Meccanica Quantistica: piccolo passaggio matematico dubbioso
Salve,
sto studiando meccanica quantistica in particola l'approccio classico al problema della radiazione del Corpo Nero.
Non riesco a capire un passaggio matematico (si veda scritta in rosso).
1. Viene definita l'energia media \(\displaystyle \bar{\varepsilon} \) degli oscillatori armonici presenti nella materia così:
[tex]\bar{\varepsilon}=\dfrac{\int_0^\infty \varepsilon e^{-\beta \varepsilon} \, d \varepsilon }{\int_0^\infty e^{-\beta \varepsilon} \, d \varepsilon}= - \frac{\partial }{\partial \beta} \bigg[\ln{ \int_0^\infty e^{-\beta \varepsilon} d\varepsilon}\bigg][/tex] Come spunta fuori quella derivata parziale negativa fatta rispetto a \(\displaystyle \beta \) a partire da un rapporto tra integrali? Centra qlcs la DISTRIBUZ. di Probab di Boltzmann?
2. Dopo una serie di passaggi matematici si arriva a dire
[tex]\bar{\varepsilon} = \dfrac{1}{\beta}=k_B T[/tex]
3. Si sostituisce nella relazione di Rayleigh-Jeans:
[tex]\rho(\lambda,T)=\dfrac{8\pi}{\lambda^4} \bar{\varepsilon}=\dfrac{8\pi}{\lambda^4} k_B \,T[/tex] dove \(\displaystyle \rho(\lambda, T) \) è la densità di energia per unità di volume nel modello della cavità che approx. bene il corpo nero.
sto studiando meccanica quantistica in particola l'approccio classico al problema della radiazione del Corpo Nero.
Non riesco a capire un passaggio matematico (si veda scritta in rosso).
1. Viene definita l'energia media \(\displaystyle \bar{\varepsilon} \) degli oscillatori armonici presenti nella materia così:
[tex]\bar{\varepsilon}=\dfrac{\int_0^\infty \varepsilon e^{-\beta \varepsilon} \, d \varepsilon }{\int_0^\infty e^{-\beta \varepsilon} \, d \varepsilon}= - \frac{\partial }{\partial \beta} \bigg[\ln{ \int_0^\infty e^{-\beta \varepsilon} d\varepsilon}\bigg][/tex] Come spunta fuori quella derivata parziale negativa fatta rispetto a \(\displaystyle \beta \) a partire da un rapporto tra integrali? Centra qlcs la DISTRIBUZ. di Probab di Boltzmann?
2. Dopo una serie di passaggi matematici si arriva a dire
[tex]\bar{\varepsilon} = \dfrac{1}{\beta}=k_B T[/tex]
3. Si sostituisce nella relazione di Rayleigh-Jeans:
[tex]\rho(\lambda,T)=\dfrac{8\pi}{\lambda^4} \bar{\varepsilon}=\dfrac{8\pi}{\lambda^4} k_B \,T[/tex] dove \(\displaystyle \rho(\lambda, T) \) è la densità di energia per unità di volume nel modello della cavità che approx. bene il corpo nero.
Risposte
[xdom="JoJo_90"]Il questio mi sembra più adatto per la sezione di Fisica. Sposto.[/xdom]
"hastings":
1. Viene definita l'energia media \(\displaystyle \bar{\varepsilon} \) degli oscillatori armonici presenti nella materia così:
[tex]\bar{\varepsilon}=\dfrac{\int_0^\infty \varepsilon e^{-\beta \varepsilon} \, d \varepsilon }{\int_0^\infty e^{-\beta \varepsilon} \, d \varepsilon}= - \frac{\partial }{\partial \beta} \bigg[\ln{ \int_0^\infty e^{-\beta \varepsilon} d\varepsilon}\bigg][/tex] Come spunta fuori quella derivata parziale negativa fatta rispetto a \(\displaystyle \beta \) a partire da un rapporto tra integrali? Centra qlcs la DISTRIBUZ. di Probab di Boltzmann?
Hai provato a calcolare materialmente la derivata?
Si, la derivata la so calcolare e fa [tex]\frac{1}{\beta}[/tex]. Io mi chiedevo come mai il rapporto tra due integrali viene riscritto come derivata negativa della q.tà in parentesi quadre? Quale ragionamento si nasconde dietro quel segno di uguaglianza?
"hastings":
Si, la derivata la so calcolare e fa [tex]\frac{1}{\beta}[/tex].
Sicuro?
[tex]-\frac{\partial}{\partial\beta} \ln{\int e^{-\beta \epsilon} d\epsilon} = -\frac{\frac{\partial}{\partial\beta} \int e^{-\beta \epsilon} d\epsilon}{\int e^{-\beta \epsilon} d\epsilon}=\frac{\int \epsilon \ e^{-\beta\epsilon} d\epsilon}{\int e^{-\beta\epsilon} d\epsilon}[/tex]
"yoshiharu":
[quote="hastings"]Si, la derivata la so calcolare e fa [tex]\frac{1}{\beta}[/tex].
Sicuro?
[tex]-\frac{\partial}{\partial\beta} \ln{\int e^{-\beta \epsilon} d\epsilon} = -\frac{\frac{\partial}{\partial\beta} \int e^{-\beta \epsilon} d\epsilon}{\int e^{-\beta \epsilon} d\epsilon}=\frac{\int \epsilon \ e^{-\beta\epsilon} d\epsilon}{\int e^{-\beta\epsilon} d\epsilon}[/tex]
[/quote]Mi e' venuto in mente che forse non sono stato del tutto univoco prima: quando dicevo "calcolare la derivata" intendevo proprio calcolare solo la derivata (quella che si chiama derivata sotto il segno di integrale - qui e' semplice perche' gli estremi di integrazione sono costanti).
Che e' una cosa che torna utile in generale: per esempio, come fai a calcolare l'energia media (classica, per esempio) per una hamiltoniana qualsiasi? La risposte e' sempre la derivata del logaritmo della funzione di partizione, cambiata di segno.
Spero che cosi' sia piu' chiaro.
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