Meccanica Quantistica: indistinguibilità
Ciao 
, sto cercando di capire il principio come da titolo ma non riesco a interpretarlo per quanto banale.
Io so che la funzione d'onda va simmmetrizzata in caso di particelle indistinguibili (studiamo solo la pare spaziale):
$Psi(x_1,x_2)=1/sqrt2[psi_a(x_1)psi_b(x_2)+psi_b(x_1)psi_a(x_2)]$
e si adduce come "scusa" al motivo che le particelle in quanto indistinguibili possono essere scambiate.
Io non capisco quanto segue del ragionamento, quando io scrivo la sola $Psi(x_1,x_2)=psi_a(x_1)psi_b(x_2)$ ma sinceramente mi pare che già così non sto distinguendo le particelle. Io asserisco solo che una (qualsiasi delle due) particelle si trova in posizione $x_1$ e stato $psi_a$ (ma ne il pedice 1 né il pedice a sono assegnati auna particella, 1 e 2 diconosolo che la x corre nelle x1 e ho lo stato psi di a) e che l'altra delle due si trova in posizione $x_2$ e stato $psi_b$.
benissimo, MA x1 e x2 possono essere occupati in modo indistinguibile sia dalla particella 1 che 2, quindi perché dovrei scrivere la formulazione con "+"? E il discorso dello scambio delle funzioni d'onda non mi è chiaro. Non mi è chiaro questo cosa c'entri con l'indistinguibilità e online nessuna fonte ne parla, dicono sempre e solo "dato che indistinguibili non so se ho una particella in posizione 1 o 2 e l'altra in 1 o 2", si è vero ma infatti nessuno dice che una occupa una sinogla posizione.
inltre quando si scrive $Psi(x_1,x_2)=1/sqrt2[psi_a(x_1)psi_b(x_2)+psi_b(x_1)psi_a(x_2)]$ nessuno dice che la particella 1 sarà in psi1 o psi_b e che sono scambiate.
Non ho proprio capito questo ragionamento, e proprio NESSUNO ha voglia di scambiare idee al riguardo?
, sto cercando di capire il principio come da titolo ma non riesco a interpretarlo per quanto banale.Io so che la funzione d'onda va simmmetrizzata in caso di particelle indistinguibili (studiamo solo la pare spaziale):
$Psi(x_1,x_2)=1/sqrt2[psi_a(x_1)psi_b(x_2)+psi_b(x_1)psi_a(x_2)]$
e si adduce come "scusa" al motivo che le particelle in quanto indistinguibili possono essere scambiate.
Io non capisco quanto segue del ragionamento, quando io scrivo la sola $Psi(x_1,x_2)=psi_a(x_1)psi_b(x_2)$ ma sinceramente mi pare che già così non sto distinguendo le particelle. Io asserisco solo che una (qualsiasi delle due) particelle si trova in posizione $x_1$ e stato $psi_a$ (ma ne il pedice 1 né il pedice a sono assegnati auna particella, 1 e 2 diconosolo che la x corre nelle x1 e ho lo stato psi di a) e che l'altra delle due si trova in posizione $x_2$ e stato $psi_b$.
benissimo, MA x1 e x2 possono essere occupati in modo indistinguibile sia dalla particella 1 che 2, quindi perché dovrei scrivere la formulazione con "+"? E il discorso dello scambio delle funzioni d'onda non mi è chiaro. Non mi è chiaro questo cosa c'entri con l'indistinguibilità e online nessuna fonte ne parla, dicono sempre e solo "dato che indistinguibili non so se ho una particella in posizione 1 o 2 e l'altra in 1 o 2", si è vero ma infatti nessuno dice che una occupa una sinogla posizione.
inltre quando si scrive $Psi(x_1,x_2)=1/sqrt2[psi_a(x_1)psi_b(x_2)+psi_b(x_1)psi_a(x_2)]$ nessuno dice che la particella 1 sarà in psi1 o psi_b e che sono scambiate.
Non ho proprio capito questo ragionamento, e proprio NESSUNO ha voglia di scambiare idee al riguardo?
Risposte
"uappo":
... quando io scrivo la sola:
$\Psi(x_1,x_2)=\psi_a(x_1)\psi_b(x_2)$
ma sinceramente mi pare che già così non sto distinguendo le particelle ...
Veramente le stai distinguendo. La scrittura di cui sopra significa che la particella etichettata $1$ è nello stato la cui funzione d'onda è $\psi_a$, la particella etichettata $2$ è nello stato la cui funzione d'onda è $\psi_b$.
Grazie @Noodles!! Ho rimesso la domanda perché nessuno me l'ha calcolata da settimane, ti ringrazio tanto per aiutarmi.
Ah ecco mi ero completamente perso questa cosa, nel senso che io la vedevo come $x_i$, i una etichetta che davo per dire che una (tra le due) particelle stava in posizione $x_i$ e nulla più. Però in xi potevo metterci entrambe le particelle.
Il fatto è che mi lascia però confuso questa tua interpretazione per un fatto semplice. Quando ad esempio calcolo il valor medio: $<(x_1-x_2)>$ e si arriva a calcolare tra gli altri $$ e $$ si avrebbe ad esempio: $intx_1^2|psi_a(x_1)|^2dx_1$ ebbene, in questo caso si dice "dato che la variabile è muta chiamiamo x=x1 e abbiamo: $ = = $ ma questo visione ora pone degli interrogativi: io vedevo questo passaggio come dire la propabilità di misurare x1 proprio perché x1 è intercambiabile con x2 ci permette di chiamare x la variaible dato che quella posizione non è associata a una delle due in particolare. Quindi fare la media di $x_1^2$ è la media su una posizione di una delle due qualsiasi particelle.
