Meccanica quantistica notazione di Dirac

[keyzan1]

$ -i|varphi 1> = lambda|varphi 1> $ Qualcuno riesce ad aiutarmi con questo "semplice esercizio"? Questa settimana ho iniziato a studiare la notazione di Dirac e gli operatori. Nonostante ciò non riesco proprio a risolvere questo esercizio:




Per trovare gli autovettori e autovalori dovrei considerare l'eq.:
$ hat(A) |psi> = lambda |psi> $
Ma a questo punto chi è $ |psi> $ ?
Devo sostituirci $ |varphi 1 > $ ? In questo caso ho come risultato: $ i|varphi 1> - i|varphi 2> = lambda|varphi 1> $
A sinistra la prima parte è zero perchè i due phi sono ortonormali. Il secondo bra-ket è uno. Quindi il risultato è:
$ -i|varphi 1> = lambda|varphi 1> $. A questo punto posso dire che phi è un autovettore a cui corrisponde un autovalore $ lambda = -i $ ? Il ragionamento è giusto?

[Noodles1]

In generale, anche in casi più complessi per intenderci, puoi sempre determinare la rappresentazione matriciale dell'operatore rispetto alla medesima base:

$i[[1],[0],[0]]*[[0,1,0]]-i[[0],[1],[0]]*[[1,0,0]]=$

$=i[[0,1,0],[0,0,0],[0,0,0]]-i[[0,0,0],[1,0,0],[0,0,0]]=$

$=[[0,i,0],[-i,0,0],[0,0,0]]$

"keyzan1":
Il ragionamento è giusto?

Poichè gli autovalori devono essere reali, si tratta di un operatore hermitiano a vista, qualcosa non torna. Ad ogni modo, se procedi per tentativi, è facile dimostrare che solo il terzo ket della base è un autovettore relativo all'autovalore nullo:

$hat(A)varphi_1=-ivarphi_2$

$hat(A)varphi_2=ivarphi_1$

$hat(A)varphi_3=0$

[keyzan1]

Mi sapresti consigliare un libro (magari facilmente reperibile online) con esercizi di questo tipo con le soluzioni?

[Noodles1]

Nella migliore delle ipotesi, un libro ne può contenere uno, al massimo due. Del resto, se hai capito come ricavare la rappresentazione matriciale dell'operatore, tipicamente hermitiano, l'esercizio si riduce a determinare autovalori e autovettori di una matrice, tipicamente hermitiana.

[keyzan1]

No sinceramente non ho ben capito come fare a ricavare la rappresentazione matriciale di un operatore. Cioè seguendo quello che hai scritto tu sopra e avendo ad esempio un operatore del tipo:




dovrebbe essere:

$ hat(A) = ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( ...) ) ( 1 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \ \ ... )+ ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( ...) ) ( 0 \ \ 1 \ \ 0 \ \ 0 \ \ ... )+ ... $ ?

Ma se avessi un operatore diverso? non composto da ket-bra come questi? come lo rappresento in forma di matrice?

[Noodles1]

Intanto, l'operatore sottostante:

altro non è che l'operatore identità. Per esempio, in un sistema a tre stati:

$[[1],[0],[0]]*[[1,0,0]]+[[0],[1],[0]]*[[0,1,0]]+[[0],[0],[1]]*[[0,0,1]]=$

$=[[1,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]+[[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]+[[0,0,0],[0,0,0],[0,0,1]]=$

$=[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]$

Ti ricordo che, in generale, moltiplicando una matrice colonna di ordine k per una matrice riga di ordine k si ottiene una matrice quadrata di ordine k. Inoltre:

tratti dal Sakurai in inglese.

"keyzan1":
Ma se avessi un operatore diverso? Non composto da ket - bra come questi?

In che senso non composto da ket - bra come questi? Voglio dire, fissata una qualsiasi base di uno spazio vettoriale relativo a un sistema a tre stati, non necessariamente ortonormale, le componenti dei vettori della base saranno sempre quelle sottostanti:

$[[1],[0],[0]] ^^ [[0],[1],[0]] ^^ [[0],[0],[1]]$

Ripeto, il motivo per cui non è necessario svolgere troppi esercizi, è che ogni esercizio si riduce facilmente ad un esercizio di algebra lineare.

[keyzan1]

Grazie ho capito. Alla fine basta considerare la matrice rappresentativa di un operatore e diventa molto semplice. Sto leggendo il sakurai e lo trovo davvero molto chiaro, anche più del cohen. Purtroppo mi ci vogliono dei giorni per capire a fondo il significato di ogni passaggio. Spesso anche quando penso di aver capito in realtà ho capito solo in modo superficiale. Grazie per l'aiuto!