Meccanica Quantistica - Autostati Impulso - Problema Dim
Salve a tutti,
sono nuovo del forum e vi chiedo subito un aiuto in merito ad un problema che, seppur immagino sia di facile soluzione,
mi sta dando problemi
L'argomento è relativo alla Meccanica Quantistica e nello specifico alla Normalizzazione degli Autostati dell'Impulso
(anche se ammetto che è più un problema di natura matematica che prettamente fisica)
Non capisco come si risolve nel dettaglio il seguente integrale
$ \int dp^{\prime} e^{\frac{i p^{\prime} (x^{'} - x^{''})}{\hbar}} $
in modo tale che risulti
$ 2 \pi \hbar \delta(x^{'} - x^{''}) $
Grazie a tutti
Riferimento:
http://it.wikipedia.org/wiki/Operatore_impulso
sono nuovo del forum e vi chiedo subito un aiuto in merito ad un problema che, seppur immagino sia di facile soluzione,
mi sta dando problemi
L'argomento è relativo alla Meccanica Quantistica e nello specifico alla Normalizzazione degli Autostati dell'Impulso
(anche se ammetto che è più un problema di natura matematica che prettamente fisica)
Non capisco come si risolve nel dettaglio il seguente integrale
$ \int dp^{\prime} e^{\frac{i p^{\prime} (x^{'} - x^{''})}{\hbar}} $
in modo tale che risulti
$ 2 \pi \hbar \delta(x^{'} - x^{''}) $
Grazie a tutti
Riferimento:
http://it.wikipedia.org/wiki/Operatore_impulso
Risposte
Per avere quella soluzione dovrei dire che sto integrando la fase di un numero complesso,
e che quindi
$ \theta = \frac{p' (x' - x'')}{\hbar} $
e che quindi $ \theta $ deve essere integrata tra $ 0 $ e $ 2 \pi $
Per $ (x' - x'') \ne 0 $
questo integrale si annulla perchè in pratica diventa un integrale di 2 funzioni periodiche (il seno e il coseno con i quali, per la Formula di Eulero, posso rappresentare esponenziale)
Per $ (x' - x'') = 0 $
come procedo ?
Devo riscrivere
$ \theta = \frac{p'}{\hbar} $
e poi integrare questa $ \theta $ tra $ 0 $ e $ 2 \pi $ che implica integrare $ p' $ tra $ 0 $ e $ 2 \pi \hbar $
dopodiche osservare che sto integrando di fatto $ 1 $ tra $ 0 $ e $ 2 \pi \hbar $ e infine ottenere il risultato voluto
ovvero $ 2 \pi \hbar \delta(x' - x'') $
Ho commesso qualche errore in questi passaggi ?
Grazie
e che quindi
$ \theta = \frac{p' (x' - x'')}{\hbar} $
e che quindi $ \theta $ deve essere integrata tra $ 0 $ e $ 2 \pi $
Per $ (x' - x'') \ne 0 $
questo integrale si annulla perchè in pratica diventa un integrale di 2 funzioni periodiche (il seno e il coseno con i quali, per la Formula di Eulero, posso rappresentare esponenziale)
Per $ (x' - x'') = 0 $
come procedo ?
Devo riscrivere
$ \theta = \frac{p'}{\hbar} $
e poi integrare questa $ \theta $ tra $ 0 $ e $ 2 \pi $ che implica integrare $ p' $ tra $ 0 $ e $ 2 \pi \hbar $
dopodiche osservare che sto integrando di fatto $ 1 $ tra $ 0 $ e $ 2 \pi \hbar $ e infine ottenere il risultato voluto
ovvero $ 2 \pi \hbar \delta(x' - x'') $
Ho commesso qualche errore in questi passaggi ?
Grazie
Il problema non è di così facile soluzione perchè tira in ballo la teoria delle distribuzioni (o funzioni generalizzate), che sono un argomento piuttosto delicato, trattato, generalmente, nei corsi di analisi avanzati. Il problema è che per definire la $\delta$ di Dirac in una maniera rigorosa non puoi che passare per la strada delle distribuzioni.
In ogni caso provo a costruirti una specie di argomentazione ragionevole (non mi azzarderei a chiamarla dimostrazione...).
Il tuo problema è, costanti a parte, dimostrare che
$int_(-infty)^(infty) e^(ikx) dk = 2 pi delta(x)$ (1)
con $k,x in RR$.