Mentre se ora mi dici che x1 è l'etichetta che dò alla posizione della prima particella, a me sembra che in quell integrale rinominare x=x1=x2 crea problemi perché sto facendo diventare le due particelle come una unica. non so se ho spiegato il dilemma che mi affligge.
Ah ecco mi ero completamente perso questa cosa, nel senso che io la vedevo come $x_i$, i una etichetta che davo per dire che una (tra le due) particelle stava in posizione $x_i$ e nulla più. Però in xi potevo metterci entrambe le particelle.
Il fatto è che mi lascia però confuso questa tua interpretazione per un fatto semplice. Quando ad esempio calcolo il valor medio: $<(x_1-x_2)>$ e si arriva a calcolare tra gli altri $
Mentre se ora mi dici che x1 è l'etichetta che dò alla posizione della prima particella, a me sembra che in quell integrale rinominare x=x1=x2 crea problemi perché sto facendo diventare le due particelle come una unica. non so se ho spiegato il dilemma che mi affligge.
Ammesso e non concesso che tu ti stia ancora riferendo alla funzione d'onda sottostante:
per quanto riguarda il valore medio di cui parli:
Motivo per cui, se i due stati sono diversi, non è possibile ridurre il calcolo dei due integrali al calcolo di uno solo.
$\Psi(x_1,x_2)=\psi_a(x_1)\psi_b(x_2)$
per quanto riguarda il valore medio di cui parli:
$\intdx_1dx_2(x_1-x_2)|\psi_a(x_1)|^2|\psi_b(x_2)|^2=$
$=\intdx_1dx_2x_1|\psi_a(x_1)|^2|\psi_b(x_2)|^2-\intdx_1dx_2x_2|\psi_a(x_1)|^2|\psi_b(x_2)|^2=$
$=\intdx_1x_1|\psi_a(x_1)|^2-\intdx_2x_2|\psi_b(x_2)|^2$
Motivo per cui, se i due stati sono diversi, non è possibile ridurre il calcolo dei due integrali al calcolo di uno solo.
Sì, la mia intenzione era studiare sia quella da te indicata, che l'altra cioè quella dimmetrica che scrivevo nel primo messaggio (quella col +) e vederne le differenze.
Credo ci siano allora un po' di cose da mettere in ordine e spero di non spazientirti con la mia stupidità, ma voglio proprio capire ed essendo tu molto peparato vorrei provare a capire più che posso dai tuoi gentili messaggi.
Per rispondere al tuo intervento:
Ah ecco perché nella trattazione il mio professore ha scritto (per la f.d.o. da te indicata):
$Delta^2:=<(x1−x2)> =^2 + ^2 - 2$, quindi ha calcolato questi tre valori medi, e ha detto (ad esempio per $$): $intx_1^2 |psi_a(x_1)|^2dx_1int|psi_a(x_2)|^2dx_2=intx_1^2 |psi_a(x_1)|^2dx_1*1$ dato che la variabile di integrazione è muta posso scrivere: $_a= intx_1^2 |psi_a(x_1)|^2dx_1=intx_1^2 |psi_a(x)|^2dx= _a$.
Ripetendo ragionamenti del tutto analoghi per i 3 pezzi di $Delta^2$ scrive (per la f.d.o distinguibile): $Delta^2=_a+_b-2_a_b$
Mi sembra invece che anche tu mi dai ragione sul fatto che chiamare tutto x non sia così corretto, proprio perché x1 e x2 indican cose diverse di fatto e la scusa di usare la variabile muta mi sembra che va a cancellare questa distinguibilità.
Passando invece al caso indistinguibile, qundi la fdo mettiamo simmetrica, anche qui ho fortissimi dubbi, perché se io ho detto che x1 si riferisce alla particella 1 e x2 alla particella 2 quando io calcolo l'integrale non posso in ogni caso chiamare x=x1=x2 perché questo vorrebbe dire che x1 indica sia la particella 1 che la 2 (e così per x2) nella $phi:=1/sqrt2[psi_a(x_1)psi_b(x_2)+psi_b(x_1)psi_a(x_2)]$. Invece questa scrittura ci dice che x1 è la posizione della particella 1 solo che essa può essere in due stati "psi a" e "psi b".
Credo di essermi del tutto incastrato su questi concetti.
Ciò detto, stavo veleggiando col pensiero e ho trovato un ulteriore puto che mi lascia perplesso.
Prendiamo l'elemento di volume $d^3vecx_1$ e $d^3vecx_2$, siccome quando scrivo la fdo: $phi:=1/sqrt2[psi_a(x_1)psi_b(x_2)+psi_b(x_1)psi_a(x_2)]$ simmetrizzata questo vuol dire che x1 si trova in $psi_a$ moltiplicato x2 che si trova in $psi_b$ meno x1 che si trova in $psi_b$ per x2 che si trova in $psi_a$
Quando io calcolo $|phi|^2d^2vecx_1d^3vecx_2$ mi crea alcuni dubbi, perché appunto siccome hai detto che x1 si riferisce alla particella 1 e x2 alla 2, questo vuol dire che sto guardando la probabilità di trovare x1 nel volumetto $d^3vecx_1$ e x2 nel volumeto $d^3vecx_2$, ma questo non è come ammettere una distinguibilità? Io sto distinguendo i volumetti 1 e 2. mentre io non so se la particella 1 sia del volumetto dx1 o dx2 e questo sembra un altro elemento che avvalora la tesi che x1 non si riferisca alla particella 1 ma alla 2. Non so se sono riuscito a spiegare il mio mega-dubbio. Spero
Credo ci siano allora un po' di cose da mettere in ordine e spero di non spazientirti con la mia stupidità, ma voglio proprio capire ed essendo tu molto peparato vorrei provare a capire più che posso dai tuoi gentili messaggi.
