[Meccanica Quantistica] Esercizio Osservabili ed Evoluzione Temporale

[grimx]

Ciao a tutti,
ritorno con un altro esercizio, sempre per verificare se la mia soluzione è corretta.
Il testo dell'esercizio è il seguente:

Si consideri una base completa ortonormale di stati $|alpha>$ , $|beta>$, $|gamma>$ per un sistema quantistico la cui hamiltoniana è data da:
$H=ihomega(|alpha> con $omega$ parametro reale positivo. Siano poi dati i due operatori:
$A=a(|gamma> $B=b(|gamma> con $a$, $b$ parametri reali positivi.

1) Spiegare perchè $A$ e $B$ sono due osservabili fisiche e stabilire se esse sono simultaneamente misurabili.
2)trovare gli autovalori e gli autostati dell’hamiltoniana;
3)se all’istante $t = 0$ viene misurata $A$ e il risultato di tale misura è il valore $−a$, calcolare $|Psi(t)>$.

Ok riporto quindi la mia soluzione:

Per prima cosa calcoliamo le matrici associate agli operatori $H$ $A$ e $B$ relativamente alla base ortonormale:
Trovo che:
$H=homega( ( 0 , i , 0 ),( -i , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $

$A=a ( ( 1/2 , 0 , 0 ),( 0, 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ) ) $

$B=b( ( 1/2 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $

1) Noto subito che $A$ e $B$ sono osservabili fisiche perchè sono matrici hermitiane, sono pure osservabili compatibili, cioè simultaneamente misurabili perchè commutano, infatti:

$AB=BA= ( ( 1/4 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ) ) $

2) L'equazione secolare per trovare gli autovalori di $H$ risulta essere:
$(h^2omega^2-lambda^2)(lambda-2homega)=0$
Che ha per soluzioni $lambda= -homega, +homega, 2homega$
I suoi autovettori risultano essere rispettivmente:
$|E_0>$$=( ( 1/sqrt2 ),( i/sqrt(2) ),( 0 ) ) $
$|E_1>$ $=( ( -1/sqrt2 ),( i/sqrt(2) ),( 0 ) )$
$|E_2>$ $=( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) )$

3)Se si misura $A$ e si ottiene l'autovalore $-a$ si ha che allora lo stato si trova nell'autovettore relativo all'autovetore $-a$
che è quindi:
$|Psi_0>$ $=( (0 ),( 1/sqrt(2) ),( -1/sqrt(2) ) ) $
Per trovare l'evoluzione nel tempo dello stato dobbiamo riscriverlo come combinazione lineare degli autovettori dell'hamiltoniana:
$|Psi_0>$ $=1/(2i)|E_0>+1/(2i)|E_1>-1/sqrt(2)|E_2>$
Dove i coefficienti li ho trovati facendo rispettivamente $$ $$ e $$
Ora applicando l'operatore di evoluzione temporale con i rispettivi valori, si conculde l'esercizio.

Come vi sembra? E' corretto?

[DelCrossB]

Troppi conti in quest'esercizio: un esame di algebra e geometria ne richiede al più la decima parte.
Se non ho commesso errori, $A$ e $B$ non commutano e quindi non sono osservabili simultaneamente. Per il resto, credo sia tutto ok.

[grimx]

Innanzitutto, grazie mille per la risposta!
Ho copiato male adesso ho modificato la matrice $AB$
Comunque si commutano ho ricontrollato nuovamente risulta $AB=BA$ (ovviamente posso sbagliarmi)

[DelCrossB]

"grimx":Innanzitutto, grazie mille per la risposta!
Ho copiato male adesso ho modificato la matrice $AB$
Comunque si commutano ho ricontrollato nuovamente risulta $AB=BA$ (ovviamente posso sbagliarmi)

Ho ricontrollato anch'io ed effettivamente commutano.

[grimx]

Perfetto
Devo ammettere che era davvero pieno di calcoli sto esercizio...
Ne ho un altro postato 2 giorni fa sull'oscillatore armonico (un po' più semplice di questo credo), se ti va puoi dare una occhiata per vedere se è giusta la mia soluzione

[yoshiharu]

"grimx":
Devo ammettere che era davvero pieno di calcoli sto esercizio...

