2k_1x)] dx $ e appunto per la condizione di normalizzazione che hai scritto, pensavo di porre questo uguale ad $1$.
@ludwigZero poichè non conosco le ampiezze di probabilità, suppongo di dover lavorare proprio su queste per trovare il particolare stato che massimizzi la probabilità
appunto per la condizione di normalizzazione che hai scritto, pensavo di porre questo uguale ad 1.
La normalizzazione si fa su tutto lo spazio accessibile, perché integri da 0 a L/2?
L'impostazione che ho fatto 
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