Per rispondere al tuo intervento:
Ah ecco perché nella trattazione il mio professore ha scritto (per la f.d.o. da te indicata):
$Delta^2:=<(x1−x2)> =
Ripetendo ragionamenti del tutto analoghi per i 3 pezzi di $Delta^2$ scrive (per la f.d.o distinguibile): $Delta^2=
Mi sembra invece che anche tu mi dai ragione sul fatto che chiamare tutto x non sia così corretto, proprio perché x1 e x2 indican cose diverse di fatto e la scusa di usare la variabile muta mi sembra che va a cancellare questa distinguibilità.
Passando invece al caso indistinguibile, qundi la fdo mettiamo simmetrica, anche qui ho fortissimi dubbi, perché se io ho detto che x1 si riferisce alla particella 1 e x2 alla particella 2 quando io calcolo l'integrale non posso in ogni caso chiamare x=x1=x2 perché questo vorrebbe dire che x1 indica sia la particella 1 che la 2 (e così per x2) nella $phi:=1/sqrt2[psi_a(x_1)psi_b(x_2)+psi_b(x_1)psi_a(x_2)]$. Invece questa scrittura ci dice che x1 è la posizione della particella 1 solo che essa può essere in due stati "psi a" e "psi b".
Credo di essermi del tutto incastrato su questi concetti.
Ciò detto, stavo veleggiando col pensiero e ho trovato un ulteriore puto che mi lascia perplesso.
Prendiamo l'elemento di volume $d^3vecx_1$ e $d^3vecx_2$, siccome quando scrivo la fdo: $phi:=1/sqrt2[psi_a(x_1)psi_b(x_2)+psi_b(x_1)psi_a(x_2)]$ simmetrizzata questo vuol dire che x1 si trova in $psi_a$ moltiplicato x2 che si trova in $psi_b$ meno x1 che si trova in $psi_b$ per x2 che si trova in $psi_a$
Quando io calcolo $|phi|^2d^2vecx_1d^3vecx_2$ mi crea alcuni dubbi, perché appunto siccome hai detto che x1 si riferisce alla particella 1 e x2 alla 2, questo vuol dire che sto guardando la probabilità di trovare x1 nel volumetto $d^3vecx_1$ e x2 nel volumeto $d^3vecx_2$, ma questo non è come ammettere una distinguibilità? Io sto distinguendo i volumetti 1 e 2. mentre io non so se la particella 1 sia del volumetto dx1 o dx2 e questo sembra un altro elemento che avvalora la tesi che x1 non si riferisca alla particella 1 ma alla 2. Non so se sono riuscito a spiegare il mio mega-dubbio. Spero
Onde evitare malintesi sarebbe meglio chiarire se devi calcolare il valore medio di:
o il valore medio di:
Ad ogni modo, presumendo il secondo caso, almeno per quanto riguarda la funzione d'onda sottostante:
si ha:
In definitiva, gli integrali da calcolare sono 4:
e, a questo punto, il simbolo utilizzato per la variabile di integrazione non ha alcuna rilevanza. Insomma, non è utilizzando il simbolo $x$ in ognuno dei 4 integrali che le particelle diventano indistinguibili.
Assolutamente no. Dove hai avuto questa impressione?
$x_1-x_2$
o il valore medio di:
$(x_1-x_2)^2$
Ad ogni modo, presumendo il secondo caso, almeno per quanto riguarda la funzione d'onda sottostante:
$\Psi(x_1,x_2)=\psi_a(x_1)\psi_b(x_2)$
si ha:
$\intdx_1dx_2(x_1-x_2)^2|\psi_a(x_1)|^2|\psi_b(x_2)|^2=$
$=\intdx_1x_1^2|\psi_a(x_1)|^2+\intdx_2x_2^2|\psi_b(x_2)|^2-2\intdx_1x_1|\psi_a(x_1)|^2\intdx_2x_2|\psi_b(x_2)|^2$
In definitiva, gli integrali da calcolare sono 4:
$\intdx_1x_1^2|\psi_a(x_1)|^2$
$\intdx_2x_2^2|\psi_b(x_2)|^2$
$\intdx_1x_1|\psi_a(x_1)|^2$
$\intdx_2x_2|\psi_b(x_2)|^2$
e, a questo punto, il simbolo utilizzato per la variabile di integrazione non ha alcuna rilevanza. Insomma, non è utilizzando il simbolo $x$ in ognuno dei 4 integrali che le particelle diventano indistinguibili.
"uappo":
Mi sembra invece che anche tu mi dai ragione sul fatto che chiamare tutto $x$ ...
Assolutamente no. Dove hai avuto questa impressione?
Sì ho fatto un pasticcio con le formule, non essendo avvezzo: voleva essere il valore medio di: $(x_1−x_2)^2$, non mi ero accorto della svista.
Però prima di affrontare questo calcolo credo di dover capire qualcosa prima perché non riesco a afferrare le cose.
