[meccanica quantistica] oscillatore armonico operatore all'esponente

[ludwigZero]

Salve
Ho uno stato iniziale di oscillatore armonico 1D così scritto:

$\Psi(x)=N e^[\c a^+] \Psi_0$

con c numero complesso ...

come faccio a riscrivermi meglio questo operatore esponente? (non l'ho mai visto a lezione)

guardando su wiki ho trovato questo (X è un operatore):

$e^X = \sum_(n=0) (X^n)/(n!)$

potrei dunque scrivere: $e^(c a^+) = c/(c!) a^+$ ?

grazie

[cooper1]

l'esponenziale di un operatore è definito dallo sviluppo formale in serie dell’esponenziale, quindi
$e^A=sum_(n=0)^(oo)(A^n)/(n!)$.
quindi nel nostro caso abbiamo
$e^(ca^(\text{+}))=sum_(n=0)^(oo)(ca^(\text{+}))^n/(n!)=sum_(n=0)^(oo)(c^n)/(n!)(a^(\text{+}))^n$.

[ludwigZero]

perfetto, dato che opera sullo stato fondamentale ed è nella forma $(a^+)^n |0>$ per l'oscillatore armonico gli n stati si scrivono come:
$| n> = (1/sqrt(n!))(a^+)^n | 0> $

quindi

$\Psi_0 = N \sum_(n=0) (c^n)/(n!) sqrt(n!) \Psi_n$

confermi?
_____
P.S
se avessi voluto usare la classica $a^+ |n> = (n+1) |n+1>$
avrei potuto farlo? in generale come opera un operatore creazione elevato alla n? $(a^+)^n |n> = n! (n+1) |n+1>$ è sbagliata?

[cooper1]

"ludwigZero":confermi?

corretto

"ludwigZero":P.S

attento che manca una radice. comunque mi sembra sbagliata lo stesso. io direi che succede questo (vado a braccio, non l'ho mai usata in vita mia)
$(a^(\text{+}))^n |n> = (a^(\text{+}))^(n-1) (a^(\text{+}))|n> = sqrt(n+1)(a^(\text{+}))^(n-1) |n+1> = * * * = sqrt(n+1) * * * sqrt(2n) |2n>$

[ludwigZero]

Sto cercando di normalizzarla, ma credo di toppare alla grande ... come si fa a normalizzare una sommatoria?

$(\Psi_0 , \Psi_0)=1$

$N^2 (\sum_(n=0) (c^n)/(sqrt(n!)) \Psi_n , \sum_(n=0) (c^n)/(sqrt(n!)) \Psi_n)=1$

ho pensato che se srotolassi tutta quella somma da 0 a n ... la somma sarebbe:
$N^2 (1 \Psi_0 + ... + (c^n)/(sqrt(n!)) \Psi_n ,1 \Psi_0 + ... + (c^n)/(sqrt(n!)) \Psi_n ) = 1$

ora solo i termini del tipo $=1$ sopravvivono, e quindi i coefficienti di ogni autostato si eleva al quadrato, rimanendo:

$N^2 (1 + ... + (c^(2n))/((n!)) ) = 1$

ritornando alla sommatoria

$N^2 \sum_(n=0) (c^(2n))/((n!)) = 1$

e quindi $N = \sum_(n=0) (sqrt(n!))/c^n$

potrebbe andare secondo te?

grazie

[cooper1]

occhio a tre cose:
1. l'inverso di una sommatoria non è l'inverso del termine generale!!!
2. stesso discorso con la radice!!!
3. quando vai a fare il prodotto scalare devi prendere il bra corrispondente e quindi nella parte di sinistra le c diventano il complesso coniugato.
considerando quindi 3, abbiamo
$1=N^2 sum_(n=0)^(oo)(|c|^(2))^n/(n!)=N^2e^(|c|^2) \Rightarrow N=e^(-|c|^2/2)$

[ludwigZero]

"cooper":
3. quando vai a fare il prodotto scalare devi prendere il bra corrispondente e quindi nella parte di sinistra le c diventano il complesso coniugato.
considerando quindi 3, abbiamo
$1=N^2 sum_(n=0)^(oo)(|c|^(2))^n/(n!)=N^2e^(|c|^2) \Rightarrow N=e^(-|c|^2/2)$

non capisco come faccia a diventare direttamente $e^(-|c|^2/2)$ non dovrebbe essere solo e^(-|c|^2) ?

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domanda sciocca scusatemi tutto ok.
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sto cercando di calcolare vari valori medi (domanda che ho posto in un topic a parte, ma se @cooper me lo permette, vorrei scrivere qui // così da non essere dispersivo)

[cooper1]

"ludwigZero":domanda sciocca scusatemi tutto ok.

"ludwigZero":sto cercando di calcolare vari valori medi (domanda che ho posto in un topic a parte, ma se @cooper me lo permette, vorrei scrivere qui // così da non essere dispersivo)

non per essere bacchettone ma secondo me è meglio lasciare così, anche perchè sono due domande non correlate.