[Meccanica Quantistica] Definizione dell'operatore momento angolare

[redlex91-votailprof]

Dedurre dalle relazioni seguenti:
\begin{align}
&[X,L_z]=-\imath\hslash Y\\
&[Y,L_z]=\imath\hslash X\\
&[P_x,L_z]=-\imath\hslash P_y\\
&[P_y,L_z]=\imath\hslash P_x\\
\end{align}
che \(L_z=XP_y-YP_x\).

Allora moltiplico la prima a destra per la terza e la seconda sempre a destra per la quarta, poi sottraggo membro a membro e semplifico \(\imath\hslash\):
\begin{align}
&[X,L_z]P_y=Y[P_x,L_z]\\
&[Y,L_z]P_x=X[P_y,L_z]\\
&[X,L_z]P_y+X[P_y,L_z]=Y[P_x,L_z]+[Y,L_z]P_x
\end{align}
applicando l'identità \([\Lambda\Omega,\theta]=\Lambda[\Omega,\theta]+[\Lambda,\theta]\Omega\) ottengo
\[[XP_y,L_z]=[YP_x,L_z]\]
rielaborando
\[L_z(XP_y-YP_x)-(XP_y-YP_x)L_z=[L_z,XP_y-YP_x]=0\]

Questo ci dice che \(L_z:=XP_y-YP_x\) verifica sicuramente la relazione sopra, ma come si arriva a dire che è l'unico operatore che soddisfa quella condizione?

[ludwigZero]

"friction":

Questo ci dice che \(L_z:=XP_y-YP_x\) verifica sicuramente la relazione sopra, ma come si arriva a dire che è l'unico operatore che soddisfa quella condizione?

io ho provato così:
$[L_z,XP_y-YP_x]$ se fa 0 vuol dire che commutano.

\(L_z:=XP_y-YP_x\) verifica sicuramente la relazione sopra...infatti:
$[XP_y-YP_x, XP_y-YP_x] = [ XP_y-YP_x, XP_y] + [XP_y-YP_x, -YP_x] $

1) $[ XP_y-YP_x, XP_y] = [ XP_y, XP_y] + [-YP_x, XP_y] = -YP_x - XP_y$
2) $[XP_y-YP_x, -YP_x] = [XP_y, -YP_x] + [-YP_x, -YP_x] = YP_x + XP_y$

facendone la somma viene 0. Tu chiedi come dimostrare che l'operatore che fa quel fatto è unico, giusto?
Io non so se c'è un teorema di unicità per operatori o qualche lemma che ne parli...
ma da un punto di vista matriciale:
$L( L_x, L_y, L_z)$ operatore momento angolare
$R(X,Y,Z)$ coordinate cartesiane della posizione della particella
$P(P_x, P_y, P_z)$ q.d.m

$((L_x, L_y, L_z), (X,Y,Z), (P_x, P_y, P_z))$

In Meccanica Quantistica si adotta la stessa definizione sostituendo alle grandezze classiche i corrispondenti operatori.
$L_z$ è 'inevitabilmente' quello lì da te trovato... non so dirti altro