- Ho capito che $Psi(x_1,x_2)=psi_a(x_1)psi_b(x_2)$ vuol dire: la particella 1 è nello stato ψa e la particella 2 è nello stato ψb.
- Quindi questo ci dice che $Psi(x_1,x_2)=1/sqrt2[psi_a(x_1)psi_b(x_2)+psi_b(x_1)psi_a(x_2)]$ vuol dire: che x1 si trova in ψa moltiplicato x2 che si trova in ψb meno x1 che si trova in ψb per x2 che si trova in ψa. E' corretto?
Ok se è corretto allora mi crea un po' di problemi il discorso seguente:
Quando io calcolo $|phi|^2d^2vecx_1d^3vecx_2$ non mi torna un concetto, perché appunto siccome abbiamo detto che x1 si riferisce alla particella 1 e x2 alla 2, questo vuol dire che sto guardando la probabilità di trovare la particella 1 (variabilie x1) nel volumetto $d^3vecx_1$ e 2 nel volumeto $d^3vecx_2$, ma questo non è come ammettere una distinguibilità? Io sto distinguendo i volumetti 1 e 2. mentre per il suddetto principio io non dovrei sapere se la particella 1 sia del volumetto dx1 o dx2 ed è da considerazioni simili a queste che mi era nato il dubbio di apertura che x1 non si riferisca alla particella 1 ma sia alla 1 che alla 2.
Però, capito invece che erravo ed è cosi che va intesa quella notazione, grazie alla tua spiegazione, non riesco tuttavia a far funzionare la tua corretta interpretazione con questo esempio dei volumetti, dove mi sembra ci sia una distinguibilità: mentre io immaginavo che dx1 e dx2 potessero avere eentrambe le particelle al loro interno non potendoli distinguere.
la questione variabile muta per gli integrali affrontiamola dopo perché prima credo di dover capire bene queste notazioni senno faccio casini.
Però prima di affrontare questo calcolo credo di dover capire qualcosa prima perché non riesco a afferrare le cose.
- Ho capito che $Psi(x_1,x_2)=psi_a(x_1)psi_b(x_2)$ vuol dire: la particella 1 è nello stato ψa e la particella 2 è nello stato ψb.
- Quindi questo ci dice che $Psi(x_1,x_2)=1/sqrt2[psi_a(x_1)psi_b(x_2)+psi_b(x_1)psi_a(x_2)]$ vuol dire: che x1 si trova in ψa moltiplicato x2 che si trova in ψb meno x1 che si trova in ψb per x2 che si trova in ψa. E' corretto?
Ok se è corretto allora mi crea un po' di problemi il discorso seguente:
Quando io calcolo $|phi|^2d^2vecx_1d^3vecx_2$ non mi torna un concetto, perché appunto siccome abbiamo detto che x1 si riferisce alla particella 1 e x2 alla 2, questo vuol dire che sto guardando la probabilità di trovare la particella 1 (variabilie x1) nel volumetto $d^3vecx_1$ e 2 nel volumeto $d^3vecx_2$, ma questo non è come ammettere una distinguibilità? Io sto distinguendo i volumetti 1 e 2. mentre per il suddetto principio io non dovrei sapere se la particella 1 sia del volumetto dx1 o dx2 ed è da considerazioni simili a queste che mi era nato il dubbio di apertura che x1 non si riferisca alla particella 1 ma sia alla 1 che alla 2.
Però, capito invece che erravo ed è cosi che va intesa quella notazione, grazie alla tua spiegazione, non riesco tuttavia a far funzionare la tua corretta interpretazione con questo esempio dei volumetti, dove mi sembra ci sia una distinguibilità: mentre io immaginavo che dx1 e dx2 potessero avere eentrambe le particelle al loro interno non potendoli distinguere.
la questione variabile muta per gli integrali affrontiamola dopo perché prima credo di dover capire bene queste notazioni senno faccio casini
.
"uappo":
... questo ci dice che:
$Psi(x_1,x_2)=1/sqrt2[psi_a(x_1)psi_b(x_2)+psi_b(x_1)psi_a(x_2)]$
vuol dire: che x1 si trova in ψa moltiplicato x2 che si trova in ψb meno x1 che si trova in ψb per x2 che si trova in ψa. E' corretto?
Mi sembra una spiegazione piuttosto infelice. Ammesso e non concesso che tu volessi scrivere "più" e non "meno", quella funzione d'onda rappresenta lo stato di due bosoni identici indistinguibili, uno, impossibile sapere quale, nello stato di funzione d'onda $\psi_a$ e l'altro, impossibile sapere quale, nello stato di funzione d'onda $\psi_b$. Descrivere le operazioni matematiche coinvolte scomodando $x_1$ e $x_2$, almeno in prima battuta, serve solo a complicare inutilmente le cose.