Secondo me avresti potuto evitare molti di quei calcoli, evitando del tutto la rappresentazione matriciale.
Quei termini simmetrici/antisimmetrici suggeriscono la struttura degli autovalori dell'hamiltoniana e degli altri due operatori (usando somme e differenze dei vettori di base). Alla fine facendo il conto con le matrici ovviamente trovi il risultato corretto, ma in generale fare questo genere di osservazioni ti aiuta ad "alzare la testa dal foglio" di tanto in tanto, per guardare un po' di piu' il quadro generale. Magari per il singolo esercizio in se' non e' necessario, ma puo' essere d'aiuto in casi piu' complessi.

Niente, semplicemente un consiglio per il futuro

[grimx]

Grazie mille yoshiharu, i tuoi consigli sono sempre benaccetti!!!

[grimx]

Rieccomi con un esercizietto un po' più leggero e simpatico
Vorrei sapere se la mia soluzione è giusta:
Esercizio

Lo stato di un oscillatore armonico è dato da:
$|Psi> =A|0>+B|1>+C|2>$
Inoltre sappiamo che il valor medio della posizione è 0 e il valor medio dell'energia è $3/4homega$
1) determinare A ,B e C assumendoli reali. Quanti e quali sono gli stati indipendenti del sistema?
2) assumere A e B reali mentre C immaginario puro. Ora, Quanti e quali sono gli stati indipendenti del sistema?

Soluzione

Ricordando che $x$ è definito tramite gli operatori di creazione e distruzione in questo modo:
$x= sqrt(h/(2momega))(a+a^+)$
E sapendo che $ =$
Otteniamo che $ =sqrt(h/(2momega)) [(A^*B+AB^*)2sqrt(2)(B^*C+BC^*)]=0$
Poi, dal valor medio dell'energia:
$ =1/2homegaA^2+3/2homegaB^2+5/2homegaC^2=3/4homega$
o equivalentemente moltiplicando per $2$ e dividendo $homega$
$=A^2+3B^2+5C^2= 3/2$
E dalla normalizzazione:
$A^2+B^2+C^2=1$
Si trova che le soluzioni sono:
$B=0 ; A=+-sqrt(7/ 8) ; C=+-sqrt(1/ 8)$
Pertanto ci sono 2 possibili funzioni d'onda (a meno di una fattore di fase)

2) Nel caso in cui C sia complesso, si trova dal valore medio della posizione che:
$AB=0$
Si deduce quindi che o $A=0$ o $B=0$
Il caso $A=0$ non ha soluzioni, mentre per $B=0$ si trova:
$A=+-sqrt(⅞); C=+-i/sqrt(8)$
E quindi si hanno 2 funzioni d'onda indipendenti ( a meno del segno)

Come vi sembra?
Grazie mille per i vostri aiuti!

[ludwigZero]

"grimx":

Ricordando che $x$ è definito tramite gli operatori di creazione e distruzione in questo modo:
$x= sqrt(h/(2momega))(a+a^+)$
E sapendo che $ =$
Otteniamo che $ =sqrt(h/(2momega)) [(A^*B+AB^*)2sqrt(2)(B^*C+BC^*)]=0$
Poi, dal valor medio dell'energia:
$ =1/2homegaA^2+3/2homegaB^2+5/2homegaC^2=3/4homega$
o equivalentemente moltiplicando per $2$ e dividendo $homega$
$=A^2+3B^2+5C^2= 3/2$
E dalla normalizzazione:
$A^2+B^2+C^2=1$
Si trova che le soluzioni sono:
$B=0 ; A=+-sqrt(7/ 8) ; C=+-sqrt(1/ 8)$
Pertanto ci sono 2 possibili funzioni d'onda (a meno di una fattore di fase)

ciao nella prima parte non mi trovo sulla condizione del valor medio. deve essere:

$x |\Psi> = (a + a^+) |\Psi> = $

facendo i conti mi viene:

$= B |0> + (A + sqrt(2) C) |1> + sqrt(2) B |2> + C sqrt(3) |3>$

e poi infine:

$<\Psi| (B |0> + (A + sqrt(2) C) |1> + sqrt(2) B |2> + C sqrt(3) |3>)$

oltre questo, non capisco perchè tu abbia messo il complesso coniugato, dato che il testo ti dice che li vuole reali, giusto?