Il primo membro può essere scritto come
$\int_(-infty)^(infty) e^(ikx) dk = lim_(L -> infty) int_(-L)^(L) e^(ikx) dk = lim_(L -> infty) (e^(i L x) - e^(-i L x) ) /(i x) = lim_(L -> infty) 2(sin (Lx) )/x$
Per verificare la relazione (1) dobbiamo pensare a quale sia il significato profondo della $\delta$ di Dirac. Si può dimostrare che non è una funzione, nel senso usuale del termine, o meglio che considerarla una funzione porta a contraddizioni. Definiamola quindi come quell' "oggetto" tale che per ogni funzione $\phi(x)$ regolare in x=0 valga
$\int_(-infty)^(infty) \phi(x) \ \delta(x) \ dx= \phi(0)$
quindi per completare la dimostrazione ci basta far vedere che per ogni funzione $\phi(x)$ regolare in x=0
$\int_(-infty)^(infty) (lim_(L -> infty) 2(sin (Lx) )/x) \phi(x) \ dx = 2 \pi \phi(0)$
Ponendo $y=Lx$ l'integrale diventa
$\int_(-infty)^(infty) lim_(L -> infty) 2(sin y )/y \phi(y/L) dy = 2 \phi(0) \int_(-infty)^(infty) (sin (y) )/y \ dy = 2 \pi \phi(0)$
siccome
$\int_(-infty)^(infty) (sin (y) )/y \ dy = \pi$
che è facile da dimostrare con i residui, senza non ho idea di come fare sinceramente.....
Ti convince?
Ti confesso che in questa argomentazione ci sono tanti punti oscuri che farebbero inorridire un matematico, ma per come la vedo è l'unico modo ragionevole di semplificare le cose senza coinvolgere la teoria delle distribuzioni.
In ogni caso provo a costruirti una specie di argomentazione ragionevole (non mi azzarderei a chiamarla dimostrazione...).
Il tuo problema è, costanti a parte, dimostrare che
$int_(-infty)^(infty) e^(ikx) dk = 2 pi delta(x)$ (1)
con $k,x in RR$.
Il primo membro può essere scritto come
$\int_(-infty)^(infty) e^(ikx) dk = lim_(L -> infty) int_(-L)^(L) e^(ikx) dk = lim_(L -> infty) (e^(i L x) - e^(-i L x) ) /(i x) = lim_(L -> infty) 2(sin (Lx) )/x$
Per verificare la relazione (1) dobbiamo pensare a quale sia il significato profondo della $\delta$ di Dirac. Si può dimostrare che non è una funzione, nel senso usuale del termine, o meglio che considerarla una funzione porta a contraddizioni. Definiamola quindi come quell' "oggetto" tale che per ogni funzione $\phi(x)$ regolare in x=0 valga
$\int_(-infty)^(infty) \phi(x) \ \delta(x) \ dx= \phi(0)$
quindi per completare la dimostrazione ci basta far vedere che per ogni funzione $\phi(x)$ regolare in x=0
$\int_(-infty)^(infty) (lim_(L -> infty) 2(sin (Lx) )/x) \phi(x) \ dx = 2 \pi \phi(0)$
Ponendo $y=Lx$ l'integrale diventa
$\int_(-infty)^(infty) lim_(L -> infty) 2(sin y )/y \phi(y/L) dy = 2 \phi(0) \int_(-infty)^(infty) (sin (y) )/y \ dy = 2 \pi \phi(0)$
siccome
$\int_(-infty)^(infty) (sin (y) )/y \ dy = \pi$
che è facile da dimostrare con i residui, senza non ho idea di come fare sinceramente.....
Ti convince?
Ti confesso che in questa argomentazione ci sono tanti punti oscuri che farebbero inorridire un matematico, ma per come la vedo è l'unico modo ragionevole di semplificare le cose senza coinvolgere la teoria delle distribuzioni.
Ciao Alle,
grazie della risposta così chiara e scusa del ritardo della mia
Effettivamente mi pareva di avere qualche lacuna che non mi permetteva di comprendere nel dettaglio la questione
e tu me l'hai confermato
La tua spiegazione mi è sicuramente più che sufficiente, almeno per quelle che sono le mie necessità in questo momento
e quindi ti ringrazio molto
grazie della risposta così chiara e scusa del ritardo della mia
Effettivamente mi pareva di avere qualche lacuna che non mi permetteva di comprendere nel dettaglio la questione
e tu me l'hai confermato
La tua spiegazione mi è sicuramente più che sufficiente, almeno per quelle che sono le mie necessità in questo momento
e quindi ti ringrazio molto
Un pezzo di ferro, vuoto internamente in acqua pesa 200 grammi e nell'aria 300 grammi. Quale sarà il volume della cavità?
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