"uappo":
... mi crea un po' di problemi il discorso seguente:
Poichè la densità di probabilità è la somma di quattro termini:
$1/2psi_a(x_1)psi_b(x_2)barpsi_a(x_1)barpsi_b(x_2)$
$1/2psi_a(x_1)psi_b(x_2)barpsi_b(x_1)barpsi_a(x_2)$
$1/2psi_b(x_1)psi_a(x_2)barpsi_a(x_1)barpsi_b(x_2)$
$1/2psi_b(x_1)psi_a(x_2)barpsi_b(x_1)barpsi_a(x_2)$
in seconda battuta devi partire da qui. Vero è che, più semplicemente, sembri essere interessato alla sola interpretazione della scrittura sottostante:
$|Psi(x_1,x_2)|^2d^3x_1d^3x_2$
senza considerarne la scomposizione. Ad ogni modo, se sono i pedici $1$ e $2$ ad infastidirti, nulla vieta di scrivere:
$|Psi(u,v)|^2d^3ud^3v$
essendo $u$ le coordinate di uno dei due bosoni, impossibile sapere quale, e $v$ le coordinate dell'altro, impossibile sapere quale. Insomma, il fatto che i due bosoni siano indistinguibili si riduce esclusivamente a scrivere la funzione d'onda come:
$Psi(u,v)=1/sqrt2[psi_a(u)psi_b(v)+psi_b(v)psi_a(u)]$
piuttosto che:
$psi_a(x_1)psi_b(x_2)$
oppure:
$psi_b(x_1)psi_a(x_2)$
dove le coordinate $u$ e $v$ stanno ad indicare che, nonostante i due bosoni siano indistinguibili, i medesimi bosoni sono pur sempre due.
P.S.
Trattandosi di farina del mio sacco e nella speranza che la logica abbia ancora un carattere universale, sei tu che devi correggermi se sbaglio.
Trattandosi di farina del mio sacco e nella speranza che la logica abbia ancora un carattere universale, sei tu che devi correggermi se sbaglio.Certo, certo
ma il bello è che ne stiamo discutendo assieme cercando di capirne di più (io). Poi, ovviamente, essendo te evidentemente più capace è molto più probabile che sia tu a correggere me 
. In ogni caso, quello che mi preme, è giungere a comprensione e pian piano sono sicuro che ci riuscirò grazie a questa discussione. Sperando non ti tedi troppo con le mie domande banalotte 
Il punto iniziale della mia irea era che x1 si riferisse sempre alla particella 1 e x2 alla due, e poi che scrivendo $Psi(x_1,x_2)=1/sqrt2[psi_a(x_1)psi_b(x_2)+psi_b(x_1)psi_a(x_2)]$ mi desse l'indistinguibilità per via del fatto che x1 (particella 1) sta sia in psia che psib mescolandosi. Invece forse sbaglio se ho capito il discorso.
Il discorso che fai in questo ultimo messaggio mi sembra di conividerlo; però assicuriamoci che abba capito, che il fraintendimento è sempre dietro l'angolo per me...
Il mio desiderio era capire la differenza tra: $Psi(x_1,x_2)=1/sqrt2[psi_a(x_1)psi_b(x_2)+psi_b(x_1)psi_a(x_2)]$ e $Psi(x_1,x_2)=psi_a(x_1)psi_b(x_2)$ che sfruttando la stessa notazione posizionale x1 e x2 non distinguevonei loro significati più profodni.
Invece, vediamo se appunto ho capito, espondo l'idea che mi sono fatto e dimmi se la condividi; in qual caso almneo posso dire di aver compreso.
Come ribadito $Psi(x_1,x_2)=psi_a(x_1)psi_b(x_2)$ questa vuol proprio dire particella 1 nello stato $psi_a$ "per" particella due nello stato $psi_b$ non essendoci indistinguibilità x1 e x2 rappresentano proprio con il pendice una particella e l'altra particella.
Nella scrittura $Psi(x_1,x_2)=1/sqrt2[psi_a(x_1)psi_b(x_2)+psi_b(x_1)psi_a(x_2)]$ i pedici invece cambiano di significato, proprio per via della indistinguibilità x1 e x2 sono ciascuno riferiti a entrambe le particelle. Ossia x1 è solo per dire che è la posizione su cui corre la $psi_a$ però x1 può essere "occupata" sia dalla particella 1 che dalla 2. Con occupata intendo che non so quale dei due stia lì, ma uno dei due.
Il mio errore (che ho scritto a principio di questo messaggio) soggiaceva nel dare lo stesso significato a x1 (analogo discorso per x2) nelle due $Psi_(text{distinguibile})$ e $Psi_(text{indistinguibile})$ nei casi distinguibile e non, questo perché ero convinto che l'indistinguibilità venisse dalla scrittura di una Psi che mettesse x1 e x2 intese di particella 1 e particella 2 in modo che fosse indistinguibile capire quale fosse nello stato a e b, cioè in soldoni io dicevo: dato che metto la particella x1 sia in $psia$ che in $psib$ allora è indistinguibile, però questa interpretazione creava poi problemi con la probabilità, perché in questo caso io sarei costretto a dire che nel volumeto dx1 attorno alla particella 1 ho una certa probabilità, e ho un'altra probabilità attorno a x2 in dx2: ma questo porta a una distinguibilità perché parlo di volumetto attorno a 1 e attorno a 2 (particelle ben distinte così), insomma non funzionava.
Invece il punto cardine della comprensione mi pare essere che nelle due $Psi$ distinguibile e non hanno due significati diversi proprio gli x1 e x2 stessi: appunto in quella distinguibile x1 lo lego a doppia mandata alla particella 1, mentre nella indistinguibile x1 è solo la posizione in cui studio $psi_a$ (sommata con $psi_b$ nel punto x1) ma con x1 occupabile da entrambe. In sostanza già a priori per quella indistinguibile dico x1 è occupata da entrambe le particelle, e x1 non si riferisce più come nel caso distinguibile solo alla particella 1.
Spero sia corretto. Vediamo
L'unica cosa che mi lascia incuriosito è pero che senso abbia in questo caso simmetrizzare la fdo, voglio dire: se x1 è gia occupabile[nota]nel senso sopra detto: cioè che in modo indistinguibile li ci sta una o l'altra particella[/nota] da entrambe (e così x2) non basta allora scrivere: $Psi(x_1,x_2)=psi_a(x_1)psi_b(x_2)$ interpretando x1 e x2 come occupabili da entrambe ho già una fdo che sicuramente rappresenta particelle indistinguibili (ripeto: simmetrizzare nella mia convinzione errata pensavo servisse a rendere x1 e x2 indistinguibili, ma se già dico che x1 e x2 sono occupabili da entrambe le particelle, allora automaticamente anche questa $Psi$ è per particelle indistinguibili)
PS: rileggendo il tuo post ora a tarda sera 00:30 mi accorgo di essere meno sicuro di aver compreso, attenderò la tua risposta per riragionarci sopra perché mi sembra di vedere questa faccenda su come vedere le $x_i$ come quei quadri che cambiano immagine a seconda di come li leggi e non riesco a carpire la giusta visione se faccia o vaso
. Perché comunque la leggo trovo una incongruenza o sulla probabilità o sul senso che do alle x.
Riassumendo:
Inoltre:
1. Il problema della distinguibilità e dell'indistinguibilità si esaurisce nella scrittura delle funzioni d'onda.
2. Se, nel caso delle particelle indistinguibili, il problema sono i pedici:
dove $u$ sono le coordinate spaziali di una delle due particelle, impossibile sapere quale, e $v$ le coordinate spaziali dell'altra, impossibile sapere quale. Infine, inutile aggiungere carne al fuoco se, per un qualche motivo, non si accetta la logica, che il sottoscritto ritiene cristallina, di quanto scritto sopra.
Particelle distinguibili
Particella $1$ nello stato $a$ e particella $2$ nello stato $b$
$psi_a(x_1)psi_b(x_2)$
Particella $1$ nello stato $b$ e particella $2$ nello stato $a$
$psi_b(x_1)psi_a(x_2)$
Particelle indistinguibili
Bosoni
$sqrt2/2[psi_a(x_1)psi_b(x_2)+psi_b(x_1)psi_a(x_2)]$
Fermioni
$sqrt2/2[psi_a(x_1)psi_b(x_2)-psi_b(x_1)psi_a(x_2)]$
Inoltre:
1. Il problema della distinguibilità e dell'indistinguibilità si esaurisce nella scrittura delle funzioni d'onda.
2. Se, nel caso delle particelle indistinguibili, il problema sono i pedici:
Bosoni
$sqrt2/2[psi_a(u)psi_b(v)+psi_b(v)psi_a(u)]$
Fermioni
$sqrt2/2[psi_a(u)psi_b(v)-psi_b(v)psi_a(u)]$
dove $u$ sono le coordinate spaziali di una delle due particelle, impossibile sapere quale, e $v$ le coordinate spaziali dell'altra, impossibile sapere quale. Infine, inutile aggiungere carne al fuoco se, per un qualche motivo, non si accetta la logica, che il sottoscritto ritiene cristallina, di quanto scritto sopra.
Come anticipato eccomi . Finalmente dopo aver passato ieri l'orare che si è spalmato su più giorni del previsto (causa posticipazione del prof per impegni), posso dedicarmi interamente al mio ultimo esame di MQ
Vediamo se riesco a riassumere i punti che mi mandano in crisi così che possa finalmente capire quello che mi turba
1)
Il tutto era iniziato da un discorso che ha fatto il professore a lezione, aveva detto che facendo agire l'operatore scambio P su uno stato che descriveva due particelle identiche (dunque direi indistinguibili), che indicava come $|1,2>$ ciò che succede è che si può scrivere $P|1,2> =|2,1>$, d'altra parte essendo indistinguibili |1,2> e |2,1> descrivono lo stesso stato e quindi differiscono solo per una fase e $P|1,2> =e^(itheta)|1,2>$ e da qui era partito il mio dubbio iniziale perché credevo che $|1,2>$ rappresentaase già una indistinguibilità come stato, dato che lui poneva |12> differente solo per fase da |21>) e qindi mi ero persuaso che prendendo $|12>$, ossia $psi_a(x1)psi_b(x_2)$, e dicendo sono indistinguibili perché non so chi sia nello stato 1 e in 2 delle due particelle significasse donar loro una descrizione di indistinguibilità. Ma in realtà non mi pare propriamete corretto perché lo stato di particelle identiche (lasciando stare la normalizzazione per comodità) sarebbe $|1,2>+-|2,1>$, quindi non ho capito perché il prof avesse scritto quella "inesattezza", in quanto lo stato |1,2> non può di fatto rappresentare alcuna particella identica non essendo simmetrica o antisimmetrica. sbaglio? mi pare di aver capito cosi ragionando in questa discussione.
Questo era il motivo per cui scrivevo (proiettando nello spazio delle coordinate):
Quello che voglio dire è che forse la frase del prof l'avrei scritta dicendo: prendendo lo stato di particelle identiche indistinguibili e facendo operare P scambio avrei: $P[|1,2>+-|2,1>] =|2,1>+-|1,2>$ ecc ecc...
2)
Chiarito questo mi porto sul secondo punto, io ho capito quello che dici qui
Quello che però non riesco a far tornare è il ragionamento seguente:
quando io prendo la $Psi=1/sqrt2[ψ_a(u)ψ_b(v)−ψ_a(v)ψ_b(u)]$ (lascio cadere la normalizzazione per comodità di scrittura) essa è da vedersi come proiezione del vettore astratto che rappresenta lo stato di singole particelle sullo spazio delle coordinate.
Io so che lo spazio di due particelle è $H=H_1⊗H_2$ e che ha per base ${|i>}⊗{|j>}$ ove i e j sono le basei di H1 e H2 rispettivamente.
Dunque quello che si ha è che $|a>_1⊗|b>_2 in H_1⊗H_2$ e notaizonalmente scriviamo: $|ab>:=|a>⊗|b>$ e con questa simbologia lo stato qui scritto è tale che: lo stato a è dello spazio 1 e b dello spazio 2.
Il brutto viene ora, io ho lo spazio delle coordinate che è $|u>_1⊗|v>_2$ il quale è lo spazio delle coordinate per u di H1 e v di H2 (come per a e b ho che u è dello spazio 1 e v dello spazio 2), dunque se contraggo: $(_1|b>_2) = = _1 _2 =psi_a(u)psi_b(v)$.
Quindi dato che ho $|ab> +- |ba>$ avrò che: $ +- =psi_a(u)psi_b(v)+-psi_b(u)psi_a(v)$ però siccome come detto |u> appartiene allo spazio H1 e non allo spazio H2 (e viceversa |v> appartene a H2 e non da H1), allora questa mi sembra doversi leggere come: la particella 1 (quella con coordinata u) si trova nello stato a moltiplicata per la particella 2 (ossia v) nello stato b +- la particella 1 nello stato b per la particella 2 nello stato a.
Non riesco quindi come far coincidere la visione che sugggerisci con questa proiezione, dato che quando proietto io ho u per forza in H1 e v in H2 e non posso piu fare il giochetto di dire in u non so se sta la particella 1 o la 2. Non so se ho spiegato il mio dilemma?
E' questo che mi tormentava nei messaggi precedenti.
Solo se nn fosse chiaro sopra, detto in altro modo ancora:
3)
Quanto sopra detto apre ad alcuni problemi:
a) la tua spiegazione di vedere u e v coordiante riferite ad entrambe le particelle sarebbe ovviamente perfetto per il problema che dicevo nel leggere $|Ψ(u,v)|^2d^3ud^3v$ perché questo ci dice che è "[la probabilità di trovare la particella 1 o 2 nel volumetto $d^3u$] AND [la probabilità di trovare la particella 1 o 2 nel volumetto $d^3v$], questo è ovvio perché u e v non è collegata né a 1 né a 2 ma entrmabe possono "risiedere" nella coordianta u (e idem per v).
Però non riesco a capire perche questa (la chiamo tua) visione sia corretta, per quando espresso nel punto 2)
b) ora non capendo come far funzionare il punto 2) allora mi dico, proviamo a vederla nella "mia visione" slo per vedere se funzioan o meno, ebbene ma nemmeno la mia funziona perché:
se considero: $|ab> +- |ba>$ avrò che: $ +- =psi_a(u)psi_b(v)+-psi_b(u)psi_a(v)$ per quanto dicevo sopra l'avrei letto come "la particella 1 (quella che occupa coordinata u) occupa lo stato a per la parciella 2 che occupa b +- la particella 1 che occupa lo stato b per la parciella 2 che occupa lo stato a".
Ecco, così facendo dato che u è per me della particella 1 e v della particella 2, crea un inghippo su $|Ψ(u,v)|^2d^3ud^3v$ perché ora vorrebbe dire "[è la probabilità di trovare la particella 1 (cioè riferita a u) nel volumetto $d^3u$] AND [la probablità di trovare la particella che occupa le coordinate v (cioè la particella 2) nel volumetto $d^3v$]", ma ovviamente questa vsione non va bene perché presuppone che io sappia che la particella 1 è nel vlumetto a coordinata u e la 2 nel volumetto a coordinata v: ma questa è una distinguibilità perché saprei quale paticella si trova in una data coordinata e ovviamente ciò non è permesso per il principio di indisinguibilità.
Ecco perché dicevo che non riscuivo a farmi tornare le cose, perché comunque la guardi trovo un inghippo. E quindi questo è sintomo del fatto che non ho davvero capirto qualcosa. Ma cosa? Da solo non ci so arrivare. I fatti mi dicono che ho unaincongruenza, dunque sbaglio la mia modellizzazione del concetto, ma non ho ancora capito dove.
. Finalmente dopo aver passato ieri l'orare che si è spalmato su più giorni del previsto (causa posticipazione del prof per impegni), posso dedicarmi interamente al mio ultimo esame di MQVediamo se riesco a riassumere i punti che mi mandano in crisi così che possa finalmente capire quello che mi turba
1)
Il tutto era iniziato da un discorso che ha fatto il professore a lezione, aveva detto che facendo agire l'operatore scambio P su uno stato che descriveva due particelle identiche (dunque direi indistinguibili), che indicava come $|1,2>$ ciò che succede è che si può scrivere $P|1,2> =|2,1>$, d'altra parte essendo indistinguibili |1,2> e |2,1> descrivono lo stesso stato e quindi differiscono solo per una fase e $P|1,2> =e^(itheta)|1,2>$ e da qui era partito il mio dubbio iniziale perché credevo che $|1,2>$ rappresentaase già una indistinguibilità come stato, dato che lui poneva |12> differente solo per fase da |21>) e qindi mi ero persuaso che prendendo $|12>$, ossia $psi_a(x1)psi_b(x_2)$, e dicendo sono indistinguibili perché non so chi sia nello stato 1 e in 2 delle due particelle significasse donar loro una descrizione di indistinguibilità. Ma in realtà non mi pare propriamete corretto perché lo stato di particelle identiche (lasciando stare la normalizzazione per comodità) sarebbe $|1,2>+-|2,1>$, quindi non ho capito perché il prof avesse scritto quella "inesattezza", in quanto lo stato |1,2> non può di fatto rappresentare alcuna particella identica non essendo simmetrica o antisimmetrica. sbaglio? mi pare di aver capito cosi ragionando in questa discussione.
Questo era il motivo per cui scrivevo (proiettando nello spazio delle coordinate):
Ψ(x1,x2)=ψa(x1)ψb(x2) ma sinceramente mi pare che già così non sto distinguendo le particelle
Quello che voglio dire è che forse la frase del prof l'avrei scritta dicendo: prendendo lo stato di particelle identiche indistinguibili e facendo operare P scambio avrei: $P[|1,2>+-|2,1>] =|2,1>+-|1,2>$ ecc ecc...
2)
Chiarito questo mi porto sul secondo punto, io ho capito quello che dici qui
dove u sono le coordinate spaziali di una delle due particelle, impossibile sapere quale, e v le coordinate spaziali dell'altra, impossibile sapere qualeil tuo suggerimento è di chiamare la coordinata di una delle due particelle con u e l'altra con v, e queste u e v sono la coordinata di una (qualsiasi) delle due prticelle che pur rimanendo due non so quale sia alla cooordinata u e quale in v (cioè non so distinguerle). Questa la comprendo ovviamente come idea.
Quello che però non riesco a far tornare è il ragionamento seguente:
quando io prendo la $Psi=1/sqrt2[ψ_a(u)ψ_b(v)−ψ_a(v)ψ_b(u)]$ (lascio cadere la normalizzazione per comodità di scrittura) essa è da vedersi come proiezione del vettore astratto che rappresenta lo stato di singole particelle sullo spazio delle coordinate.
Io so che lo spazio di due particelle è $H=H_1⊗H_2$ e che ha per base ${|i>}⊗{|j>}$ ove i e j sono le basei di H1 e H2 rispettivamente.
Dunque quello che si ha è che $|a>_1⊗|b>_2 in H_1⊗H_2$ e notaizonalmente scriviamo: $|ab>:=|a>⊗|b>$ e con questa simbologia lo stato qui scritto è tale che: lo stato a è dello spazio 1 e b dello spazio 2.
Il brutto viene ora, io ho lo spazio delle coordinate che è $|u>_1⊗|v>_2$ il quale è lo spazio delle coordinate per u di H1 e v di H2 (come per a e b ho che u è dello spazio 1 e v dello spazio 2), dunque se contraggo: $(
Quindi dato che ho $|ab> +- |ba>$ avrò che: $
Non riesco quindi come far coincidere la visione che sugggerisci con questa proiezione, dato che quando proietto io ho u per forza in H1 e v in H2 e non posso piu fare il giochetto di dire in u non so se sta la particella 1 o la 2. Non so se ho spiegato il mio dilemma?
E' questo che mi tormentava nei messaggi precedenti.Solo se nn fosse chiaro sopra, detto in altro modo ancora:
3)
Quanto sopra detto apre ad alcuni problemi:
a) la tua spiegazione di vedere u e v coordiante riferite ad entrambe le particelle sarebbe ovviamente perfetto per il problema che dicevo nel leggere $|Ψ(u,v)|^2d^3ud^3v$ perché questo ci dice che è "[la probabilità di trovare la particella 1 o 2 nel volumetto $d^3u$] AND [la probabilità di trovare la particella 1 o 2 nel volumetto $d^3v$], questo è ovvio perché u e v non è collegata né a 1 né a 2 ma entrmabe possono "risiedere" nella coordianta u (e idem per v).
Però non riesco a capire perche questa (la chiamo tua) visione sia corretta, per quando espresso nel punto 2)
b) ora non capendo come far funzionare il punto 2) allora mi dico, proviamo a vederla nella "mia visione" slo per vedere se funzioan o meno, ebbene ma nemmeno la mia funziona perché:
se considero: $|ab> +- |ba>$ avrò che: $
Ecco, così facendo dato che u è per me della particella 1 e v della particella 2, crea un inghippo su $|Ψ(u,v)|^2d^3ud^3v$ perché ora vorrebbe dire "[è la probabilità di trovare la particella 1 (cioè riferita a u) nel volumetto $d^3u$] AND [la probablità di trovare la particella che occupa le coordinate v (cioè la particella 2) nel volumetto $d^3v$]", ma ovviamente questa vsione non va bene perché presuppone che io sappia che la particella 1 è nel vlumetto a coordinata u e la 2 nel volumetto a coordinata v: ma questa è una distinguibilità perché saprei quale paticella si trova in una data coordinata e ovviamente ciò non è permesso per il principio di indisinguibilità.
Ecco perché dicevo che non riscuivo a farmi tornare le cose, perché comunque la guardi trovo un inghippo. E quindi questo è sintomo del fatto che non ho davvero capirto qualcosa. Ma cosa? Da solo non ci so arrivare. I fatti mi dicono che ho unaincongruenza, dunque sbaglio la mia modellizzazione del concetto, ma non ho ancora capito dove.
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